Задание OM2602o

Алгоритм решения:

1. Сделаем чертеж.
2. Определим равенство углов CDB и АВС.
3. Определим соотношение отрезков, воспользовавшись свойством биссектрисы угла треугольника, и определим длину АВ.
4. Покажем, что треугольники DAC и DCB подобны.
5. Составим соотношения сторон подобных треугольников.
6. Составим систему равенств.
7. Решим систему.
8. Запишем ответ.

Решение:

1. Делаем чертеж.

2. Рассмотрим АСD. В нем, согласно свойству углов окружности, касательной и секущей,
угол, который образован этими линиями, равен половине градусной меры дуги, заключенной между сторонами этого угла.
⇒∠DСА равен половине градусной меры дуги АС, заключенной между его сторонами СD и СА.
Но вписанный ∠СВА опирается на ту же дугу АС и по свойству вписанного угла равен половине меры этой дуги. Следовательно, ∠ СВА=∠ АСD.
3. Согласно свойству биссектрисы угла треугольника, согласно которому она делит АВ на отрезки АМ и МВ, пропорциональные сторонам АС и ВС. Таким образом,

4. Рассмотрим DAC и DCB. У них:

∠ DCA = ∠ DBC по доказанному выше,

∠ D – общий.

Значит, DAC DCB по двум углам.

5. Из определения и свойств подобных треугольников имеем:

6. Составим систему равенств:

7. Решим систему:

Отсюда

Так как AD = DB-21, имеем:

Таким образом, искомая длина CD=36.