👀 3.8k |

Разбор и решение задания №18 ОГЭ по математике


Треугольники, четырёхугольники, многоугольники и их элементы


В 18 задании нас ждут задачи с четырехугольниками, а именно трапецией, ромбами и произвольными параллелограммами. Необходимо знать формулы вычисления площади всех вышеперечисленных четырехугольников, а также их свойства.

В демонстрационном варианте ОГЭ предлагается задание, связанное с нахождением площади фигуры.

Как найти площадь треугольника, трапеции, параллелограмма, круга и сектора?

С одной стороны, мы знаем соответствующие формулы. Для выполнения большинства заданий этого будет вполне достаточно, но иногда надо проявить и определенную сообразительность. В некоторых случаях будет разумно представить заданную геометрическую фигуру как сумму или как разность более простых фигур. Безусловно, площадь измеряется в соответствующих единицах. Например, если длины сторон фигуры заданы в сантиметрах, то вычисляемая площадь автоматически измеряется в квадратных сантиметрах. Чтобы не загромождать условие задачи информацией, которая при ее решении фактически не используется, единицы измерения, если они не существенны, не указаны.

Ответом в задании 16 является целое число или конечная десятичная дробь.


Теория к заданию №18


Приступим к разбору теории.

Выпуклый четырехугольник:

выпуклый четырехугольник

Правильный многоугольник:

  • Правильным многоугольником называется многоугольник, у которого все стороны и углы равны между собой.
  • Около всякого правильного многоугольника можно описать окружность и в него вписать окружность, причём центры этих окружностей совпадают.
правильный многоугольник Ниже я привожу формулы для вычисления элементов произвольного правильного многоугольника: формулы многоугольников Разберем пример четырехугольника — ромб.

Параллелограмм, все стороны которого равны называется ромбом.

  • Диагональ ромба является его осью симметрии.
  • Диагонали взаимно перпендикулярны.
  • Диагонали являются биссектрисами углов.
ромб Трапеция:

Четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а другие не параллельны, называется трапецией.

трапеция

Ниже я разобрал типовые примеры 11 задания. Давайте приступим к их рассмотрению.


Разбор типовых вариантов задания №18 ОГЭ по математике


Первый вариант задания

Диагональ AC параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 35° и 30°. Найдите меньший угол параллелограмма.

решение 10 задания огэ по математике

Решение:

Найдем угол BAD — это сумма углов, на которые диагональ делит этот угол, поэтому:

∠BAD = 35° + 30° = 65°

Вспоминаем, что в параллелограмме противоположные углы равны, а соседние в сумме дают 180°.

Значит:

∠ABC = ∠ADC = 180 — 65 = 115°

∠BAD = ∠BCD = 65°

Так как нас просят найти меньший угол, то это 65.

Ответ: 65


Второй вариант задания

В равнобедренной трапеции основания равны 3 и 9, а один из углов между боковой стороной и основаниям равен 45°. Найдите площадь трапеции.

решение 11 задания огэ по математике

Решение:

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований, умноженную на высоту. Основания нам известны из условия, необходимо самим найти высоту:

решение 11 задания огэ по математике

После проведения высоты, у нас получается прямоугольный треугольник. Прямоугольный — потому что высота проводится к основанию под углом 90 градусов. Один из углов равен 45°, значит, и второй тоже, так как сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°. Следовательно, треугольник равнобедренный.решение 11 задания огэ по математике

Проведя еще одну высоту, мы получим прямоугольник в центре, та с противоположной стороной, равной основанию 3.

Так как трапеция равнобедренная, то и треугольники равны, значит оставшаяся длина делится пополам:

( 9 — 3 ) / 2 = 3

А так как треугольники равнобедренные, то и высота равна 3.

Отсюда можем найти площадь:

S = ( a + b ) • h / 2 = ( 3 + 9 ) • 3 / 2 = 18

Ответ: 18


Третий вариант задания

Основания трапеции равны 10 и 11. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.

решение 11 задания огэ по математике

Решение:

Средняя линия трапеции является еще и средней линией для треугольников, на которые трапецию поделила её диагональ. Средняя линия треугольника равна половине основания, поэтому отрезки, на которые делит диагональ среднюю линию, будут равны:

10 / 2 = 5

11 / 2 = 5,5

Так как нас просят найти больший из отрезков, то ответ 5,5.

Ответ: 5,5


Демонстрационный вариант ОГЭ 2019

Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке. 11
Решение:
Для решения необходимо помнить и знать формулу для вычисления площади трапеции, а это «полусумма оснований умноженная на высоту» Непонятно, зачем нам дана информация о значениях длин отрезков, тем не менее решение выглядит так:
  1. Верхнее основание равно 7
  2. Нижнее основание равно 9 + 12 = 21
  3. Полусумма (21 + 7) / 2 = 14
  4. Высота равна 12
Таким образом, площадь равна 14 • 12 = 168 см² Ответ: 168

Четвертый вариант задания

Сторона ромба равна 4, а расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до неё равно 1. Найдите площадь ромба.

Решение:
Площадь ромба будем искать по формуле:

S=ah,

где a – сторона ромба, h– высота, опущенная на сторону а. По условию а=4. Найдем h. Для этого рассмотрим  ∆ОКС и ∆АРС: Здесь ОК || АР, причем ОК проходит через середину АС (т.к. АВСD ромб, то его диагонали в т.О делятся пополам). Значит, ОК – ср.линия ∆АРС. Поэтому АР=2ОК. Т.к. пор условию ОК=1, то АР=2·1=2. Т.о., h=АР=2. Отсюда получаем:

S=4·1=4.

Ответ: 4

Пятый вариант задания

Найдите величину острого угла параллелограмма АВСD, если биссектриса угла А образует со стороной ВС угол, равный 410. Ответ дайте в градусах.

Решение:
Т.к. АК биссектриса, то углы ВАК и КАD равны. Обозначим ∠ВАК через х. Поскольку АВСD параллелограмм, то ∠В+∠А=1800. Т.к. АК биссектриса, то ∠А=2х. Тогда ∠В=1800–2х. Рассм. ∆АВК: По теореме о сумме углов треуг-ка ∠ВАК+∠В+∠ВКА=1800. По условию ∠ВКА = 410. Отсюда получаем: х+ 1800–2х+410=1800 х–2х=1800–1800–410х=–410 х=410 Значит, искомый (острый) ∠А=2·410=820 Ответ: 82

Ирина | 📄 Скачать PDF |

6 комментариев

Добавить комментарий



Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *