Поиск заданий по темам: ОГЭ по математике

Выполним чертеж окружности, описанной около треугольника АВС, покажем на нём все дополнительные элементы.

При построении прямой АО образовалась точка пересечения этой прямой с окружностью, обозначим её буквой Е и соединим с точкой В и с точкой С. Получим вписанные углы АВЕ и АСЕ, опирающиеся на диаметр АЕ, следовательно угол АВЕ и АСЕ равны по 90⁰.

Рассмотрим треугольники АВЕ и АВF: у них углы АВЕ и АFВ прямые, угол ЕАВ – общий, следовательно, эти треугольники подобны.

Составим отношение сторон:

$\frac{AE}{AB}=\frac{AB}{AF}$ откуда по свойству пропорции АВ²=АЕ$\bullet$АF

Рассмотрим треугольники АСЕ и ADF, у которых углы АСЕ и AFD прямые, а угол FAD – общий. Значит, треугольники АСЕ и ADF подобны.

Составим отношение сторон:

$\frac{AE}{AD}=\frac{AC}{AF}$ ; откуда выразим AD=$AE\bullet \frac{AF}{АC}=\frac{AE\bullet AF}{AC}$

Теперь рассмотрим наши два полученных равенства: АВ²=АЕ$\bullet$АF и AD=$\frac{AE\bullet AF}{AC}$

Видим, что 36²=АЕ$\bullet$АF (подставили вместо АВ значение 36), также у нас известно, что АС=54. Найдем из второго равенства AD=$\frac{AE\bullet AF}{AC}=\frac{{36}^2}{54}=24$

Теперь найдем CD=AC-AD=54-24=30

Сделаем чертеж параллелограмма и покажем на нем биссектрисы углов, которые пересекаются в точке N.

Угол ANB равен углу NАD как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и АD и секущей AN. А по условию углы BАN и NАD равны (AN биссектриса). Следовательно, углы BАN и BNА равны. Значит, треугольник ABN является равнобедренным, у него АВ= BN.

Аналогично, через равенство углов CND, ADN и CDN доказывается, что треугольник CND является равнобедренным, у него CN=DC.

По условию задачи мы имеем параллелограмм, а по свойству параллелограмма – противолежащие стороны равны, т.е. АВ=СD, значит, АВ=BN=NC=CD. Таким образом, мы доказали, что BN=NC, т.е. N – середина ВС.

Сделаем чертеж, выполнив на нём дополнительные построения – высоты АМ и СН, которые равны как расстояния между параллельными сторонами трапеции.

Рассмотрим треугольник CНD, где CD=17, угол Н=90⁰, следовательно, треугольник прямоугольный. Найдем величину угла DCН, 135⁰ – 90⁰=45⁰ (так как провели высоту CН). Отсюда следует, что угол D=45⁰, так как треугольник прямоугольный. Значит, треугольник является равнобедренным (углы D и DCН равны по 45 градусов).

Найдем катеты CН и DН по теореме Пифагора, как катет равнобедренного треугольника по формуле с=а$\sqrt{2}$, где с=17. Следовательно, CН =$\frac{17}{\sqrt{2}}=\frac{17}{\sqrt{2}}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВМ, где угол В равен 30 градусов, а катет АМ= CН=$\frac{17}{\sqrt{2}}$. Зная, что катет, лежащий напротив угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы, найдем АВ (она будет в два раза больше катета). АВ=2$\times \frac{17}{\sqrt{2}}$=17$\sqrt{2}$

Раскроем модуль:

$\left\{\begin{array}{c}у={х}^2-2х-1,прих\ge -\frac{1}{2}\\ у={х}^2+2х+1,прих<-\frac{1}{2}\end{array}\right)$

Для построения графика найдем вершины каждой параболы:

у=х² – 2х – 1

х₀₌$\frac{-}{b}=\frac{2}{2}=1$

у₀=1² -2-1=-2

Итак, вершина первой параболы (1; -2)

Возьмем дополнительные точки, где х $\ge -\frac{1}{2}$

у=х² + 2х + 1

Аналогично найдем вершину второй параболы: х₀=-1, у₀₌0

Вершина второй параболы (-1;0)

Дополнительные точки при х$<-0.5$

Изобразим параболы в системе координат:

Теперь нам нужно ответить на вопрос задания: «Определите, при каких значениях m прямая у= m имеет с графиком ровно три общие точки?»

Для этого построим такие прямые (одна желтая, вторая зеленая), откуда видно, что первая прямая совпадает с осью х, т.е. у=0; вторая имеет с графиком три общие точки при у=0,25.

Ответ: при m равных 0; 0,25

Составим для удобства решения таблицу, в которую внесем данные из условия задачи, обозначив переменной х неизвестную величину – скорость 1 автомобиля:

Пояснения к заполнению таблицы:

Так как мы обозначили за х скорость 1 авто, значит скорость 2 авто будет на 36 км/ч меньше.

Расстояние у каждого авто будет 800 км.

Для нахождения времени надо расстояние разделить на скорость, поэтому мы получили дроби с переменной в знаменателе.

Зная, что первый прибывает к финишу на 5 ч раньше второго, составим и решим уравнение:

$\frac{800}{х}-\frac{800}{х}=5$

Приведем к общему знаменателю х(х-36) наше уравнение и решим его:

800х – 800(х-36)=5х(х-36)

800х – 800х+28800=5х² – 180

28800=5х² – 180

5х² – 180 – 28800 =0; разделим на 5 каждый коэффициент:

х² – 36 – 5760=0

Решим полученное квадратное уравнение

D=b² – 4ac=36² — 4$\bullet (-5760)$=24336

х_1,2=$\frac{-}{b}=\frac{36}{\pm }$

Отсюда х₁=96, а х₂ не удовлетворяет условию задачи, так как оно отрицательное, а скорость не может быть выражена отрицательным числом.

Значит, скорость первого автомобиля 36 км/ч

Нам дано уравнение третьей степени: х³ + 6х²=4х + 24

В данном уравнении перенесем все слагаемые в одну сторону ( в левую), изменяя при этом знаки: х³ + 6х² – 4х – 24=0

Теперь сгруппируем слагаемые: (х³ + 6х²) – (4х + 24)=0

Вынесем общий множитель за скобки из каждой группы: х²(х + 6) – 4(х + 6)=0

Вынесем за скобки выражение (х + 6): (х + 6)(х²– 4)=0

Приравняем каждый множитель к нулю и решим полученные уравнения:

х + 6=0 и х²– 4=0

х=6 х²=4, отсюда х_1,2=$\pm 2$

Обращаем внимание на то, что вопрос содержит слово КАКИЕ, что означает нахождение нескольких верных ответов. Итак, первое утверждение является верным, потому что есть теорема о сумме углов треугольника, равной 180 градусов, это не зависит от вида треугольника. Второе утверждение является не верным, так как по определению, только у равнобедренной трапеции боковые стороны равны. Теперь становится понятным, что третье утверждение тоже должно быть верным. Но в доказательство тому мы имеем правила, которые нам говорят о том, что центры окружностей совпадают.

Итак, наши верные утверждения под номерами 1 и 3.

Для решения задачи надо вспомнить свойство средней линии: она параллельна основанию и равна его половине. Следовательно, чтобы найти длину средней линии, надо сторону треугольника разделить пополам. Найдем сторону треугольника, которой параллельна средняя линия, т.е. АС, сосчитав клетки, получим, что АС равна 8. Значит, средняя линия равна 8:2=4.

Для нахождения площади трапеции в справочном материале есть формула

$S=\frac{a}{+}h$, для которой у нас известны и основания, и высота. Подставим в неё эти значения и вычислим:$S=\frac{7}{+}\bullet 7=\frac{18}{2}\bullet 7=9\bullet 7=63$

Для начала надо сделать построения на чертеже, чтобы увидеть, как располагаются известные и неизвестные элементы и чем они еще могут являться на чертеже.

Обозначим диагональ АВ, точкой О – центр окружности, С – один из углов квадрата. Покажем расстояние от центра окружности до стороны квадрата – радиус r. Если радиус равен 22$\surd 2$, то сторона квадрата будет в два раза больше, т.е. 44$\surd 2$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, который является равнобедренным (так как по условию дан квадрат) и боковые стороны равны по 44$\surd 2$. Нам надо найти диагональ, т.е. гипотенузу данного треугольника. Вспомним, что для нахождения гипотенузы равнобедренного треугольника есть формула с=а$\surd 2$, где с – гипотенуза, а – катет. Подставим в неё наши данные:

с=44$\surd 2\times \surd 2$=44$\surd 4$=44$\times$2=88

Ключевое слово в данной задаче – биссектриса. Вспоминаем, что она делит угол пополам. Нам надо найти величину угла ВАD, следовательно он равен половине угла ВАС, то есть 84⁰:2=42⁰

Можно решить данную задачу логическим путем, т.е. без формулы. Так как начальная температура была -6, а потом уменьшалась на 8 градусов в течение 6 минут, то можно сделать следующее:

-6-8=-14 через 1 минуту

-14-8=-22 через 2 минуты

-22-8=-30 через 3 минуты

-30-8=-38 через 4 минуты

-38-8=-46 через 5 минут

-46-8=-54 через 6 минут

Значит, наш ответ -54⁰С

Вторым способом является решение по формуле n-ого члена арифметической прогрессии, которая есть также и в справочном материале, т.е. a_n=a₁+d(n – 1). В данном случае a₁₌-6; d=-8, n=7 (так как ЧЕРЕЗ 6 минут). Подставим значения в формулу: a₇=-6₁-8(7 – 1). Вычислим: a₆=-6-8$\bullet$5=-6-48=-54.

8х – х²$\ge$0

Вынесем -х за скобки: -х(-8 + х)$\ge$0

Теперь разделим на -1, не забывая изменить знак неравенства на противоположный: х(х – 8)$\le$0

Найдем нули функции, приравняв каждый множитель к нулю: х=0 и х – 8=0, найдем х из второго уравнения: х=8.

Итак, имеем нули функции 0 и 8.

Теперь расставляем их на числовом луче и решаем неравенство методом интервалов.

Теперь находим промежуток чисел, соответствующий неравенству х(х – 8)$\le$0, т.е. промежуток отрицательных или равных нулю чисел. Это будет промежуток [0; 8]

В соответствии с его номером, это будет ответ под №3.

Для выполнения данного задания надо подставить все известные данные в формулу:

12,8=$\frac{d_1}{\times }$

В правой части можно сократить 16 и 2 на 2: 12,8=$\frac{d_1}{\times }$

Теперь умножим 8 на дробь $\frac{2}{5}$, получим 3,2: 12,8=$d_1\times 3,2$

Найдем неизвестный множитель, разделив 12,8 на 3,2: $d_1$=12,8:3,2=4

На рисунках в задании изображены параболы. Вспомним, что обозначают коэффициенты а и с: а – направление ветвей (a<0 – ветви вниз; а>0 – ветви вверх); коэффициент с показывает ординату точку пересечения параболы с осью х (с >0 – пересечение в положительном направлении; с<0 – пересечение в отрицательном направлении).

Теперь поработаем с графиками и подпишем на каждом из них соответствующие коэффициенты.

Теперь расставим в соответствии с указанными коэффициентами:

А) a>0, с >0 — это график №1

Б) а<0; с>0  — это график №3

В) а>0, с<0 – это график №2

Это задача на простую вероятность, где надо знать число благоприятных исходов и разделить его на общее количество. Так как нам надо найти вероятность, что фонарик будет исправным, то 100 – 9=91 – это количество исправных фонариков (по условию их всего 100 и из них 9 неисправных). Для нахождения вероятности надо разделить число благоприятных исходов (в нашем случае – это 91) на общее количество фонариков – на 100. Итак, 91:100=0,91. Значит, вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен, равна 0,91.

Имеем линейное уравнение:

2 + 3х= – 7х – 5

Следовательно, начинаем решение с переноса слагаемых (с переменной влево, без переменной – вправо): 3х + 7х= – 5 – 2, не забывая изменять знак у слагаемых, которые переносим. Теперь приводим подобные в каждой части, получаем 10х= –7.

Находим неизвестный множитель делением произведения –7 на известный множитель 10, получаем –0,7.

Запись решения выглядит так:

2 + 3х= – 7х – 5

3х + 7х= – 5 – 2

10х= –7

х=–7:10

х=–0,7

В числителе дроби возведем в степень каждый множитель:

$\frac{{(3\bullet 8)}^7}{3^7}$=$\frac{3^7}{\bullet }$

Теперь сократим (выполним деление степеней), сократятся $3^7$ полностью, а при сокращении на $8^5$ по свойству степеней останется $8^2$, возведем 8 во вторую степень, получим 64, т.е.

$\frac{{(3\bullet 8)}^7}{3^7}$=$\frac{3^7}{\bullet }=8^2=64$

Сначала выразим обыкновенную дробь десятичной, разделив 107 на 13, получаем приближенное число 8,23…. Теперь работаем с числовым лучом, на котором видно, что наше число 8,23.. будет располагаться между числами 8 и 9, но ближе к 8, так как оно меньше 8,5; следовательно, это точка А.

Выполним вычитание десятичных дробей, где 9,4 больше по модулю, значит, ответ будет отрицательным. Итак, – (9,4 – 4,9)= – 4,5