Задание EF18735

Алгоритм решения

Решение

Запишем исходные данные:

1 мГн = 10^–3 Гн

Перед размыканием ключа К ток через конденсатор не идет, по катушке течёт ток:

$I_0=\frac{\epsilon }{r}$

Напряжение на конденсаторе в начальный момент времени равно нулю, так как оно равно нулю на катушке: $U_{0C}=0$ В.

После размыкания ключа К в контуре возникают гармонические колебания напряжения между обкладками конденсатора и тока в контуре. Благодаря начальному условию ($U_{0C}=0$ В) потенциал верхней обкладки конденсатора относительно нижней начинает меняться по закону:

$u=-U_{Cmax}\sin .\omega t$

Знак «–» в формуле связан с тем, что сразу после размыкания ключа К ток приносит положительный заряд на нижнюю обкладку конденсатора.

Циклическую частоту выразим из формулы Томсона:

$\omega =\frac{2\pi }{T}=\frac{1}{\sqrt{LC}}$

Энергия электромагнитных колебаний в контуре сохраняется. Она определяется формулой:

$W=\frac{L{i}^2}{2}+\frac{C{u}^2}{2}=\frac{C{U}_{Cmax}^2}{2}=\frac{L{I}_0^2}{2}$

Выразим максимальное напряжение на конденсаторе:

${CU}_{Cmax}^2=L{I}_0^2$

$U_{Cmax}=I_0\sqrt{\frac{L}{C}}$

Учтем, что амплитуда напряжения на конденсаторе равна напряжению источника тока, а $I_0=\frac{\epsilon }{r}$. Тогда получим:

$U_{Cmax}=\epsilon =I_{0}r=I_0\sqrt{\frac{L}{C}}$

Отсюда:

$\sqrt{\frac{L}{C}}=r$

$C=\frac{L}{r^2}$

Период колебаний в контуре определим через формулу Томсона:

$T=2\pi \sqrt{LC}=2\pi \sqrt{L\frac{L}{r^2}}=2\pi \frac{L}{r}$

Вспомним зависимость напряжения от времени:

$u=-U_{Cmax}\sin .\omega t$

Подставим известные данные для искомого момента времени:

$5=-5\sin .\omega t$

Синус должен быть равен «–1» Это возможно, если с начального момента времени пройдет четверть периода:

$t=\frac{T}{4}=\frac{2\pi }{4}\frac{L}{r}=\frac{\pi }{2}\frac{{10}^{-3}}{2}\approx 7,85·{10}^{-6}\left(с\right)=7,85\left(мкс\right)$