Задание OM2601o

Алгоритм решения:

1. Делаем чертеж.
2. Определяем равенство угла между касательной и хордой и угла АВС.
3. Определяем соотношение отрезков из свойства биссектрисы угла треугольника и найдем АВ.
4. Показываем, что треугольники DAC и DCB подобны.
5. Составляем соотношения сторон подобных треугольников.
6. Составляем систему равенств.
7. Решаем систему.
8. Записываем ответ.

Решение:

1. Выполняем чертеж данной задачи:

2. Рассматриваем АСD. В нем:

Согласно свойству углов окружности, касательной и секущей, угол, который образован этими линиями, равен половине градусной меры дуги, заключенной между сторонами этого угла. ∠DСА равен половине градусной меры дуги АС, заключенной между его сторонами СD и СА.
Но вписанный ∠СВА опирается на ту же дугу АС и по свойству вписанного угла равен половине меры этой дуги. Следовательно, ∠ СВА=∠ АСD.
3. Согласно свойству биссектрисы угла треугольника, она делит АВ на отрезки АМ и МВ, пропорциональные сторонам АС и ВС. Таким образом,

4. Рассмотрим DAC и DCB. У них:

∠ DCA = ∠ DBC по доказанному выше,

∠ D – общий.

Следовательно, DAC DCB по двум углам.

5. Из определения и свойств подобных треугольников имеем:

6. Составим систему равенств:

7. Решим систему: