Динамика движения по окружности с постоянной по модулю скоростью

теория по физике 🧲 динамика

На тело, движущееся по окружности, действует множество сил. При описании его движения нужно учесть все силы и правильно определить их направление. В этом вам поможет таблица:

Сила Направление
Сил тяжести Вертикально вниз
Сила реакции опоры Перпендикулярно опоре
Сила натяжения нити Вдоль оси подвеса
Сила упругости Противоположно деформации
Сила трения Противоположно направлению движения или возможного движения
Сила сопротивления
Центростремительная сила К центру окружности

Алгоритм решения задач на движение тела по окружности с постоянной по модулю скоростью

Последовательность действий
  1. Изображение тела.
  2. Отображение всех сил, действующих на тело. Прикладывать их следует к центру тела. На чертеже также указывается направление центростремительного ускорения.
  3. Выбор системы координат. Ее начало должно совпадать с центром тела. Желательно, чтобы одна из ее осей совпадала с направлением ускорения, а другая была бы перпендикулярна ей.
  4. Построение проекций сил на оси ОХ и ОУ.
  5. Выражение искомой величины через известные данные.
  6. Вычисление путем подстановки в формулу, выведенную для нахождения искомой величины, известных данных.

Частные случаи движения тела по окружности

Автомобиль на повороте

Второй закон Ньютона в векторной форме:

mg + N + Fтр = maц.с.

Проекция на ось ОХ:

Fтр = maц.с.

Проекция на ось ОУ:

N – mg = 0

Тело на вращающемся диске

Второй закон Ньютона в векторной форме:

mg + N + Fтр = maц.с.

Проекция на ось ОХ:

Fтр = maц.с.

Проекция на ось ОУ:

N – mg = 0

Конический маятник

Второй закон Ньютона в векторной форме:

T + mg = maц.с.

Проекция на ось ОХ:

T sinα = maц.с.

Проекция на ось ОУ:

T cosα – mg = 0

Учтите, что: mg tgα = maц.с.
Радиус окружности, по которой происходит движение тела: R = l sinα

Пример №1. Автомобиль совершает поворот на горизонтальной дороге по дуге окружности. Каков минимальный радиус окружности траектории автомобиля при его скорости 18 м/с и при коэффициенте трения шин о дорогу 0,4?

Проекция сил, действующих на автомобиль, на проекцию ОХ в данном случае равна:

Fтр = maц.с.

Выразим силу трения через силу реакции опоры:

μN = maц.с.

μmg = maц.с.

После взаимоуничтожения масс остается:

aц.с. = μg

Также известно, что центростремительное ускорение определяется формулой:

Приравняем правые части уравнений:

Выразим радиус окружности, по которой движется автомобиль:

Задание EF18920

На вертикальной оси укреплена гладкая горизонтальная штанга, по которой могут перемещаться два груза массами m1 = 200 г и m2 = 300 г, связанные нерастяжимой невесомой нитью длиной l = 20 см. Нить закрепили на оси так, что грузы располагаются по разные стороны от оси и натяжение нити с обеих сторон от оси при вращении штанги одинаково (см. рисунок). Определите модуль силы натяжения Т нити, соединяющей грузы, при вращении штанги с частотой 600 об/мин.

Алгоритм решения

1.Записать исходные данные. Перевести их в СИ.
2.Сделать чертеж, обозначив все силы, действующие на систему тел, их направления. Выбрать систему координат.
3.Записать второй закон Ньютона в векторной форме для каждого из тел.
4.Записать второй закон Ньютона для каждого из грузов в виде проекций на ось ОХ.
5.Вывести формулу для радиуса окружности, по которой движется любой из грузов.
6.Вывести формулу для вычисления силы натяжения нити, подставить известные данные и произвести вычисления.

Решение

Запишем исходные данные, сразу переведя их в СИ:

 Масса первого груза m1 = 200 г = 0,2 кг.
 Масса первого груза m2 = 300 г = 0,3 кг.
 Длина нити l = 20 см = 0,2 м.
 Натяжение нити с обеих сторон одинаково, следовательно: T1 = T2 = T.
 Частота вращения штанги ν = 600 об./мин. = 10 об./с.

Сделаем чертеж, обозначив все силы. Учтем, что сила натяжения нити равна с обеих сторон. Выберем систему координат, в которой ось ОУ параллельна оси вращения.

Запишем второй закон Ньютона для первого и второго груза соответственно:

Запишем проекции на ось ОХ для каждого из тел:

T = m1aц.с.1

T = m2aц.с.2

Центростремительное ускорение также определяется формулой:

aц.с. = ω2R

Угловая скорость определяется формулой:

ω = 2πν

Следовательно, центростремительное ускорение равно:

aц.с. = 4π2ν2R

Применим эту формулу для обоих грузов:

aц.с.1 = 4π2ν2R1

aц.с.2 = 4π2ν2R2

Сумма радиусов окружностей, по которым вращаются грузы, есть длина нити:

R1 + R2 = l

Выразим радиус окружности, по которой вращается второй груз:

R2 = l – R1

Так как грузы связаны между собой, и ни один из них не перевешивает другой:

m1gR1 = m2gR2

Ускорение свободного падения взаимоуничтожается. Получаем:

Подставим радиус второй окружности и выразим радиус первой окружности:

Следовательно, центростремительное ускорение первого груза равно:

Теперь возьмем проекцию на ось ОХ для первого тела и вставим в формулу найденное центростремительное ускорение для первого тела:

Подставим известные данные и вычислим силу натяжения нити:


pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Задание EF18982

Небольшая шайба массой m=10 г, начав движение из нижней точки закреплённого вертикального гладкого кольца радиусом R=0,14 м, скользит по его внутренней поверхности. На высоте h=0,18м она отрывается от кольца и свободно падает. Какую кинетическую энергию имела шайба в начале движения? Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на шайбу в точке А.

Алгоритм решения

1.Записать исходные данные. Перевести единицы измерения величин в СИ.
2.Сделать чертеж и указать все силы, действующие на шайбу в точке А. Указать их направление и выбрать систему координат.
3.Записать второй закон Ньютона в векторной форме.
4.Записать второй закон Ньютона в виде проекций на ось ОХ.
5.Записать формулу, определяющую кинетическую энергию тела.
6.Применить геометрические законы для нахождения величины радиуса кольца и формулу центростремительного ускорения для нахождения скорости тела.
7.Записать решение в общем виде, подставить исходные данные и произвести вычисления.

Решение

Запишем исходные данные:

 Масса шайбы m = 10 г = 0,01 кг.
 Радиус кольца, по которому перемещалась шайба, составляет R = 0,14 м.
 Высота, с которой шайба упала, равна h = 0,18 м.

Сделаем чертеж. Выберем систему координат такую, чтобы направление линейной скорости шайбы в точке совпадала с направлением оси ОУ.

Запишем второй закон Ньютона в векторной форме:

Под ускорением в этой записи понимается полное ускорение, составляющими которого является центростремительное и тангенциальное ускорение, направленное касательно к окружности (на рисунке мы его не обозначили, так как оно нам не понадобится).

Запишем проекцию на ось ОХ. Учтем, что в точке А шайба отрывается от кольца и падает. Следовательно, нормальная реакции опоры равна нулю:

mg cosα = maц.с.

Кинетическая энергия тела определяется формулой:

Выразим центростремительное ускорение из проекции на ось ОХ:

Но центростремительное ускорение также определяется формулой:

Приравняем правые части уравнений и получим:

Квадрат скорости будет равен:

Следовательно, кинетическая энергия равна:

Чтобы избавиться от неизвестных величин, обратимся к геометрии:

Из рисунка видно, что высота h есть сумма радиуса окружности и произведения радиуса на косинус угла α:

h = R + Rcosα

Отсюда следует, что:

Rcosα = h – R

Подставим это выражение в формулу кинетической энергии и выполним вычисления:

Отсюда следует, что кинетическая энергия шарика в начале движения равна 2 мДж.

.


pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Задание EF18678

Высота полёта искусственного спутника над Землёй увеличилась с 400 до 500 км. Как изменились в результате этого скорость спутника и его потенциальная энергия?

Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:

1) увеличилась
2) уменьшилась
3) не изменилась

Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.

Скорость спутника Потенциальная энергия спутника

Алгоритм решения

1.Записать закон всемирного тяготения и формулу центростремительного ускорения для движения тела по окружности с постоянной по модулю скоростью.
2.Установить зависимость скорости от высоты спутника над поверхностью Земли.
3.Записать формулу потенциальной энергии и установить, как она зависит от высоты.

Решение

На спутник действует сила притяжения Земли, которая сообщает ему центростремительное ускорение:

F=maц=GmM(R+h)2..

Отсюда центростремительное ускорение равно:

aц=GM(R+h)2..

Но центростремительное ускорение также равно:

aц=v2(R+h)..

Приравняем правые части выражений и получим:

GM(R+h)2..=v2(R+h)..

v2=MG(R+h)(R+h)2..=MG(R+h)..

Квадрат скорости спутника обратно пропорционален радиусу вращения. Следовательно, при увеличении высоты увеличивается радиус вращения, а скорость уменьшается.

Потенциальная энергия спутника определяется формулой:

Ep = mgh

Видно, что потенциальная энергия зависит от высоты прямо пропорционально. Следовательно, при увеличении высоты потенциальная энергия спутника тоже увеличивается.

Верная последовательность цифр в ответе: 21.

Ответ: 21

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Задание EF17513 Полый конус с углом при вершине 2α вращается с угловой скоростью ω вокруг вертикальной оси, совпадающей с его осью симметрии. Вершина конуса обращена вверх. На внешней поверхности конуса находится небольшая шайба, коэффициент трения которой о поверхность конуса равен μ. При каком максимальном расстоянии L от вершины шайба будет неподвижна относительно конуса? Сделайте схематический рисунок с указанием сил, действующих на шайбу.

Алгоритм решения

1.Построить чертеж. Указать все силы, действующие на шайбу. Выбрать систему координат.
2.Записать второй закон Ньютона для описания движения шайбы в векторном виде.
3.Записать второй закон Ньютона в виде проекций на оси.
4.Через систему уравнений вывести искомую величину.

Решение

Так как шайба вращается, покоясь на поверхности конуса, на нее действуют четыре силы: сила трения, сила тяжести, сила реакции опоры и центростремительная сила. Изобразим их на чертеже. Выберем систему координат, параллельную оси вращения.

Второй закон Ньютона в векторном виде выглядит следующим образом:

Теперь запишем этот закон в проекциях на оси ОХ и ОУ соответственно:

Так как шайба покоится относительно поверхности конуса, сила трения равна силе трения покоя:

Максимальное значение силы трения равно:

Принимая в учет силу трения покоя, проекции на оси ОХ и ОУ примут следующий вид:

Запишем систему уравнение в следующем виде:

Поделим первое уравнение на второе и получим:

Сделаем сокращения и получим:

Отсюда центростремительное ускорение равно:

Но также известно, что центростремительное ускорение равно произведению квадрата угловой скорости на радиус окружности:

Радиус окружности, по которой вращается шайба вместе с конусом, можно вычислить по формуле:

Отсюда центростремительное ускорение равно:

Выразим искомую величину L:

Подставим в это выражение выведенную для центростремительного ускорения формулу и получим:

Поделим числитель на синус угла α, чтобы упростить выражение, и получим:

.

.

.


pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить


Алиса Никитина | Просмотров: 728 | Оценить:

Добавить комментарий



Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *