Спортсмен спускается на парашюте с постоянной скоростью. Как изменяются с течением времени в процессе спуска импульс спортсмена и его потенциальная энергия? Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:

1) увеличивается

2) уменьшается

3) не изменяется

Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.

1. Установить зависимость импульса тела от времени для случая, рассмотренного в задаче. Выбрать соответствующий вариант ответа.
2. Установить зависимость потенциальной энергии тела от времени для случая, рассмотренного в задаче. Выбрать соответствующий вариант ответа.
3. Записать ответ в виде последовательности выбранных цифр, не разделяя их знаками и пробелами.

Алгоритм решения:

Решение:

Запишем исходные данные:

Переводим единицы измерения величин в СИ:

M = 230 г = 0,23 кг

l = 50 см = 0,5 м

Систему отсчёта, связанную с Землёй, будем считать инерциальной. Тела считаем материальными точками.

Для описания взаимодействия пули и шара используем закон сохранения импульса системы тел. Он выполняется в инерциальной системе отсчёта, если сумма внешних сил, приложенных к телам системы, равна нулю. В данном случае проекции внешних сил (силы тяжести и силы натяжения нити) на горизонтальную ось в момент взаимодействия равны нулю. Следовательно, можно использовать закон сохранения импульса в проекциях на эту ось.

Для дальнейшего движения шара с застрявшей в нём пулей будет справедлив закон сохранения механической энергии, поскольку сопротивлением воздуха по условию задачи можно пренебречь, а единственная неконсервативная сила, действующая на шар, – сила натяжения нити – не совершает работы при движении шара по окружности, поскольку она всюду перпендикулярна скорости движения шара.

Условие минимальности v₀ означает, что шар совершает полный оборот в вертикальной плоскости, но при этом натяжение нити в верхней точке (и только в ней) равен 0.

Применим закон сохранения импульса, согласно которому сумма импульсов всех сил в системе не меняется до и после их взаимодействия. Следовательно:

Так как начальная скорость V шара равна нулю:

Скорость v — скорость движения шара и пули, которые после столкновения движутся как единое тело с массой M + m.

Теперь применим закон сохранения энергии. Учитываем, что в момент столкновения система тел имела максимальную скорость, а соответственно — максимальную кинетическую энергию. Также учитываем, что в верхней точке движения кинетическая энергия системы тел была меньше за счет уменьшения скорости, но не была нулевой. Также в верхней точке траектории система тел обладала максимальной потенциальной энергией. Запишем это так:

Максимальная кинетическая энергия системы тел будет равна:

Кинетическая энергия в верхней точке:

v₁ — скорость системы тел в верхней точке.

Потенциальная энергия равна произведению массы системы тел на ускорение свободного падения и на высоту, на которой находится система в верхней точке — h. Эта высота равна удвоенной длине нити:

Тогда закон сохранения энергии принимает вид:

Также применим законы Ньютона к системе тел в верхней точке траектории. С одной стороны, на нее действует сила тяжести $F_{тяж}=\left(M+m\right)g.$ С другой — центробежная сила — $F_{Ц}=\frac{(M+m)v_1^2}{l}$. В знаменателе используем длину нити, так как она в данном случае равна радиусу окружности, по которой происходит движение системы тел.

Модули этих сил равны. Следовательно:

Или:

Отсюда выразим квадрат скорости в верхней точке:

Подставляем это выражение в закон сохранения энергии:

Или:

Подставляем эту скорость в закон сохранения импульса и выразим из него массу пули:

Подставляем известные значения и находим массу пули:

Импульс частицы до столкновения равен $\stackrel{-}{p}$₁, а после столкновения равен $\stackrel{-}{p}$₂, причём p₁ = p, p₂ = 2p, $\stackrel{-}{p}$₁⊥$\stackrel{-}{p}$₂. Изменение импульса частицы при столкновении Δ$\stackrel{-}{p}$ равняется по модулю:

а) p

б) p√3

в) 3p

г) p√5

Алгоритм решения

Решение

Запишем исходные данные:

Построим чертеж:

Так как угол α = 90^о, вектор изменения импульса представляет собой гипотенузу треугольника, катами которого являются вектора начального и конечного импульсов. Поэтому изменение импульса можно вычислить по теореме Пифагора:

$\Delta p=\sqrt{p_1^2+p_2^2}$

Подставим известные данные:

$\Delta p=\sqrt{p^2+{\left(2p\right)}^2}=\sqrt{5p^2}=p\sqrt{5}$

.

На рисунке приведён график зависимости проекции импульса на ось Ox тела, движущегося по прямой, от времени. Как двигалось тело в интервалах времени 0–1 и 1–2?

а) в интервале 0–1 не двигалось, а в интервале 1–2 двигалось равномерно

б) в интервале 0–1 двигалось равномерно, а в интервале 1–2 двигалось равноускорено

в) в интервалах 0–1 и 1–2 двигалось равномерно

г) в интервалах 0–1 и 1–2 двигалось равноускорено

Алгоритм решения

Решение

Импульс тела есть произведение массы тела на его скорость:

p = mv

Следовательно, импульс и скорость тела — прямо пропорциональные величины. Если импульс с течением времени не меняется, то скорость тоже. Значит, движение равномерное. Если импульс растет линейно, то и скорость увеличивается линейно. В таком случае движение будет равноускоренным.

На участке 0–1 импульс тела не менялся. Следовательно, на этом участке тело двигалось равномерно. На участке 1–2 импульс тела увеличивался по линейной функции, следовательно, на этом участке тело двигалось равноускорено.

Верный ответ: б.

Алгоритм решения

Решение

Запишем исходные данные:

Так как это абсолютно неупругий удар, закон сохранения импульса принимает вид:

$m_1{v}_1+m_2{v}_2=\left(m_1+m_2\right)v$

Учтем, что скорость тележки изначально была равна нулю, а к ее движению после столкновения привела только горизонтальная составляющая начальной скорости камня:

$m_1{v}_1\cos .\alpha =\left(m_1+m_2\right)v$

Выразить конечную скорость системы тел после столкновения мы можем через ее кинетическую энергию:

$E_k=\frac{\left(m_1+m_2\right)v^2}{2}$

Отсюда скорость равна:

$v=\sqrt{\frac{2E_k}{m_1+m_2}}$

Выразим скорость камня до столкновения через закон сохранения импульса и подставим в формулу найденную скорость:

$v_1=\frac{\left(m_1+m_2\right)v}{m_1\cos .\alpha }=\frac{\left(m_1+m_2\right)}{m_1\cos .\alpha }·\sqrt{\frac{2E_k}{m_1+m_2}}$

Подставим известные данные и произведем вычисления:

$v_1=\frac{(3+15)}{3\cos .{60}^o}·\sqrt{\frac{2·2,25}{3+15}}=12·\sqrt{0,25}=12·0,5=6\left(\frac{м}{с}\right)$

Снаряд, имеющий в точке О траектории импульс$p^{}$₀, разорвался на два осколка. Один из осколков имеет импульс $\stackrel{}{}$. Импульс второго осколка изображается вектором:

а) $\overrightarrow{AB}$

б) $\overrightarrow{BC}$

в) $\overrightarrow{CO}$

г) $\overrightarrow{OD}$

Алгоритм решения

Решение

Согласно закону сохранения импульса, импульс замкнутой системы тел сохраняется. Записать его можно так:

${\stackrel{-}{p}}_1+{\stackrel{-}{p}}_2={\stackrel{-}{\mathrm{p\prime }}}_1+{\stackrel{-}{p\prime }}_2$

Можем условно считать осколки замкнутой системой, так как они не взаимодействуют с другими телами. Применяя к ним закон сохранения импульса, получим:

${\stackrel{-}{p}}_0={\stackrel{-}{p}}_1+{\stackrel{-}{p}}_2$

Отсюда импульс второго осколка равен векторной разности импульса снаряда и импульса первого осколка:

${\stackrel{-}{p}}_2={\stackrel{-}{p}}_0-{\stackrel{-}{p}}_1$

Известно, что разностью двух векторов является вектор, начало которого соответствует вычитаемому вектору, а конец — вектору уменьшаемому. В нашем случае вычитаемый вектор — вектор импульса первого осколка. Следовательно, начало вектора импульса второго осколка лежит в точке А. Уменьшаемый вектор — вектор импульса снаряда. Следовательно, конец вектора лежит в точке В. Следовательно, искомый вектор — $\overrightarrow{AB}$.

Летящая горизонтально со скоростью 20 м/с пластилиновая пуля массой 9 г попадает в груз неподвижно висящий на нити длиной 40 см, в результате чего груз с прилипшей к нему пулей начинает совершать колебания. Максимальный угол отклонения нити от вертикали при этом равен α = 60°. Какова масса груза?

Ответ:

а) 27 г

б) 64 г

в) 81 г

г) 100 г

Алгоритм решения

Решение

Запишем исходные данные:

Переведем единицы измерения величин в СИ:

Сделаем чертеж:

Нулевой уровень — точка А.

После неупругого столкновения пули с грузом они начинают двигаться вместе. Поэтому закон сохранения импульса для точки А выглядит так:

$mv=(m+M)V$

После столкновения система тел начинается двигаться по окружности. Точка В соответствует верхней точке траектории. В этот момент скорость системы на мгновение принимает нулевое значение, а потенциальная энергия — максимальное.

Закон сохранения энергии для точки В:

$\frac{(m+M)V^2}{2}=(m+M)gh$

$\frac{V^2}{2}=gh$

Высоту h можно определить как произведение длины нити на косинус угла максимального отклонения. Поэтому:

$V=\sqrt{2gl\cos .\alpha }$

Подставим это выражение в закон сохранения импульса для точки А и получим:

Выразим массу груза: