Элементарные математические вычисления

Разбор типовых вариантов заданий №1 ЕГЭ по математике базового уровня

Во всех заданиях необходимо найти значение выражения.

Вариант 1МБ1

Алгоритм решения:

1. Определить порядок действий.
2. Выполнить действия в скобках.
3. Преобразовать смешанное число в неправильную дробь.
4. Привести дроби в скобках к наименьшему общему знаменателю.
5. Произвести действия в числителе.
6. Знаменатель оставить наименьший общий.
7. Умножить числитель получившейся дроби на 9.
8. Полученный результат сократить и преобразовать в десятичную дробь.

Решение в общем виде:

Пояснения к решению:

Первым всегда выполняется действие в скобках, в данном случае вычитание.

Преобразуем смешанное число

в неправильную дробь. Для этого умножим целую часть на знаменатель, и прибавим числитель

3 • 15 + 1 = 46

Запишем результат в числитель, знаменатель оставим без изменения.

Действие в скобках примет вид:

Ищем наименьший общий знаменатель для дробей 4/9 и 46/15. 15 не делится на 9, удвоим наибольший знаменатель. 30 не делится на 9. утроим наибольший знаменатель, 45 делится на 9. Следовательно, 45 делится одновременно и на 15, и на 9. То есть 45 – наименьший общий знаменатель дробей 4/9 и 46/15.

Приводим дроби к общему знаменателю – 45. Для этого по основному свойству дроби необходимо и числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же число, чтобы дробь не изменилась. Это число называется дополнительным множителем. Дополнительный множитель к первой дроби — 5 (9*5=45). Чтобы получить в знаменателе первой дроби 45 необходимо умножить на 5 и числитель и знаменатель.

Вторую дробь умножим на 3 (15 • 3=45)

Действие в скобках после преобразования будет выглядеть так:

Произведем вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого в числителе запишем вычитание числителей, а знаменатель оставим без изменений.

Выполним действие за скобками, в данном случае умножение на целое число. Для этого умножим числитель дроби на 9, а знаменатель оставим без изменений. Числитель и знаменатель полученной дроби сократим на 9, то есть разделим и числитель и знаменатель дроби на 9. По основному свойству дроби дробь не изменится.

Минус в числителе выносится за дробную черту.

Полученную дробь преобразуем в десятичную, поделив в столбик.

Не забудьте о знаке «минус» в ответе.

Ответ: 23,6

Вариант 1МБ2

Алгоритм решения:

1. Определить порядок действий.
2. Выполнить действие в скобках.
3. Привести дроби в скобках к наименьшему общему знаменателю.
4. Выполнить вычитание числителей, знаменатель оставить без изменений.
5. Выполнить деление. Для этого числитель первой дроби нужно умножить на знаменатель второй, результат записать в числитель; знаменатель первой дроби умножить на числитель второй, результат записать в знаменатель.

Решение в общем виде:

Пояснения к решению:

Первым ВСЕГДА выполняют действия в скобках, в данном случае вычитание.

Для того чтобы выполнить вычитание дробей с разными знаменателями, необходимо привести их к наименьшему общему знаменателю. Сделаем это путем подбора. Необходимо найти число, которое одновременно делится и на 4, и на 9. 9 на 4 не делится. Удвоим больший знаменатель: 18 не делится на 4. Утроим больший знаменатель: 27 не делится на 4. Увеличим больший знаменатель в 4 раза: 36 делится и на 9, и на 4 одновременно. Следовательно, 36 – наименьший общий знаменатель для дробей 1/4 и 2/9.

Примечание. Метод подбора удобен, если числа небольшие. В противном случае нужно искать НОК по алгоритму.

Найдем дополнительные множители для дробей 1/4 и 2/9. По основному свойству дроби, если и числитель, и знаменатель дроби умножить на одно и то же число, то дробь не изменится. Дробь 1/4 нужно умножить на 9(и числитель, и знаменатель), чтобы в знаменателе получился наименьший общий знаменатель 36. Дробь 2/9 нужно умножить на 4 (и числитель, и знаменатель), чтобы в знаменателе получился наименьший общий знаменатель 36.

