Правило моментов при решении задач • СПАДИЛО

Легче всего решать задачу, если все приложенные к телу силы параллельны – тогда можно получить ответ, используя лишь правило моментов. Если же силы непараллельные, то иногда для получения ответа требуется дополнительно применять второй закон Ньютона.

Параллельные силы

Алгоритм решения задач на правило моментов (параллельные силы)

Выполнить чертеж. Указать на нем все силы с точкой их приложения и направлением действия. В этом вам поможет таблица.

Сила	Точка приложения	Направление
Сила тяжести, действующая на груз	Центр груза	Вертикально вниз
Сила тяжести, действующая на однородный стержень	Центр тяжести	Вертикально вниз
Сила тяжести, действующая на неоднородный стержень	Центр масс, положение которого указывают в условии задачи	Вертикально вниз
Вес	Точка опоры или подвеса	Вес тела направлен противоположно вектору силы нормальной реакции опоры или вектору силы натяжения подвеса
Сила реакции опоры	Точка соприкосновения стержня и опоры	Перпендикулярно вверх
Сила натяжения нити	Точка соединения с подвесом	Вдоль оси подвеса

Выбрать положение оси вращения. Обычно ось выбирают в месте, где находится неизвестная сила или сила, искать которую не нужно.
Указать значение плеч. Если в задаче нужно указать некоторое расстояние (к примеру, от центра стержня или от места приложения некоторой силы), то это расстояние следует обозначать за x. Размер плеч сил нужно определять с учетом размеров стержня и расстояния x.
Записать правило моментов и решить задачу.

Типовы задачи на правило моментов при параллельных силах

Прямая неоднородная балка длиной l и массой m подвешена за концы на вертикально натянутых тросах. Балка занимает горизонтальное положение. Найдите силу натяжения первого троса T₂, если центр тяжести балки находится на расстоянии a от левого конца балки.

Для решения задачи в качестве положения оси вращения удобно выбрать точку приложения силы натяжения первого троса (потому что ее искать не нужно). Тогда плечом силы тяжести будет расстояние a, а плечом силы натяжения второго троса — l. Поэтому правило моментов можно записать так:

T₂l = mga

T₂ = mga/l

Рельс длиной l и массой m поднимают равномерно в горизонтальном положении на двух вертикальных тросах, первый из которых укреплен на конце рельса, а второй — на расстоянии x от другого конца. Определите натяжение второго троса.

В этой задаче положение оси вращения также удобно выбрать в точке О, соответствующей точке приложения силы натяжения нити первого троса (так как ее искать не нужно). Тогда плечом силы натяжения второго троса будет служить разность длины рельса и расстояния x, а плечом силы тяжести — половина длины рельса. Поэтому правило моментов примет вид:

mgl/2 = T₂(l – x)

$T_{2} = \frac{m g l}{2 (l - x)}$

Пример №1. К левому концу невесомого стержня прикреплен груз массой 3 кг (см. рисунок). Стержень расположили на опоре, отстоящей от груза на 0,2 длины. Груз какой массы надо подвесить к правому концу, чтобы стержень находился в равновесии?

Условие равновесие будет выполняться, если произведение силы тяжести первого груза на ее плечо будет равно произведению силы тяжести второго груза на ее плечо:

F_тяж1d₁= F_тяж2d₂

Согласно рисунку, второй груз будет подвешен на расстоянии 0,8 от опоры. Следовательно:

$F_{т я ж 2} = \frac{F_{т я ж 2} d_{1}}{d_{2}} = \frac{m_{1} g d_{1}}{d_{2}}$

$m_{2} g = \frac{m_{1} g d_{1}}{d_{2}}$

$m_{2} = \frac{m_{1} d_{1}}{d_{2}} = \frac{3 \cdot 0, 2}{0, 8} = 0, 75 (к г)$

Непараллельные силы

Алгоритм решения задач на правило моментов (непараллельные силы)

Выполнить чертеж и указать все силы. Правильно определить точку приложения и направление сил поможет таблица:

Сила	Точка приложения	Направление
Сила реакции опоры	Точка соприкосновения с опорой	Перпендикулярно плоскости опоры
Сила трения покоя	Точка соприкосновения с опорой	В сторону возможного движения
Сила тяжести	Центр масс (у однородных тел центр масс совпадает с центром тела)	Вертикально вниз
Архимедова сила	Центр масс погруженной части тела	Вертикально вверх

Определить плечи сил как кратчайшее расстояние между осью вращения и направлением действия силы.
Записать правило моментов и решить задачу.

Внимание! Иногда для решения задачи может потребоваться использование второго закона Ньютона в проекциях на оси Ox и Oy.

Типовы задачи на правило моментов при непараллельных силах

Рабочий удерживает за один конец доску массой m так, что она образует угол α с горизонтом, опираясь о землю другим концом. С какой силой рабочий удерживает доску, если эта сила перпендикулярна доске?	За точку равновесия примем точку касания доски с землей. Плечо силы тяжести будет равно нижнему катету треугольника, образованного при опускании перпендикуляра к земле из точки приложения этой силы: d₁ = l cosα/2 Плечо силы, с которой рабочий поднимает доску, равно длине доски: d₂ = l Отсюда: $\frac{m g l cos . α}{2} = F l$ $F = \frac{2 l}{m g l cos . α} = \frac{2}{m g cos . α}$
В гладкий высокий цилиндрический стакан с внутренним радиусом R помещают карандаш длиной l и массой m. С какой силой действует на стакан верхний конец карандаша?	За точку равновесия примем нижнюю точку карандаша. Сила давления верхнего конца карандаша на стакан по модулю будет равна силе нормальной реакции опоры в этой точке. Поэтому плечо ее силы будет равно произведению длины карандаша на синус угла между ним и дном стакана: d₁ = l sinα Минимальным расстоянием между линией действия силы тяжести и точкой равновесия будет половина произведения длины карандаша на косинус угла между ним и дном стакана: d₂ = l сosα/2 Отсюда: Nl sinα = mgl сosα/2 $N = \frac{m g l cos . α}{2 l sin . α}$ Плечо силы тяжести также равно радиусу стакана, а плечо силы реакции опоры можно найти из теоремы Пифагора. Отсюда: $N = \frac{m g R}{\sqrt{l^{2} - 4 R^{2}}}$
Колесо радиусом R и массой m стоит перед ступенькой высотой h. Какую наименьшую горизонтальную силу надо приложить, чтобы оно могло подняться на ступеньку? Сила трения равна нулю.	За точку равновесия примем точку касания колеса со ступенькой. Плечо силы тяжести является катетом треугольника, образованного с радиусом колеса и плечом прикладываемой силы. Плечо этой силы равно разности радиуса и высоты ступеньки. $d_{1} = \sqrt{R^{2} - d_{2}^{2}}$ $d_{2} = R - h$ Отсюда: $m g \sqrt{R^{2} - d_{2}^{2}} = F (R - h)$ $F = \frac{m g \sqrt{R^{2} - d_{2}^{2}}}{R - h} = \frac{m g \sqrt{h (2 R - h)}}{R - h}$
Лестница массой m приставлена к гладкой вертикальной стене пол углом α. Найдите силу давления лестницы на стену. Центр тяжести лестницы находится в ее середине.	Плечо силы тяжести равно половине произведения длины лестницы на косинус угла α. Плечо силы реакции опоры равно произведению этой длины на синус α. Поэтому правило моментов записывается так: $N l sin . α = \frac{m g l cos . α}{2}$ Отсюда: $.$ $N = \frac{m g l cos . α}{2 l sin . α} = \frac{m g}{2 tan . α}$
Лестница длиной l приставлена к идеально гладкой стене под углом α к горизонту. Коэффициент трения между лестницей и полом μ. На какое расстояние x вдоль лестницы может поднять человек, прежде чем лестница начнет скользить? Массой лестницы пренебречь.	Правило моментов: $m g x cos . α = N_{2} l sin . α$ Второй закон Ньютона в проекциях на оси Ox и Oy соответственно: F_тр – N₂ = 0 N₁ – mg = 0 Сила трения: F_тр = μmg = N₂ Следовательно: $m g x cos . α = μ m g l sin . α$ $x = \frac{μ m g l sin . α}{m g x cos . α} = μ l tan . α$
Однородная лестница приставлена к стене. При каком наименьшем угле α между лестницей и горизонтальным полом лестница сохранит равновесие, если коэффициент трения между лестницей и полом μ₁, а между лестницей и стеной — μ₂?	Правило моментов: $m g \frac{l}{2} cos . α = {F_{т р 2} l cos . α + N}_{2} l sin . α$ Второй закон Ньютона в проекциях на ось Ox: F_тр1 – N₂ = 0 μ₁N₁ – N₂ = 0 На ось Oy: F_тр2+ N₁ – mg = 0 $μ_{2} N_{2} + \frac{N_{2}}{μ_{1}} = m g$ $N_{2} (μ_{2} + \frac{1}{μ_{1}}) = m g$ $N_{2} = \frac{m g}{μ_{2} + \frac{1}{μ_{1}}} = \frac{m g μ_{1}}{μ_{1} μ_{2} + 1}$ $F_{т р 2} = m g - N_{1} = m g - \frac{N_{2}}{μ_{1}} = m g - \frac{m g}{μ_{1} μ_{2} + 1} = m g (1 - \frac{1}{μ_{1} μ_{2} + 1})$ $m g \frac{l}{2} cos . α = m g (1 - \frac{1}{μ_{1} μ_{2} + 1}) l cos . α + \frac{m g μ_{1}}{μ_{1} μ_{2} + 1} l cos . α$ Преобразуем выражение и получим: $tan . α = \frac{1 - μ_{1} μ_{2}}{1 μ_{1}}$
Какую минимальную горизонтальную силу нужно приложить к верхнему ребру куба массой m, находящегося на горизонтальной плоскости, чтобы перекинуть его через нижнее ребро?	Правило моментов примет вид: $m g \frac{l}{2} cos . α = F l sin . α$ У куба угол α равен 45 градусам, а синус и косинус этого угла равны. Длины диагонали взаимоуничтожаются. Остается: $F = \frac{m g}{2}$

Пример №2. Невесомый стержень длиной 1 м, находящийся в ящике с гладким дном и стенками, составляет угол α = 45^о с вертикалью (см. рисунок). К стержню на расстоянии 25 см от его левого конца подвешен на нити шар массой 2 кг. Каков модуль силы N, действующий на стержень со стороны левой стенки ящика?

25 см = 0,25 м

Пусть точкой равновесия будет точка касания нижнего конца стержня с дном ящика. Тогда плечом силы тяжести будет:

d₁ = (l – 0,25)sinα

Плечом силы реакции опоры будет:

d₂ = l cosα

Запишем правило моментов:

$m g (l - 0, 25) sin . α = N l cos . α$

Отсюда:

$N = \frac{m g (l - 0, 25) sin . α}{l cos . α}$

Так как косинус и синус угла 45^о равны, получим:

$N = \frac{m g (l - 0, 25)}{l} = \frac{2 \cdot 10 (1 - 0, 25)}{1} = 15 (Н)$

Задание EF17982

Однородный стержень АВ массой 100 г покоится, упираясь в стык дна и стенки банки концом В и опираясь на край банки в точке С (см. рисунок). Модуль силы, с которой стержень давит на стенку сосуда в точке С, равен 0,5 Н. Чему равен модуль горизонтальной составляющей силы, с которой стержень давит на сосуд в точке В, если модуль вертикальной составляющей этой силы равен 0,6 Н? Трением пренебречь.

Ответ:

а) 0,3 Н

б) 0,25 Н

в) 0,6 Н

г) 0,13 Н

Алгоритм решения

Записать исходные данные и перевести единицы измерения величин в СИ.
Выполнить чертеж. Выбрать ось вращения. Указать силы и их плечи.
Использовать второй и третий законы Ньютона, чтобы выполнить общее решение.
Подставить известные данные и вычислить искомую величину.

Решение

Запишем исходные данные:

Масса стержня: m = 100 г.
Модуль силы, с которой стержень давит на стенку сосуда в точке С: F_C = 0,5 Н.
Модуль вертикальной составляющей силы, с которой стержень давит на сосуду в точке В: F_By = 0,6 Н.

Переведем единицы измерения в СИ:

100 г = 0,1 кг

Выполним чертеж:

Поскольку стержень покоится, согласно второму закону Ньютона, равнодействующая всех сил, действующих на него, должна быть равна нулю. На стержень действует три силы:

сила тяжести (mg);
сила реакции опоры в точке С (F_C);
сила реакции опоры в точке В (F_В).

Поэтому:

$m \to g + {\to F}_{C} + {\to F}_{B} = 0$

Запишем проекции на оси Ox и Oy соответственно:

$F_{C x} = F_{B x}$

$F_{C y} + F_{B y} = m g$

Модуль горизонтальной составляющей силы в точке В можно выразить через теорему Пифагора:

$F_{C x} = \sqrt{F_{C}^{2} - F_{C y}^{2}}$

Но вертикальная составляющая силы в точке C равна разности силы тяжести и горизонтальной составляющей силы в точке В:

$F_{C y} = m g - F_{B y}$

Отсюда:

$F_{B x} = F_{C x} = \sqrt{F_{C}^{2} - F_{C y}^{2}} = \sqrt{F_{C}^{2} - ({m g - F_{B y})}_{B y}^{2}}$

Подставим известные данные и вычислим:

$F_{B x} = \sqrt{{0, 5}^{2} - {(0, 1 \cdot 10 - 0, 6)}^{2}} = \sqrt{0, 25 - 0, 16} = 0, 3 (Н)$

Ответ: а

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Задание EF18697

Невесомый стержень, находящийся в ящике с гладкими дном и стенками, составляет угол 45° с вертикалью (см. рисунок). К середине стержня подвешен на нити шарик массой 1 кг. Каков модуль силы упругости $\vec{N},$ действующей на стержень со стороны левой стенки ящика?

Алгоритм решения

1.Записать исходные данные.

2.Записать правило моментов.

3.Выполнить решение в общем виде.

4.Подставить известные данные и вычислить искомую величину.

Решение

Запишем исходные данные:

• Угол между стержнем и стенкой ящика: α = 45^o.

• Масса шарика: m = 1 кг.

Чтобы записать правило моментов, нужно определить плечи силы тяжести и силы упругости. В качестве точки равновесия выберем точку опоры нижнего конца стержня. Тогда плечо силы тяжести будет равно произведению половины длины стержня на косинус угла между дном ящика и стержнем. Он тоже будет равен 45 градусам, так как он равен разности 180 градусов и угла α = 45^o. Отсюда:

$d_{m g} = \frac{l}{2} cos . α$

Плечо силы упругости будет равно расстоянию от дна ящика до верхней точки стержня. Оно определяется как произведение длины стержня на синус угла α:

$d_{N} = l sin . α$

Запишем правило моментов:

$m g \frac{l}{2} cos . α = N l sin . α$

Отсюда:

$N = m g \frac{l}{2 l sin . α} cos . α$

Длина стержня в числителе и знаменателе сократится, косинус и синус угла тоже, так как при 45 градусах они одинаковые. Следовательно:

$N = \frac{m g}{2} = \frac{1 \cdot 10}{2} = 5 (Н)$

Ответ: 5

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Алиса Никитина | Просмотров: 8k