Задание 25OM21R • СПАДИЛО

В треугольнике АВС известны длины сторон АВ=36, АС=54, точка О – центр окружности, описанной около треугольника АВС. Прямая ВD, перпендикулярная прямой АО, пересекает сторону АС в точке D. Найдите СD.

📜Теория для решения: Треугольник. Медиана, биссектриса, высота, средняя линия.

Посмотреть решение

Выполним чертеж окружности, описанной около треугольника АВС, покажем на нём все дополнительные элементы.

$C:\Users\Учитель\Desktop\Inkedизображение_viber_2021-07-07_16-21-42-727_LI.jpg$

При построении прямой АО образовалась точка пересечения этой прямой с окружностью, обозначим её буквой Е и соединим с точкой В и с точкой С. Получим вписанные углы АВЕ и АСЕ, опирающиеся на диаметр АЕ, следовательно угол АВЕ и АСЕ равны по 90⁰.

Рассмотрим треугольники АВЕ и АВF: у них углы АВЕ и АFВ прямые, угол ЕАВ – общий, следовательно, эти треугольники подобны.

Составим отношение сторон:

$\frac{A E}{A B} = \frac{A B}{A F}$ откуда по свойству пропорции АВ²=АЕ $∙$ АF

Рассмотрим треугольники АСЕ и ADF, у которых углы АСЕ и AFD прямые, а угол FAD – общий. Значит, треугольники АСЕ и ADF подобны.

Составим отношение сторон:

$\frac{A E}{A D} = \frac{A C}{A F}$ ; откуда выразим AD= $A E ∙ \frac{A F}{А C} = \frac{A E ∙ A F}{A C}$

Теперь рассмотрим наши два полученных равенства: АВ²=АЕ $∙$ АF и AD= $\frac{A E ∙ A F}{A C}$

Видим, что 36²=АЕ $∙$ АF (подставили вместо АВ значение 36), также у нас известно, что АС=54. Найдем из второго равенства AD= $\frac{A E ∙ A F}{A C} = \frac{36^{2}}{54} = 24$

Теперь найдем CD=AC-AD=54-24=30

Ответ: 30

Текст: Базанов Даниил, 828 👀