Разность потенциалов U (В) между обкладками конденсатора (напряжение между пластинами), определяется произведением напряженности создаваемого ими электрического поля на расстояние между ними:
U=Ed
Электроемкость конденсатора
Электроемкость обозначается как C. Единица измерения электрической емкости — Фарад (Ф).
Электроемкость конденсатора определяется формулой:
Внимание! У воздушного конденсатора диэлектрическая проницаемость среды равна 1.
Связь между электроемкостью конденсатора, зарядом и напряжением определяется формулами:
C=QU..=qU..
Важно! Электроемкость конденсатора зависит только от площади его пластин, расстояния между ними и диэлектрической проницаемости среды. От заряда и напряжения эта величина не зависит.
Энергия конденсатора
Подсказки к задачам
Конденсатор отключен от источника
q = q′
Конденсатор подключен к источнику
U = U′
Количество теплоты и энергия конденсатора
Q = ∆Wэ
Пример №1. Вычислить электроемкость плоского воздушного конденсатора с квадратными пластинами со стороной 10 см, расположенными на расстоянии 1 мм друг от друга. Ответ округлить до десятых.
10 см = 0,1 м
1 мм = 0,001 м
Так как между обкладками конденсатора находится воздух, примем диэлектрическую проницаемость среды за единицу.
Площадь квадратной пластины равна квадрату ее стороны:
S = a2
Соединения конденсаторов
Последовательное соединение
Параллельное соединение
Схема
Напряжение
U=U1+U2
U=U1=U2
Заряд
q=q1=q2
q=q1+q2
Электроемкость
1C..=1C1..+1C2..
C=C1+C2
Подсказки к задачам
Два конденсатора, электроемкости которых C1 и C2, заряжены до напряжения U1 и U2. Найдите разность потенциалов после соединения конденсаторов одноименными полюсами.
Схема соединения конденсаторов одноименными полюсами:
Заряд системы после соединения:
q′=C1U1+C2U2
Электрическая емкость системы:
C′=C1+C2
Напряжение:
U′=q′C′..=C1U1+C2U2C1+C2..
Два конденсатора, электроемкости которых C1 и C2, заряжены до напряжения U1 и U2. Найдите разность потенциалов после соединения конденсаторов разноименными полюсами.
Схема соединения конденсаторов разноименными полюсами:
Заряд системы после соединения:
q′=C1U1−C2U2
Электрическая емкость системы:
C′=C1+C2
Напряжение:
U′=q′C′..=C1U1−C2U2C1+C2..
Пример №2. К конденсатору, электрическая емкость которого C = 16 пФ, подключают два одинаковых конденсатора емкостью X: один параллельно, а второй — последовательно (см. рисунок). Емкость образовавшейся батареи конденсаторов равна емкости C. Какова емкость X? Ответ округлите до десятых.
Электрическая емкость параллельного соединения равна:
Cпарал=X+C
Электроемкость последовательного соединения:
1Cпослед..=1Cпарал..+1X..=1X+C..+1X..
Учтем, что суммарная электроемкость равна C:
1C..=1X+C..+1X..
Преобразуем, умножим выражение на CX(X+C):
X(X+C)=CX+C(X+C)
Раскроем скобки:
X2+XC=CX+CX+C2
X2−CX−C2=0
Решив уравнение, получим: X = 25,9 пФ.
Разбор задач на тему «Заряженная частица в поле конденсатора»
Шарик, находящийся в масле плотностью ρ, «висит» в поле плоского конденсатора. Плотность вещества шарика ρш > ρ, его радиус r, расстояние между обкладками конденсатора d. Каков заряд шарика, если электрическое поле направлено вверх, а разность потенциалов между обкладками U?
Условие равновесия исходит из второго закона Ньютона:
−Fтяж+−FK+−FA=0
ρш > ρ, поэтому −Fтяж> −FA. В этом случае сила Кулона направлена вверх, а заряд шарика положительный. Схематически это можно отобразить так:
Проекция второго закона Ньютона на ось ОУ:
FK+FA=Fтяж
Сила тяжести равна произведению объема на плотность шарика и на ускорение свободного падения:
Fтяж=ρш43..πr3g
Архимедова сила равна произведению объема шарика на плотность масла и на ускорение свободного падения:
FА=ρ43..πr3g
Сила Кулона:
FK=qUd..
qUd..+ρ43..πr3g=ρш43..πr3g
q=(ρш43..πr3g−ρ43..πr3g)dU..=4πr3gd(ρш−ρ)3U..
Маленький шарик с зарядом q и массой m, подвешенный на невесомой нити с коэффициентом упругости k, находится между вертикальными пластинами воздушного конденсатора. Расстояние между обкладками конденсатора d. Какова разность потенциалов между обкладками конденсатора U, если удлинение нити ∆l?
Условие равновесия исходит из второго закона Ньютона:
−Fтяж+−FK+−Fупр=0
Проекции на оси ОХ и ОУ соответственно:
Fупрsin.α−FK=0
Fупрcos.α−mg=0
Отсюда:
kΔlsin.α=qUd..
kΔlcos.α=mg
Чтобы избавиться от угла α, возведем уравнения в квадрат и сложим их:
(kΔl)2sin2.α+(kΔl)2cos2.α=(qUd..)2+(mg)2
(kΔl)2(sin2.α+cos2.α)=(qUd..)2+(mg)2
sin2.α+cos2.α=1
(kΔl)2=(qUd..)2+(mg)2
U=dq..√(kΔl)2−(mg)2
Пластины плоского конденсатора расположены горизонтально на расстоянии d друг от друга. Напряжение на пластинах конденсатора U. В пространстве между пластинами падает капля жидкости. Масса капли m, ее заряд q. Определите расстояние между пластинами. Влиянием воздуха на движение капли пренебречь.
Второй закон Ньютона в векторной форме:
−Fтяж+−FK=0
Проекция на вертикальную ось:
Fтяж−FK=0
Fтяж=mg
FK=qUd..
mg=qUd..
d=qUmg..
Между двумя параллельными горизонтально расположенными диэлектрическими пластинами создано однородное электрическое поле с напряженностью −E, направленное вертикально вниз. Между пластинами помещен шарик на расстоянии d от верхней пластины и b от нижней. Заряд шарика –q, масса m. Шарик освобождают, и он начинает двигаться. Через какой промежуток времени t шарик ударится об одну из пластин, если система находится в поле силы тяжести Земли?
Второй закон Ньютона в векторной форме:
−Fтяж+−FK=m−a
Согласно условию данной задачи, сила тяжести противоположно направлена силе Кулона. Построим рисунок:
Если Fтяж > FK, то шарик движется с ускорением вниз. Ускорение и перемещение в этом случае равны:
a=mg−qEm..
s=b
Если Fтяж < FK, то шарик движется с ускорением верх. Ускорение и перемещение в этом случае равны:
a=qE−mgm..
s=d
Начальная скорость шарика равна нулю. Поэтому перемещение также равно:
s=at22..
Сделаем вычисления для случая Fтяж > FK:
at22..=b
mg−qEm..t22..=b
t=√2bmmg−qE..
Выполняя вычисления для случая Сделаем вычисления для случая Fтяж < FK, получим:
t=√2bmqE−mg..
Между двумя параллельными, вертикально расположенными диэлектрическими пластинами создано однородное электрическое поле, напряженность которого −E и направлена слева направо. Между пластинами помещен шарик на расстоянии b от левой пластины и d от правой. Заряд шарика –q, масса m. Шарик освобождают, и он начинает двигаться. Найдите смещение шарика по вертикали ∆h до удара об одну из пластин. Пластины имеют достаточно большой размер.
Второй закон Ньютона в векторной форме:
−Fтяж+−FK=m−a
Если сила Кулона направлена вправо, то sx = d.
Если сила Кулона направлена вправо, то sx = b.
Учитывая, что заряд меньше нуля, а вектор напряженности направлен вправо, делаем вывод, что кулоновская сила направлена влево.
Из проекций второго закона Ньютона выразим проекции ускорения на оси ОХ и ОУ соответственно:
ax=qEm..
ay=g
Проекции перемещений на эти же оси:
sx=axt22..
sx=Δh=gt22..
axt22..=b
Или:
qEm..t22..=b
Так как время движения шарика по вертикали и горизонтали одинаково: