Формула тонкой линзы | теория по физике 🧲 оптика

Определение

Формула тонкой линзы — формула, связывающая три величины: расстояние от предмета до линзы, расстояние от изображения до линзы и фокусное расстояние линзы.

Условные обозначения:

расстояние от предмета до линзы — d (м);
расстояние от изображения до линзы— f (м);
фокусное расстояние линзы — F (м).

Вывод формулы

Обратимся к рисунку, который мы использовали для объяснения правила построения изображений в собирающих линзах:

Видно, что треугольники АОВ и А₁В₁О подобные (по двум углам). Следовательно:

$\frac{B O}{O B_{1}} = \frac{A B}{A_{1} B_{1}}$

По двум углам также являются подобными треугольники COF и FA₁B₁. Отсюда делаем вывод, что:

$\frac{C O}{A_{1} B_{1}} = \frac{O F}{F B_{1}}$

Линия предмета образует с частью главной оптической оси, перпендикуляром, проведенным из верхней точки к линзе, и частью самой линзы прямоугольник. Следовательно, его противоположные стороны равны:

$A B = C O$

Следовательно:

$\frac{A B}{A_{1} B_{1}} = \frac{C O}{A_{1} B_{1}}$

Отсюда следует, что:

$\frac{B O}{O B_{1}} = \frac{O F}{F B_{1}}$

$B O$ является расстоянием от предмета до линзы. Обозначим его за d. $O B_{1}$ является расстоянием от линзы до изображения. Обозначим его за f. $O F$ является фокусным расстоянием линзы. Обозначим его за F. $F B_{1}$ является разностью расстояния от линзы до изображения и фокусного расстояния линзы. Поэтому это выражение мы можем записать так:

$\frac{d}{f} = \frac{F}{f - F}$

Избавимся от знаменателей и получим:

$f d - F d = f F$

Или можно записать так:

$f F + F d = f d$

Теперь все члены равенства поделим на произведение Ffd. В результате вычислений получим формулу тонкой линзы:

Формула тонкой линзы

$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$

Поскольку величиной, равной обратной фокусному расстоянию, является оптическая сила, формулу тонкой линзы можно записать следующим образом:

$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = D$

Величины d, ƒ и F могут быть как положительными, так и отрицательными. Отметим (без доказательства), что при применении формулы тонкой линзы знаки нужно ставить перед членами уравнения согласно следующим правилам.

Правила расстановки знаков перед членами уравнения в формуле линзы

Если линза собирающая, то ее фокус действительный, и перед членом $\frac{1}{F}$ ставят знак «плюс» ( $\frac{1}{F})$ .
Если линза рассеивающая, то ее фокус мнимый, и перед членом $\frac{1}{F}$ ставят знак «минус» ( $- \frac{1}{F})$ .
Если изображение действительное, то перед величиной $\frac{1}{d}$ ставят знак «плюс» ( $\frac{1}{d})$ .
Если изображение мнимое, то перед величиной $\frac{1}{d}$ ставят знак «минус» ( $- \frac{1}{d})$ .
Величина $\frac{1}{f}$ всегда имеет знак «плюс», поскольку расстояние от предмета до линзы всегда положительное.

Иногда случается, что перед величинами F, f и d знаки неизвестны. Тогда при вычислениях перед ними ставят знаки «плюс». Но если в результате вычислений фокусного расстояния или расстояния от линзы до изображения либо до источника получается отрицательная величина, то это означает, что фокус, изображение или источник мнимые.

Пример №1. Фокусное расстояние линзы равно 10 см. Найти расстояние от предмета до линзы, если расстояние от нее до изображения составляет 15 см.

Переводить в СИ единицы измерения не будем, поскольку они однородны. Так как все величины выражены в см, то и ответ будет выражен в см.

Применим формулу тонкой линзы:

$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$

$\frac{1}{d} + \frac{1}{15} = \frac{1}{10}$

Умножим выражение на 150d:

$150 + 10 d = 15 d$

$5 d = 150$

$d = 30 (с м)$

Увеличение линзы

Раньше мы уже упоминали, что изображение, полученное в линзе, может быть увеличенным или уменьшенным. Различие размеров предмета и изображения характеризуется увеличением.

Определение

Линейное увеличение — отношение линейного размера изображения к линейному размеру предмета. Линейное увеличение обозначают буквой $Γ$ .

Чтобы найти линейное увеличение изображения предмета в линзе, снова обратимся к первому рисунку этого параграфа. Если высота предмета АВ равна h, а высота изображения А₁В₁ равна Н, то:

$Γ = \frac{H}{h}$

Мы уже выяснили, что треугольники АОВ и ОА₁В₁ подобны. Поэтому:

$\frac{H}{h} = \frac{| f |}{| d |}$

Где $H$ — высота изображения предмета, $h$ — высота самого предмета.

Отсюда вытекает, что увеличение линзы равно:

$Γ = \frac{| f |}{| d |}$

Пример №2. Предмет имеет высоту h = 2 см. Какое фокусное расстояние F должна иметь линза, расположенная от экрана на расстоянии f = 4 м, чтобы изображение указанного предмета имело высоту H = 1 м?

2 см = 0,02 м

Сначала применим формулы тонкой линзы:

$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$

Она необходима, чтобы выразить фокусное расстояние линзы:

$F = \frac{d f}{d + f}$

Расстояние от предмета до линзы неизвестно. Но его можно выразить из формулы увеличения линзы:

$Γ = \frac{f}{d} = \frac{H}{h}$

Отсюда это расстояние равно:

$d = \frac{f h}{H}$

Подставим полученное выражение в формулу фокусного расстояния линзы:

$F = \frac{\frac{f h}{H} f}{\frac{f h}{H} + f} = \frac{f^{2} h}{H} \cdot \frac{H}{f h + f H} = \frac{f h}{H + h}$

$F = \frac{f h}{H + h} = \frac{4 \cdot 0, 02}{1 + 0, 02} \approx 0, 08 (м) = 8 (с м)$

Текст: Алиса Никитина, 24.9k 👀

Задание ЕГЭ-Ф-ДВ2023-26

Предмет расположен на главной оптической оси тонкой собирающей линзы. Оптическая сила линзы D = 5 дптр. Изображение предмета действительное, увеличение (отношение высоты изображения предмета к высоте самого предмета) k = 2. Найдите расстояние между предметом и его изображением.

Алгоритм решения:

1.Записать исходные данные.

2.Записать формулу тонкой линзы и формулу, определяющую увеличение линзы.

3.Произвести необходимые преобразования, чтобы вывести искомую величину.

4.Подставить в конечную формулу известные данные и произвести вычисления.

Решение:

Запишем исходные данные:

• Оптическая сила линзы: D = 5 дптр.

• Увеличение: k = 2.

Формула тонкой линзы:

Или:

Линейное увеличение также может быть определено следующими формулами:

d — расстояние межу предметом и линзой, f — расстояние между линзой и изображением предмета. Следовательно, нам нужно найти значение f + d — расстояние от предмета до его изображения.

Выразим из второй формулы расстояние между линзой и изображением предмета:

Подставим это выражение в формулу тонкой линзы и получим:

Теперь выразим отсюда расстояние межу предметом и линзой:

.

Теперь выразим таким же способом из второй формулы расстояние межу предметом и линзой, чтобы найти формулу для определения расстояния между линзой и изображением предмета через формулу тонкой линзы:

Отсюда расстояние между предметом и его изображением равно:

Ответ: 0,9

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Задание EF17760

Равнобедренный прямоугольный треугольник ABC расположен перед тонкой собирающей линзой оптической силой 2,5 дптр так, что его катет AC лежит на главной оптической оси линзы (см. рисунок). Вершина прямого угла C лежит ближе к центру линзы, чем вершина острого угла A. Расстояние от центра линзы до точки A равно удвоенному фокусному расстоянию линзы, AC = 4 см. Постройте изображение треугольника и найдите площадь получившейся фигуры.

Алгоритм решения

1.Записать исходные данные и перевести единицы измерения в СИ.

2.Сделать рисунок — построить изображение в линзе.

3.Записать формулу для нахождения площади полученной фигуры.

4.Выполнить решение в общем виде.

5.Подставить известные данные и вычислить искомую величину.

Решение

Запишем исходные данные:

• Оптическая сила линзы: D = 2,5 дптр.

• Сторона треугольника AC = 4 см.

4 см = 0,04 м

Построим изображение в линзе. Для этого достаточно построить изображение точки В. Сначала пустим луч, параллельный главной оптической оси, к плоскости линзы. Он будет преломляться, после чего пройдет через фокус. Затем пустим луч через оптический центр. На месте пересечения двух лучей поставим точку и обозначим ее за B´.

Так как точки B и C предмета лежат на одной прямой, перпендикулярной главной оптической оси, для нахождения точки изображения C´ достаточно пустить перпендикуляр от B´ этой оси. На месте пересечения поставим точку и обозначим ее C´.

Рассматривать ход лучей для построения точки A´ тоже не будем. Точка A лежит в плоскости второго фокуса. Значит, она будет находиться в этой же точке и с противоположной стороны линзы. Это легко доказать с помощью формулы тонкой линзы:

$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$

Если расстояние от предмета до линзы равно 2F, то и расстояние от линзы до его изображения будет 2F:

$\frac{1}{2 F} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$

$\frac{1}{f} = \frac{1}{F} - \frac{1}{2 F} = \frac{2 - 1}{2 F} = \frac{1}{2 F}$

$f = 2 F$

Теперь соединим все найденные точки и получим треугольник A´ B´ C´. Найдем его площадь. Поскольку это прямоугольный треугольник, его площадь будет равна половине произведения двух катетов — B´ C´и A´ C´:

$S = \frac{A ´ C ´ \cdot B ´ C ´}{2}$

Из формулы оптической силы линзы найдем фокусное расстояние:

$F = \frac{1}{D} = \frac{1}{2, 5} = 0, 4 (м)$

Известно, что точка A находится в точке двойного фокусного расстояния. И ее изображение тоже находится на таком же расстоянии от линзы. Следовательно, чтобы найти длину катета A´ C´, нужно найти расстояние от точки C до ее изображения. Расстояние от этой точки до линзы равно разности двойного фокусного расстояния и длины отрезка AC:

$d_{C} = 2 F - A C = 2 \cdot 0, 4 - 0, 04 = 0, 76 (м)$

Используя формулу тонкой линзы, вычислим расстояние от линзы до изображения этой точки:

$\frac{1}{0, 76} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$

$\frac{1}{f_{C}} = \frac{1}{F} - \frac{1}{0, 76} = \frac{0, 76 - F}{0, 76 F} = \frac{0, 76 - 0, 4}{0, 76 \cdot 0, 4}$

$f_{C} = \frac{0, 76 \cdot 0, 4}{0, 76 - 0, 4} = 0, 844 (м)$

Тогда длина катета A´ C´ будет равна:

$A ´ C ´ = f_{C} - f_{A} = f_{C} - 2 F = 0, 844 - 0, 4 \cdot 2 = 0, 044 (м)$

Треугольники BCO и B´ C´O подобны по 3 углам. Углы O равны как вертикальные. Углы C и C´ как прямые, а B и B´ как накрест лежащие (полученные при пересечении секущей в виде луча через оптический центр и параллельных фокальных плоскостей). Следовательно BC относится к B´ C´ так же, как OC относится к C´O:

$\frac{B C}{B ´ C ´} = \frac{A C}{A ´ C ´}$

Треугольник ABC равнобедренный, поэтому BC = AС. Тогда:

$\frac{A C}{B ´ C ´} = \frac{A C}{A ´ C ´}$

Следовательно:

$B ´ C ´ = A ´ C ´$

Отсюда площадь треугольника равна:

$S = \frac{A ´ C ´ \cdot A ´ C ´}{2} = \frac{{(0, 044)}^{2}}{2} = 0, 000968 (м^{2}) = 9, 68 ({с м}^{2})$

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Задание EF17685

Линза с фокусным расстоянием F=1м даёт на экране изображение предмета, увеличенное в 4 раза. Каково расстояние от предмета до линзы?

Ответ:

а) 0,50 м

б) 0,75 м

в) 1,25 м

г) 1,50 м

Линза с фокусным расстоянием F=1м даёт на экране изображение предмета, увеличенное в 4 раза. Каково расстояние от предмета до линзы?

Алгоритм решения

1.Записать известные данные.

2.Записать формулу увеличения линзы и формулу тонкой линзы.

3.Выразить из обеих формул расстояние от линзы до изображения предмета.

4.Приравнять правые части выражений.

5.Выполнить решение в общем виде.

6.Подставить известные данные и вычислить искомую величину.

Решение

Запишем известные данные:

• Фокусное расстояние линзы: F = 1 м.

• Увеличение линзы:

Γ

= 4.

Запишем формулу увеличения линзы и выразим из нее расстояние от линзы до изображения предмета:

$Γ = \frac{f}{d}$

$f = Γ d$

Запишем формулу тонкой линзы и выразим из нее расстояние от линзы до изображения предмета:

$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$

$\frac{1}{f} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d} = \frac{d - F}{F d}$

$f = \frac{d F}{d - F}$

Приравняем правые части последних выражений:

$Γ d = \frac{d F}{d - F}$

Поделим на d и выразим расстояние от предмета до линзы:

$Γ = \frac{F}{d - F}$

$d = \frac{F}{Γ} + F = \frac{1}{4} + 1 = 1, 25 (м)$

Ответ: в

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Задание EF18124

Предмет высотой 6 см расположен на горизонтальной главной оптической оси тонкой собирающей линзы на расстоянии 30 см от её оптического центра. Высота изображения предмета 12 см. Найдите фокусное расстояние линзы.

Ответ:

а) 5 см

б) 10 см

в) 20 см

г) 36 см

Алгоритм решения

1.Записать известные данные.

2.Записать формулу увеличения линзы в двух вариантах и выразить из нее расстояние от изображения до линзы.

3.Записать формулу тонкой линзы и тоже выразить из нее расстояние от изображения до линзы.

4.Приравнять правые части выражений.

5.Выполнить решение в общем виде.

6.Подставить известные данные и вычислить искомую величину.

Решение

Запишем известные данные:

• Расстояние от оптического центра линзы до предмета: d = 30 cм.

• Высота предмета: h = 6 см.

• Высота изображения: H = 12 см.

Так как все данные измеряются в сантиметрах, переводить единицы измерения величин в СИ нет необходимости. Просто ответ будет получен тоже в сантиметрах.

Запишем формулу увеличения линзы:

$Γ = \frac{H}{h} = \frac{f}{d}$

Отсюда расстояние от изображения до линзы равно:

$f = \frac{H d}{h}$

Запишем формулу тонкой линзы и выразим из нее расстояние от линзы до изображения предмета:

$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$

$\frac{1}{f} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d} = \frac{d - F}{F d}$

$f = \frac{d F}{d - F}$

Приравняем правые части последних выражений:

$\frac{H d}{h} = \frac{d F}{d - F}$

Поделим на d, у множим на h(d –F) и выразим фокусное расстояние:

$\frac{H}{h} = \frac{F}{d - F}$

$H (d - F) = h F$

$H d - H F = h F$

$h F + H F = H d$

$F (h + H) = H d$

$F = \frac{H d}{h + H} = \frac{12 \cdot 30}{12 + 6} = 20 (с м)$

Ответ: в

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Задание EF19112

В плоскости, параллельной плоскости тонкой собирающей линзы, по окружности со скоростью v = 5 м/с движется точечный источник света. Расстояние между плоскостями d = 15 см. Центр окружности находится на главной оптической оси линзы. Фокусное расстояние линзы F = 10 см. Найдите скорость движения изображения точечного источника света. Сделайте пояснительный чертёж, указав ход лучей в линзе. Ответ запишите в м/с.

Алгоритм решения

1.Записать исходные данные и перевести единицы измерения в СИ.

2.Сделать чертеж.

3.Записать формулу тонкой линзы и определить из нее расстояние от изображения до линзы.

4.Записать формулу линейного увеличения линзы двумя способами для вычисления радиусов окружностей, по которым движутся точка и ее изображение.

5.Выполнить решение в общем виде.

6.Подставить известные данные и вычислить искомую величину.

Решение

Запишем исходные данные:

• Фокусное расстояние линзы: F = 10 см.

• Расстояние от линзы до плоскости, в которой вращается точка: d = 15 см.

• Скорость вращения точки: v = 5 м/с.

10 см = 0,1 м

15 см = 0,15 м

Выполним рисунок. Для его построения достаточно найти изображение точки А. Затем в противоположную сторону отложим перпендикуляр и на таком же расстоянии от главной оптической оси будет находиться изображение точки B.

Глядя со стороны, мы будем видеть вместо окружности, которую описывает точка, линию AB. Она равн диаметру окружности, по которой движется точка. Обозначим ее радиус OA за r. Изображением окружности будет окружность. Вместо нее мы со стороны также увидим отрезок — A´B´. Обозначим радиус O´A´ за R.

Запишем формулу тонкой линзы и выразим из нее расстояние от изображения до линзы:

$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$

$\frac{1}{f} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d} = \frac{d - F}{F d}$

$f = \frac{d F}{d - F}$

Формулу линейного увеличения линзы можно определить как отношение радиуса окружности, по которой движется точка-изображение, к радиусу окружности, по которой движется сама точка:

$Γ = \frac{R}{r}$

.

Линейное увеличение также определяется формулой:

$Γ = \frac{f}{d}$

Следовательно:

$\frac{R}{r} = \frac{f}{d}$

Подставим сюда выражение, найденное для расстояния от изображения до линзы из формулы тонкой линзы:

$\frac{R}{r} = \frac{d F}{d (d - F)} = \frac{F}{d - F}$

Так как изображение будет двигаться вслед за точкой, то угловые скорости этой точки и изображения будут равны. Поэтому:

$ω = \frac{v}{r} = \frac{V}{R}$

Отсюда линейная скорость движения изображения равна:

$V = \frac{R v}{r} = \frac{F v}{d - F} = \frac{0, 1 \cdot 5}{0, 15 - 0, 1} = 10 (\frac{м}{с})$

Ответ: 10

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

ЕГЭ по физике

Вся теория

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Вывод формулы

Увеличение линзы

Задание ЕГЭ-Ф-ДВ2023-26

Задание EF17760

Задание EF17685

Задание EF18124

Задание EF19112

ЕГЭ по физике

Вся теория

Добавить комментарий Отменить ответ