Задание №15 ОГЭ по математике. Уравнения, неравенства и их системы.

В задании №15 проверяется умение решать уравнения, неравенства и их системы. Конечно, под такие слова подходит огромный спектр заданий. Уточнение, пожалуй, одно. Надо применять графическое представление решения и показа результатов этого решения. В демонстрационном варианте ОГЭ предложена система двух линейных неравенств и графические представления вариантов ответов. Полезно понимать, что главным здесь является решение конкретных неравенств и понимание геометрического смысла полученного решения.

Ответом в задании 15 является одна из цифр 1; 2; 3; 4, соответствующая номеру предложенного варианта ответа к заданию.

---

Теория к заданию №15

---

Определение:

Неравенством называется выражение вида: a < b (a ≤ b), a > b (a ≥ b)

Полезным для нас окажется метод интервалов:

---

Разбор вариантов задания №14 ОГЭ по математике

---

Первый вариант задания

Решение:

Для решения линейного неравенства достаточно выполнить действия, аналогичные действию решений линейных уравнений. Однако, в отличие от линейных уравнений следует проявлять внимательность при выполнении операций деления или умножения на отрицательное число — в этих случаях знак неравенства будет меняться на противоположный!

Для решения этого примера вначале раскроем скобки, не забывая, что -3 умножается на -7 и дает  + 21:

2 x — 3 x + 21 ≤ 3

Затем приводим подобные, перенося числа в правую сторону:

2 x — 3 x ≤ 3 — 21

— x ≤ -18

Нам необходимо умножить неравенство на -1, чтобы получить диапазон x, не забывая, что при этом меняется знак неравенства:

x ≥ 18

Таким образом, мы получаем, что x должен быть больше либо равен 18.

Ответ: [18; +∞)

---

Второй вариант задания

Решение:

Существуют несколько способов решения квадратных неравенств, но я приведу самый простой и надежный. В начале выносим x за скобку, так как это неполное квадратное неравенство:

x ( 7 — x ) < 0

Затем находим ноли функции x ( 7 — x ) = 0, приравнивая каждый множитель к нолю:

x = 0

7 — x = 0

Получаем:

x = 0

x = 7

Таким образом, мы получили три интервала:

( -∞ ; 0 )

( 0 ; 7 )

( 7 ; +∞)

Подставим любое значение x из первого интервала и посмотрим на получившийся ответ.

Подставим -1:

x ( 7 — x ) =  — 1 ( 7 — (-1) ) = -8

Значение отрицательно, значит в интервале ( -∞ ; 0 ) функция отрицательна, что нам и подходит для ответа, так как в условии:

x ( 7 — x ) < 0

Подставим 1:

x ( 7 — x ) = 1 ( 7 — 1 ) = 6

Значение положительно, и промежуток ( 0 ; 7 ) нам не подходит.

Подставим 8:

x ( 7 — x ) = 8 ( 7 — 8 ) = — 8

Значение отрицательно, и это подходит под условия, следовательно ответ:

( -∞ ; 0 ) и ( 7 ; +∞)

или графически:

---

Третий вариант задания

Решение:

Решение системы линейных неравенств сводится к решению линейного неравенства с дальнейшим анализом промежутков. В начале действуем аналогично первому случаю: переносим числа в правую часть, оставляя x слева:

⌈ x ≥ 4

⌊ x ≥ 1,3

В отличие от первого примера, решение более простое, но в данном случае нужно сравнить промежутки и выбрать общий. Первое неравенство требует, чтобы  x был больше 4, а второе — более 1,3, на координатной прямой это будет выглядеть следующим образом:

Промежутки перекрывают друг друга начина с 4, значит ответ выглядит следующим образом (не забываем, что неравенство нестрогое):

[ 4 ; + ∞ )  или

---

Демонстрационный вариант ОГЭ 2019

Решение:

Итак, решим систему неравенств — оставим х в левой части, а остальное перенесём в правую, получим: х ≤ 0 -2,6 х ≥ 1 — 5 Вычислив, получаем ответ: х ≤  -2,6 х ≥ -4 Найдем его на координатной прямой — это №2.

Ответ: 2

---

Четвертый вариант задания

Решение:

Выполняем тождественные преобразования неравенства и приводим его к простейшему виду. Для этого сначала группируем слагаемые, перенося те, что с «х», в левую сторону, а свободные члены в правую:

4х–6х≥–2–5

Приводим подобные:

–2х≥–7

Находим х. Знак неравенства при этом поменяется на противоположный, поскольку делить будем на –2, т.е. на отрицательное число:

х≤3,5

Далее на коорд.прямой теперь нужно отложить точку со значением 3,5, причем точка будет закрашенная, т.к. знак неравенства нестрогий: Т.к. знак полученного неравенства «≤», то выделить следует часть прямой слева от точки 3,5: Это графическое решение соответствует ответу под №2. Ответ: 2

---

Пятый вариант задания

Решение:

Тут нужно сразу отметить два важных момента.

1. Графическим решением неравенств из вариантов ответа является парабола, которая пересекает координатную ось в точках, соответствующих корням неравенств.
2. Т.к. все неравенства, представленные в вариантах ответов, имеют нестрогий знак, то точки пересечения корней неравенства с координатной осью будут закрашенными, т.е. входящими в искомые промежутки (решения).

Анализируем неравенства. 1) х²–36≤0 х²≤36 Корни этого неравенства равны ±6. Поскольку знак неравенства «меньше», то для ответа следует взять ту часть параболы, которая располагается ниже коорд.оси. Получаем: Полученный промежуток-решение не соответствует заданному в качестве ответа в условии. 2) х²+36≥0     х²≥–36 Это неравенство не имеет решений, поскольку для получения решения здесь требуется извлечь корень из отрицат.числа (из –36), а это невозможно. 3) х²–36≥0     х²≥36 Корни неравенства – ±6. Т.к. знак неравенства «больше», то для ответа следует взять ту часть параболы, которая располагается выше коорд.оси. Получаем: Здесь мы получили полное совпадение полученного решения с тем, которое представлено в условии задания. 4) х²+36≤0     х²≤–36 Тут ситуация такая же, как и во 2-м неравенства. Решений оно не имеет. Ответ: 3

---

Ирина | 📄 Скачать PDF |