Задание EF17760 • СПАДИЛО

Равнобедренный прямоугольный треугольник ABC расположен перед тонкой собирающей линзой оптической силой 2,5 дптр так, что его катет AC лежит на главной оптической оси линзы (см. рисунок). Вершина прямого угла C лежит ближе к центру линзы, чем вершина острого угла A. Расстояние от центра линзы до точки A равно удвоенному фокусному расстоянию линзы, AC = 4 см. Постройте изображение треугольника и найдите площадь получившейся фигуры.

📜Теория для решения: Построение изображения в линзе Формула тонкой линзы

Посмотреть решение

Алгоритм решения

1.Записать исходные данные и перевести единицы измерения в СИ.

2.Сделать рисунок — построить изображение в линзе.

3.Записать формулу для нахождения площади полученной фигуры.

4.Выполнить решение в общем виде.

5.Подставить известные данные и вычислить искомую величину.

Решение

Запишем исходные данные:

• Оптическая сила линзы: D = 2,5 дптр.

• Сторона треугольника AC = 4 см.

4 см = 0,04 м

Построим изображение в линзе. Для этого достаточно построить изображение точки В. Сначала пустим луч, параллельный главной оптической оси, к плоскости линзы. Он будет преломляться, после чего пройдет через фокус. Затем пустим луч через оптический центр. На месте пересечения двух лучей поставим точку и обозначим ее за B´.

Так как точки B и C предмета лежат на одной прямой, перпендикулярной главной оптической оси, для нахождения точки изображения C´ достаточно пустить перпендикуляр от B´ этой оси. На месте пересечения поставим точку и обозначим ее C´.

Рассматривать ход лучей для построения точки A´ тоже не будем. Точка A лежит в плоскости второго фокуса. Значит, она будет находиться в этой же точке и с противоположной стороны линзы. Это легко доказать с помощью формулы тонкой линзы:

$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$

Если расстояние от предмета до линзы равно 2F, то и расстояние от линзы до его изображения будет 2F:

$\frac{1}{2 F} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$

$\frac{1}{f} = \frac{1}{F} - \frac{1}{2 F} = \frac{2 - 1}{2 F} = \frac{1}{2 F}$

$f = 2 F$

Теперь соединим все найденные точки и получим треугольник A´ B´ C´. Найдем его площадь. Поскольку это прямоугольный треугольник, его площадь будет равна половине произведения двух катетов — B´ C´и A´ C´:

$S = \frac{A ´ C ´ \cdot B ´ C ´}{2}$

Из формулы оптической силы линзы найдем фокусное расстояние:

$F = \frac{1}{D} = \frac{1}{2, 5} = 0, 4 (м)$

Известно, что точка A находится в точке двойного фокусного расстояния. И ее изображение тоже находится на таком же расстоянии от линзы. Следовательно, чтобы найти длину катета A´ C´, нужно найти расстояние от точки C до ее изображения. Расстояние от этой точки до линзы равно разности двойного фокусного расстояния и длины отрезка AC:

$d_{C} = 2 F - A C = 2 \cdot 0, 4 - 0, 04 = 0, 76 (м)$

Используя формулу тонкой линзы, вычислим расстояние от линзы до изображения этой точки:

$\frac{1}{0, 76} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$

$\frac{1}{f_{C}} = \frac{1}{F} - \frac{1}{0, 76} = \frac{0, 76 - F}{0, 76 F} = \frac{0, 76 - 0, 4}{0, 76 \cdot 0, 4}$

$f_{C} = \frac{0, 76 \cdot 0, 4}{0, 76 - 0, 4} = 0, 844 (м)$

Тогда длина катета A´ C´ будет равна:

$A ´ C ´ = f_{C} - f_{A} = f_{C} - 2 F = 0, 844 - 0, 4 \cdot 2 = 0, 044 (м)$

Треугольники BCO и B´ C´O подобны по 3 углам. Углы O равны как вертикальные. Углы C и C´ как прямые, а B и B´ как накрест лежащие (полученные при пересечении секущей в виде луча через оптический центр и параллельных фокальных плоскостей). Следовательно BC относится к B´ C´ так же, как OC относится к C´O:

$\frac{B C}{B ´ C ´} = \frac{A C}{A ´ C ´}$

Треугольник ABC равнобедренный, поэтому BC = AС. Тогда:

$\frac{A C}{B ´ C ´} = \frac{A C}{A ´ C ´}$

Следовательно:

$B ´ C ´ = A ´ C ´$

Отсюда площадь треугольника равна:

$S = \frac{A ´ C ´ \cdot A ´ C ´}{2} = \frac{{(0, 044)}^{2}}{2} = 0, 000968 (м^{2}) = 9, 68 ({с м}^{2})$

Текст: Алиса Никитина, 2k 👀