Задание ЕГЭ-Ф-ДВ2023-30(2)
Однородный брусок AB массой M постоянного прямоугольного сечения лежит на гладкой горизонтальной поверхности стола, свешиваясь с него менее чем наполовину (см. рисунок). К правому концу бруска прикреплена лёгкая нерастяжимая нить. Другой конец нити закреплён на меньшем
из двух дисков идеального составного блока. На большем диске этого блока закреплена другая лёгкая
нерастяжимая нить, на которой висит груз массой m = 1 кг. Диски скреплены друг с другом, образуя единое целое. R = 10 см, r = 5 см. Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на брусок M, блок и груз m. Найдите минимальное значение M, при котором система тел остаётся неподвижной. Обоснуйте применимость используемых законов к решению задачи. 📜Теория для решения: Законы Ньютона. Динамика. Применение законов Ньютона Момент силы и правило моментов Правило моментов при решении задач Давление твердого тела
Посмотреть решение
Алгоритм решения:
Решение:
Запишем исходные данные:
Переведем единицы измерения в СИ:
R = 10 см = 0,1 м
r = 5 см = 0,05 м
Систему отсчёта, связанную с Землёй, будем считать инерциальной (ИСО).
Брусок перед отрывом его правого края от поверхности стола будем считать твёрдым телом с осью вращения, проходящей перпендикулярно плоскости рисунка через точку A. Условие равновесия относительно вращения твёрдого тела на оси — равенство нулю суммы моментов сил, приложенных к телу, относительно этой оси.
Нити нерастяжимы, поэтому, если покоится брусок, то покоятся и все остальные тела системы.
Нити лёгкие, поэтому величина силы натяжения каждой нити в любой её точке одна и та же. В том числе: T1 = T3,T2 = T4 (см. рисунок в решении).
Блок идеальный (трения в осях нет, масса блока пренебрежимо мала). Поэтому условие равновесия блока – равенство нулю суммы моментов сил натяжения нитей относительно оси блока.
Груз может двигаться только поступательно вдоль вертикальной оси Oy, лежащей в плоскости рисунка. Поэтому для груза используем модель материальной точки и применим второй закон Ньютона. Вследствие этого условие равновесия — сумма приложенных к грузу сил равна нулю.
Сделаем поясняющий рисунок:
На рисунке представлен случай, когда масса бруска минимальна. Поэтому он еще покоится на столе, но касается стола только в точке А. Силы, действующие на брусок:
Силы, действующие на блок:
Силы, действующие на груз:
Запишем уравнение моментов сил для бруска в момент, когда он покоится, касаясь стола только в точке A:
Или:
Запишем второй закон Ньютона для покоящегося груза в проекциях на ось Oy введённой ИСО:
Или:
Запишем условие равновесия блока на его оси. Блок будет находится в равновесии тогда, когда будут равны моменты сил:
Учитываем, что сила натяжения нити 1 равно силе натяжения нити 3, а 2 — 4. Тогда это выражение принимает вид:
Или:
Отсюда масса бруска равна:
