Задание OM2602o

ОГЭ▿высокий уровень сложности▿другое(архив)
Биссектриса СМ треугольника ABC делит сторону АВ на отрезки AM = 9 и MB = 12. Касательная к описанной окружности треугольника ABC, проходящая через точку С, пересекает прямую АВ в точке D. Найдите CD.
📜Теория для решения:

Решение

Алгоритм решения:
  1. Сделаем чертеж.
  2. Определим равенство углов CDB и АВС.
  3. Определим соотношение отрезков, воспользовавшись свойством биссектрисы угла треугольника, и определим длину АВ.
  4. Покажем, что треугольники DAC и DCB подобны.
  5. Составим соотношения сторон подобных треугольников.
  6. Составим систему равенств.
  7. Решим систему.
  8. Запишем ответ.
Решение:
1. Делаем чертеж. http://self-edu.ru/htm/2018/oge2018_36/files/1_26.files/image002.jpg

2. Рассмотрим АСD. В нем, согласно свойству углов окружности, касательной и секущей, угол, который образован этими линиями, равен половине градусной меры дуги, заключенной между сторонами этого угла. ⇒∠DСА равен половине градусной меры дуги АС, заключенной между его сторонами СD и СА. Но вписанный ∠СВА опирается на ту же дугу АС и по свойству вписанного угла равен половине меры этой дуги. Следовательно, ∠ СВА=∠ АСD. 3. Согласно свойству биссектрисы угла треугольника, согласно которому она делит АВ на отрезки АМ и МВ, пропорциональные сторонам АС и ВС. Таким образом,

4. Рассмотрим DAC и DCB. У них:

∠ DCA = ∠ DBC по доказанному выше,

∠ D – общий.

Значит, DAC DCB по двум углам.

5. Из определения и свойств подобных треугольников имеем:

6. Составим систему равенств:

7. Решим систему:

http://self-edu.ru/htm/2018/oge2018_36/files/2_26.files/image008.gif

Отсюда

http://self-edu.ru/htm/2018/oge2018_36/files/2_26.files/image009.gif

http://self-edu.ru/htm/2018/oge2018_36/files/2_26.files/image010.gif

Так как AD = DB-21, имеем:

http://self-edu.ru/htm/2018/oge2018_36/files/2_26.files/image011.gif

Таким образом, искомая длина CD=36.

Ответ: 36

Даниил Романович | 📄 Скачать PDF | Просмотров: 19 | Оценить:

Добавить комментарий



Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *