Задание OM2601o

ОГЭ▿высокий уровень сложности▿другое(архив)
Биссектриса СМ треугольника ABC делит сторону АВ на отрезки AM = 5 и MB =10. Касательная к описанной окружности треугольника ABC, проходящая через точку С, пересекает прямую АВ в точке D. Найдите CD.
📜Теория для решения:

Решение

Алгоритм решения:
  1. Делаем чертеж.
  2. Определяем равенство угла между касательной и хордой и угла АВС.
  3. Определяем соотношение отрезков из свойства биссектрисы угла треугольника и найдем АВ.
  4. Показываем, что треугольники DAC и DCB подобны.
  5. Составляем соотношения сторон подобных треугольников.
  6. Составляем систему равенств.
  7. Решаем систему.
  8. Записываем ответ.
Решение:
1. Выполняем чертеж данной задачи: http://self-edu.ru/htm/2018/oge2018_36/files/1_26.files/image002.jpg

2. Рассматриваем АСD. В нем:

Согласно свойству углов окружности, касательной и секущей, угол, который образован этими линиями, равен половине градусной меры дуги, заключенной между сторонами этого угла. ∠DСА равен половине градусной меры дуги АС, заключенной между его сторонами СD и СА. Но вписанный ∠СВА опирается на ту же дугу АС и по свойству вписанного угла равен половине меры этой дуги. Следовательно, ∠ СВА=∠ АСD. 3. Согласно свойству биссектрисы угла треугольника, она делит АВ на отрезки АМ и МВ, пропорциональные сторонам АС и ВС. Таким образом,

4. Рассмотрим DAC и DCB. У них:

∠ DCA = ∠ DBC по доказанному выше,

∠ D – общий.

Следовательно, DAC DCB по двум углам.

5. Из определения и свойств подобных треугольников имеем:

6. Составим систему равенств:

7. Решим систему:

Ответ: 10

Даниил Романович | Просмотров: 121 | Оценить:

Добавить комментарий



Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *