Динамика движения по окружности с постоянной по модулю скоростью

На вертикальной оси укреплена гладкая горизонтальная штанга, по которой могут перемещаться два груза массами m₁ = 200 г и m₂ = 300 г, связанные нерастяжимой невесомой нитью длиной l = 20 см. Нить закрепили на оси так, что грузы располагаются по разные стороны от оси и натяжение нити с обеих сторон от оси при вращении штанги одинаково (см. рисунок). Определите модуль силы натяжения Т нити, соединяющей грузы, при вращении штанги с частотой 600 об/мин.

Алгоритм решения

Решение

Запишем исходные данные, сразу переведя их в СИ:

Сделаем чертеж, обозначив все силы. Учтем, что сила натяжения нити равна с обеих сторон. Выберем систему координат, в которой ось ОУ параллельна оси вращения.

Запишем второй закон Ньютона для первого и второго груза соответственно:

Запишем проекции на ось ОХ для каждого из тел:

T = m₁a_ц.с.1

T = m₂a_ц.с.2

Центростремительное ускорение также определяется формулой:

a_ц.с. = ω²R

Угловая скорость определяется формулой:

ω = 2πν

Следовательно, центростремительное ускорение равно:

a_ц.с. = 4π²ν²R

Применим эту формулу для обоих грузов:

a_ц.с.1 = 4π²ν²R₁

a_ц.с.2 = 4π²ν²R₂

Сумма радиусов окружностей, по которым вращаются грузы, есть длина нити:

R₁ + R₂ = l

Выразим радиус окружности, по которой вращается второй груз:

R₂ = l – R₁

Так как грузы связаны между собой, и ни один из них не перевешивает другой:

m₁gR₁ = m₂gR₂

Ускорение свободного падения взаимоуничтожается. Получаем:

Подставим радиус второй окружности и выразим радиус первой окружности:

Следовательно, центростремительное ускорение первого груза равно:

Теперь возьмем проекцию на ось ОХ для первого тела и вставим в формулу найденное центростремительное ускорение для первого тела:

Подставим известные данные и вычислим силу натяжения нити:

Небольшая шайба массой m=10 г, начав движение из нижней точки закреплённого вертикального гладкого кольца радиусом R=0,14 м, скользит по его внутренней поверхности. На высоте h=0,18  м она отрывается от кольца и свободно падает. Какую кинетическую энергию имела шайба в начале движения? Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на шайбу в точке А.

Алгоритм решения

Решение

Запишем исходные данные:

Сделаем чертеж. Выберем систему координат такую, чтобы направление линейной скорости шайбы в точке совпадала с направлением оси ОУ.

Запишем второй закон Ньютона в векторной форме:

Под ускорением в этой записи понимается полное ускорение, составляющими которого является центростремительное и тангенциальное ускорение, направленное касательно к окружности (на рисунке мы его не обозначили, так как оно нам не понадобится).

Запишем проекцию на ось ОХ. Учтем, что в точке А шайба отрывается от кольца и падает. Следовательно, нормальная реакции опоры равна нулю:

mg cosα = ma_ц.с.

Кинетическая энергия тела определяется формулой:

Выразим центростремительное ускорение из проекции на ось ОХ:

Но центростремительное ускорение также определяется формулой:

Приравняем правые части уравнений и получим:

Квадрат скорости будет равен:

Следовательно, кинетическая энергия равна:

Чтобы избавиться от неизвестных величин, обратимся к геометрии:

Из рисунка видно, что высота h есть сумма радиуса окружности и произведения радиуса на косинус угла α:

h = R + Rcosα

Отсюда следует, что:

Rcosα = h – R

Подставим это выражение в формулу кинетической энергии и выполним вычисления:

Отсюда следует, что кинетическая энергия шарика в начале движения равна 2 мДж.

.

Высота полёта искусственного спутника над Землёй увеличилась с 400 до 500 км. Как изменились в результате этого скорость спутника и его потенциальная энергия?

Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:

Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.

Алгоритм решения

Решение

На спутник действует сила притяжения Земли, которая сообщает ему центростремительное ускорение:

$F=m{a}_{ц}=G\frac{mM}{({R+h)}^2}$

Отсюда центростремительное ускорение равно:

$a_{ц}=G\frac{M}{{(R+h)}^2}$

Но центростремительное ускорение также равно:

$a_{ц}=\frac{v^2}{(R+h)}$

Приравняем правые части выражений и получим:

$G\frac{M}{{(R+h)}^2}=\frac{v^2}{(R+h)}$

$v^2=\frac{MG(R+h)}{{(R+h)}^2}=\frac{MG}{(R+h)}$

Квадрат скорости спутника обратно пропорционален радиусу вращения. Следовательно, при увеличении высоты увеличивается радиус вращения, а скорость уменьшается.

Потенциальная энергия спутника определяется формулой:

E_p = mgh

Видно, что потенциальная энергия зависит от высоты прямо пропорционально. Следовательно, при увеличении высоты потенциальная энергия спутника тоже увеличивается.

Верная последовательность цифр в ответе: 21.

Алгоритм решения

Решение

Так как шайба вращается, покоясь на поверхности конуса, на нее действуют четыре силы: сила трения, сила тяжести, сила реакции опоры и центростремительная сила. Изобразим их на чертеже. Выберем систему координат, параллельную оси вращения.

Второй закон Ньютона в векторном виде выглядит следующим образом:

Теперь запишем этот закон в проекциях на оси ОХ и ОУ соответственно:

Так как шайба покоится относительно поверхности конуса, сила трения равна силе трения покоя:

Максимальное значение силы трения равно:

Принимая в учет силу трения покоя, проекции на оси ОХ и ОУ примут следующий вид:

Запишем систему уравнение в следующем виде:

Поделим первое уравнение на второе и получим:

Сделаем сокращения и получим:

Отсюда центростремительное ускорение равно:

Но также известно, что центростремительное ускорение равно произведению квадрата угловой скорости на радиус окружности:

Радиус окружности, по которой вращается шайба вместе с конусом, можно вычислить по формуле:

Отсюда центростремительное ускорение равно:

Выразим искомую величину L:

Подставим в это выражение выведенную для центростремительного ускорения формулу и получим:

Поделим числитель на синус угла α, чтобы упростить выражение, и получим:

.

.

.