В результате получим:

Действие в скобках примет вид:

Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого вычтем из числителя первой дроби числитель второй, результат запишем в числитель. Знаменатель оставим прежним.

Выполним действие за скобками. Для этого числитель первой дроби нужно умножить на знаменатель второй, результат записать в числитель; знаменатель первой дроби умножить на числитель второй, результат записать в знаменатель.

Сократим (разделим и числитель и знаменатель) полученную дробь на 12.

Ответ: 21

Вариант 1МБ3

Алгоритм решения:

1. Определить порядок действий.
2. Первым ВСЕГДА выполняют действия в скобках, в данном случае сложение.
3. Перевести смешанное число в неправильную дробь.
4. Привести полученные дроби к наименьшему общему знаменателю.
5. Выполните сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого сложить числители, результат записать в числитель, знаменатель оставить без изменений.
6. Выполнить деление.
7. Перевести смешанное число в неправильную дробь. Для этого целую часть умножить на знаменатель и прибавить числитель, результат записать в числитель, а знаменатель оставить прежним.
8. Числитель первой дроби умножить на знаменатель второй – записать в числитель. Знаменатель первой дроби умножить на числитель второй результат записать в знаменатель.
9. Сократить получившуюся дробь.
10. Привести результат к десятичному виду.

Решение в общем виде:

Пояснения к решению:

Первым ВСЕГДА выполняют действия в скобках, в данном случае сложение.

Нужно сложить смешанное число и правильную дробь. Для этого целую часть умножить на знаменатель и прибавить числитель, результат записать в числитель, а знаменатель оставить прежним. Переведем смешанное число в неправильную дробь:

Действие в скобках примет вид:

Для того, чтобы выполнить сложение дробей с разными знаменателями, необходимо привести их к наименьшему общему знаменателю. Сделаем это путем подбора. Необходимо найти число, которое одновременно делится и на 5, и на 7. 7 на 5 не делится. Удвоим больший знаменатель: 14 не делится на 5. Утроим больший знаменатель: 21 не делится на 5. Увеличим больший знаменатель в 4 раза: 28 не делится 5. Увеличим больший знаменатель в 5 раз: 35 делится одновременно и на 5, и на 7. Следовательно, 35 – наименьший общий знаменатель для дробей 9/5 и 3/7.

Примечание. Метод подбора удобен, если числа небольшие. В противном случае нужно искать НОК по алгоритму.

Найдем дополнительные множители для дробей 9/5 и 3/7. По основному свойству дроби, если и числитель, и знаменатель дроби умножить на одно и то же число, то дробь не изменится. Дробь 9/5 нужно умножить на 7(и числитель, и знаменатель), чтобы в знаменателе получился наименьший общий знаменатель 35. Дробь 3/7 нужно умножить на 5 (и числитель, и знаменатель), чтобы в знаменателе получился наименьший общий знаменатель 35.

В результате получим:

Действие в скобках примет вид:

Выполним сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого сложим числители, результат запишем в числитель. Знаменатель оставим прежним.

Выполним действие за скобками. Переведем смешанное число в неправильную дробь, для этого целую часть нужно умножить на знаменатель и прибавить числитель, результат записать в числитель, а знаменатель оставить прежним.

Выполнить деление дробей. Числитель первой дроби нужно умножить на знаменатель второй, результат записать в числитель; знаменатель первой дроби умножить на числитель второй, результат записать в знаменатель.

Сократим (разделим и числитель, и знаменатель на одно и то же число) полученную дробь на 39.

Переведем полученную дробь в десятинную.

Ответ: 8,75

Вариант 1МБ4

(6,7 − 3,2) ⋅ 2,4

В данном случае первым действием мы выполняем вычитание в скобках, а затем производим умножение:

6,7 − 3,2 = 3,5

3,5⋅ 2,4 = 8,4

Отдельно остановлюсь на последнем действии. Его можно вычислить умножением в столбик, либо посчитать устно, воспользовавшись следующими логическими операциями:

2,4 ⋅ 3 + 2,4 ⋅ 0,5 = 2  ⋅ 3 + 0,4  ⋅ 3 + 2,4/2 = 6 + 1,2 +1,2 = 8,4

Ответ: 8,4

Вариант 1МБ5

В данном случае необходимо выполнить сложение обыкновенных дробей. Общий знаменатель для дробей в скобках — 15 (если вы забыли как определять общий знаменатель, смотрите здесь). Первую дробь домножаем на 5, вторую на 3. Получаем:

(5 + 3)/15

После сложения:

8/15

Теперь выполняем умножение:

8•6/15 = 48/15

В таком варианте дробь в ответ записать мы не можем, выделяем сначала целую часть, это 3 (45/15=3), в остатке получим:

3/15

После сокращения на 3:

1/5

и перевода в десятичный вид:

1/5 = 20/100 = 2/10 = 0,2

Не забываем про целую часть и получаем ответ:

3,2

Ответ: 3,2

Вариант 1МБ6

1. Если представить черту дроби в виде знака деления, то получим выражение: (2,7+5,8):6,8. Отсюда получаем приоритет действий: 1) сложение в скобках; 2) деление. Поэтому сначала выполняем действие в числителе.
2. Избавляемся от десятичных запятых в числителе и знаменателе. Для этого применяем основное свойство дроби и умножаем числитель и знаменатель на 10.
3. Делим 85 на 68 в столбик.

Решение

Ответ: 1,25

Вариант 1МБ7

1. Учитываем приоритетность операций. Здесь 1-м действием выполняется умножение, а затем вычитание.
2. При умножении числа записываем друг под другом, выровняв их по последней цифре. В результирующем числе отделяем столько знаков после запятой, сколько имеется суммарно в обоих множителях. В данном случае нужно отделить 2 знака.
3. При выполнении вычитания в столбик числа располагают так, чтобы десят.запятые располагались на друг под другом.

Решение

Ответ: 26,7

Вариант 1МБ8

1. Умножаем 1/5 на 5,5. При этом 5,5 переходит в числитель дроби.
2. Выполняем сокращение полученной дроби на 5. Получаем десят.дробь
3. Находим конечную разность.

Решение

Ответ:0,1

Вариант 1МБ9

1. Находим разность в скобках. Для этого находим НОК (25, 38) и приводим дроби к общему знаменателю.
2. Делим результат в скобках на дробь 6/19. Для этого переходим к умножению дробей, перевернув 9/16 и получив 16/9. Далее сокращаем множители в числителе и знаменателе и находим результирующую дробь.
3. Полученную дробь записываем в десят.виде.

Решение

Вариант 1МБ10

1. Делим первые 2 дроби. Для этого переходим к их умножению, перевернув вторую (2/7).
2. Выполняем вычитание получившейся дроби и третьей (11/6).
3. Делим числитель результата на знаменатель.

Решение

Ответ: 4

Вариант 1МБ11

1. Выполняем сложение в знаменателе. Получим обыкновенную дробь 10/9.
2. Представим 2 в числителе как дробь 2/1. Запишем полученные дроби рядом, используя знак «:».
3. Перейдем от деления этих дробей к их умножению, перевернув 10/9.
4. Выполняем сокращение и находим результирующую дробь.
5. Делим числитель на знаменатель, получаем ответ в виде десят.дроби.

Решение

Ответ: 1,8

Вариант 1МБ12

1. Вычитаем дроби в знаменателе, приведя их к общему знаменателю 30.
2. Выполняем деление 1 на полученную дробь. Для этого переворачиваем ее.

Решение

Ответ: 30

Вариант 1МБ13

1. Выполняем деление. Для этого вторую дробь (2/3) переворачиваем и переходим к умножению дробей. Сокращаем 3 в числителе и 6 в знаменателе на 3, выполняем умножение.
2. Находим сумму 5/4 и полученной дроби.

Решение

Ответ: 3

Вариант 1МБ14

1. Вычитаем дроби в скобках. Полученную дробь сокращаем.
2. Выполняем деление. Для этого переходим к умножению, перевернув дробь-делитель.

Решение

Ответ: 30

Вариант 1МБ15

1. Выполняем деление. Делаем это в столбик, перенеся десятичную запятую на 1 разряд вправо в обоих числах.
2. Находим результирующую сумму, прибавив целые и дробные части слагаемых.

Решение

Ответ: 3,8