Archives

Внимательно смотрим на рисунок и видим, что длина одной диагонали ромба равна 2, а второй 4. Так как нас спрашивают длину большей диагонали, то в ответе нужно указать 4.

Так как АК биссектриса, то углы ВАК и КАD равны. Обозначим ∠ВАК через х. Поскольку АВСD параллелограмм, то ∠В+∠А=180°. Т.к. АК биссектриса, то ∠А=2х. Тогда ∠В=180°–2х. Рассмотрим ∆АВК: По теореме о сумме углов треугольника ∠ВАК+∠В+∠ВКА=180° По условию ∠ВКА = 41° Отсюда получаем: х+ 180°–2х+410=180° х–2х=1800–1800–41° –х=–41° х=41° Значит, искомый (острый) ∠А=2·410=82°

Площадь ромба будем искать по формуле: S=ah, где a – сторона ромба, h– высота, опущенная на сторону а. По условию а=4. Найдем h. Для этого рассмотрим  ∆ОКС и ∆АРС: Здесь ОК || АР, причем ОК проходит через середину АС (т.к. АВСD ромб, то его диагонали в т.О делятся пополам). Значит, ОК – ср.линия ∆АРС. Поэтому […]

Для решения необходимо помнить и знать формулу для вычисления площади трапеции, а это «полусумма оснований умноженная на высоту» Непонятно, зачем нам дана информация о значениях длин отрезков, тем не менее решение выглядит так: Верхнее основание равно 7 Нижнее основание равно 9 + 12 = 21 Полусумма (21 + 7) / 2 = 14 Высота равна […]

Средняя линия трапеции является еще и средней линией для треугольников, на которые трапецию поделила её диагональ. Средняя линия треугольника равна половине основания, поэтому отрезки, на которые делит диагональ среднюю линию, будут равны: 10 / 2 = 5 11 / 2 = 5,5 Так как нас просят найти больший из отрезков, то ответ 5,5.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований, умноженную на высоту. Основания нам известны из условия, необходимо самим найти высоту: После проведения высоты, у нас получается прямоугольный треугольник. Прямоугольный — потому что высота проводится к основанию под углом 90 градусов. Один из углов равен 45°, значит, и второй тоже, так как сумма острых углов в прямоугольном треугольнике […]

Найдем угол BAD — это сумма углов, на которые диагональ делит этот угол, поэтому: ∠BAD = 35° + 30° = 65° Вспоминаем, что в параллелограмме противоположные углы равны, а соседние в сумме дают 180°. Значит: ∠ABC = ∠ADC = 180 — 65 = 115° ∠BAD = ∠BCD = 65° Так как нас просят найти меньший угол, то это 65.

Поскольку вершина О угла АОВ лежит в центре окружности, значит, этот угол центральный. А если так, то он равен величине дуги АВ. Т.е. ᴗАВ=1130. Угол АСВ является вписанным. Следовательно, его величина равна половине дуги, на которую он опирается. Из рисунка видно, что оба угла (АОВ и АСВ) опираются на одну и ту же дугу. Т.к.  […]

Сторона АВ треуг-ка АСВ является диаметром окружности. Это означает, что угол АСВ опирается на диаметр. Тогда угол АСВ равен 900, и, следовательно, ∆АСВ прямоугольный. Если ∆АСВ прямоугольный, то для нахождения одной из его сторон можно применить т.Пифагора. По т.Пифагора АС2+ВС2=АВ2  (1) По условию АС=16, радиус окружности R=10. Если R=10, то АВ=2R=2·10=20. Тогда из (1) получим:

Для решения данной задачи необходимо провести радиус окружности к точке начала хорды: Получаем прямоугольный треугольник, где гипотенуза c — радиус и равна 13 см, b — расстояние до хорды — 5 см. По теореме Пифагора находим катет a: a² + b² = c² a² = c² — b² = 13² — 5² = 169 — 25 = […]

Для решения необходимо вспомнить, что центр описанной около прямоугольного треугольника окружности расположен в середине гипотенузы. То есть гипотенуза является диаметром, а её половина — радиусом. По теореме Пифагора найдем гипотенузу AB: AB² = BC² + AC² = 12² + 16² = 144 + 256 = 400 AB = √400 = 20 Гипотенуза равна 20, значит радиус […]

Во-первых, касательные равны между собой по длине, а значит треугольник с основанием AB равнобедренный. Угол при вершине этого треугольника равен 2 градуса по условию, значит углы при основании равны: (180 — 2) / 2 = 89° Во-вторых, касательные перпендикулярны радиусу, то есть угол между ними и радиусом равен 90 градусов. Заметим, что угол ABO, который […]

Внимательно посмотрим на рисунок. Угол ABC опирается на дугу ADC, а угол CAD — на дугу DC. Угол, который нам необходимо найти — ABD, опирается на дугу AD — которая является частью дуги ADC за вычетом дуги DC. Значит, угол ABD равен разности углов ABC и CAD: ∠ABD = 92 — 60 = 32

Для решения этого задания нужно помнить два факта: Внутренний угол с внешним углом дают в сумме 180° Углы при основании равнобедренного треугольника равны. Из первого пункта следует, что угол BCA = 180 — 123 = 57° Из второго — что ∠BCA = ∠BAC = 57°

До этого мы искали медиану, биссектрису или высоту равностороннего треугольника по формуле: m = ( a • √3 )/ 2 Здесь же нам необходимо решить обратную задачу, найти a, если известно m. Выразим a: a = ( 2 • m ) / √3 Подставим значение: a = ( 2 • m ) / √3 =  ( 2 • 11 •  √3 ) / √3 = 22

Воспользуемся теоремой Пифагора: c² = 12² + 16² = 144 + 256 = 400 c = √400 = 20

Вспоминаем, что в равностороннем треугольнике высота является и медианой и биссектрисой. Для медианы, а значит и для высоты, формулу я приводил чуть выше: m = ( a • √3 )/ 2 Подставим значение: m = ( 12√3 • √3 )/ 2 = ( 12 • 3 )/ 2 = 36 / 2 = 18

Формула площади для прямоугольного треугольника выглядит следующим образом: Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Это следует из того, что один из катетов является высотой к основанию, которым является второй катет. Исходя из вышесказанного, можем решить задачу: S = ½ • 15 • 4 = 30

Для решения необходимо вспомнить определение медианы. Медиана — отрезок, проведенный из вершины и делящий противоположную сторону на два равных отрезка. Таким образом, медиана BM делит сторону AC (противоположную вершине B) пополам, следовательно^ AM = ½ AC = ½ 56 = 28

Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, а в прямоугольном треугольнике один из углов прямой, то сумма двух острых углов равна 90°. Отсюда можно вывести следующее правило: Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°. Следовательно, второй острый угол равен: 90 — 23 = 67°