Задание EF19015

ЕГЭ▿высокий уровень сложности▿ФИПИ(19015)

На дне бассейна с водой находится небольшая лампочка. На поверхности воды плавает круглый плот – так, что центр плота находится точно над лампочкой. Определите глубину бассейна Н, если минимальный радиус плота, при котором свет от лампочки не выходит из воды, R = 2,4 м. Сделайте рисунок, поясняющий решение. Толщиной плота пренебречь. Показатель преломления воды n = 4/3.


📜Теория для решения: Отражение и преломление света. Законы геометрической оптики.

Решение

Алгоритм решения

1.Записать исходные данные.
2.Сделать рисунок.
3.Записать закон полного отражения.
4.Выполнить решение в общем виде.
5.Подставить известные данные и вычислить искомую величину.

Решение

Запишем исходные данные:

 Радиус круглого плота: R = 2,4 м.
 Показатель преломления воды: n = 4/3.

Выполним рисунок. Проведем перпендикуляры к поверхности: перпендикуляр от точечного источника света, а также нормали, проведенные через края плота.

Чтобы свет лампочки не выходил из воды, лучи света от лампочки, направленные к границе между краем плота и поверхностью воды, должны полностью отражаться. Это возможно только при выполнении следующего условия:

sin.α=1n..

Поскольку вершина S треугольника ABS лежит строго под центром круглого плота, этот треугольник является равнобедренным. Причем перпендикуляр, восстановленный к основанию треугольника ABSO — делит это основание на 2 равные стороны. Одновременно он делит угол S этого треугольника на 2 равные части, так как он является одновременно перпендикуляром, медианой и биссектрисой.

Пусть α — угол падения луча. Тогда угол OSB будет равен этому углу как накрест лежащие углы.

Треугольник OSB — прямоугольный. Причем искомая величина — глубина бассейна — является одним из его катетов. Из курса геометрии известно, что катет равен произведения второго катета на котангенс прилежащего угла. Второй катет в нашем случае — радиус круглого плота. Прилежащий угол равен углу падения. Следовательно:

H=Rcot.α

Котангенс угла определяется как отношение косинуса этого угла к его синусу:

cot.α=cos.αsin.α..

Косинус угла можем выразить из основного тригонометрического тождества:

sin2.α+cos2.α=1

Следовательно:

cos.α=1sin2.α

Отсюда котангенс равен:

cot.α=1sin2.αsin.α..

Тогда глубина бассейна:

H=Rcot.α=R1sin2.αsin.α..

Из закона полного отражения вспомним, что синус угла падения есть величина, обратная показателю преломления воды. Тогда эта формула примет вид:

H=R1(1n..)21n....=Rn11n2..

Подставим известные данные и получим:

H=2,4·43....11(43..)2..=3,21916..=3,274..0,8·2,65=2,12 .м.

.

Ответ: 2,12

Алиса Никитина | 📄 Скачать PDF | Просмотров: 20 | Оценить:

Добавить комментарий



Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *