Восьмое задание в модуле алгебре проверяет знания в области обращения со степенями и подкоренными выражениями.

При выполнении задания №4 ОГЭ по математике проверяются не только навыки выполнения вычисления и преобразований числовых выражений, но и умение преобразовывать алгебраические выражения. Возможно, потребуется выполнить действия со степенями с целым показателем, с многочленами, тождественные преобразования рациональных выражений.

В соответствии с материалами проведения основного экзамена могут быть задания, в которых потребуется выполнение тождественных преобразований рациональных выражений, разложение многочленов на множители, использование процентов и пропорций, признаков делимости.

Ответом в задании №8 является одна из цифр 1; 2; 3; 4 соответствующая номеру предложенного варианта ответа к заданию.

---

Теория к заданию №4

---

Из теоретического материала нам пригодятся правила обращения со степенями:

Правила работы с подкоренными выражениями:

В моих разобранных вариантах представлены данные правила — в разборе первого варианта третьего задания представлены правила обращения со степенями, а во втором и третьем варианте разобраны примеры работы подкоренными выражениями.

---

Разбор типовых вариантов задания №4 ОГЭ по математике

---

Первый вариант задания

Решение:

Для решения данной задачи необходимо вспомнить следующие правила обращения со степенями:

• при умножении степени складываются
• приделении степени вычитаются
• при возведении степени в степень степени перемножаются
• при извлечении корня степени делятся

Кроме того, для решения необходимо представить 121 как степень 11, а именно это 11².

121 • 11ⁿ = 11² • 11ⁿ

С учетом правила умножения, складываем степени:

  11² • 11ⁿ = 11ⁿ⁺²

Следовательно, нам подходит второй ответ.

Ответ: 2

---

Второй вариант задания

Решение:

Для решения данного задания нужно привести все выражения к общему виду — представить выражения в виде подкоренных выражений:

• 3√5

Переносим 3 под корень:

3√5 =  √(3² •5) = √(9•5) =  √45

• 2√11

Переносим 2 под корень:

2√11 = √(2² • 11) = √(4 • 11) =√44

• 2√10

Переносим 2 под корень:

2√10 = √(2² • 10) = √(4 • 10) =√40

• 6,5

Возводим 6,5 в квадрат:

6,5 = √(6,5²) = √42,25

Посмотрим на все получившиеся варианты:

1. 3√5 =  √45
2. 2√11 = √44
3. 2√10 = √40
4. 6,5 = √42,25

Следовательно, правильный ответ первый

Ответ: 1

---

Третий вариант задания

Решение:

Для решения этой задачи нужно действовать следующим образом:

Сначала разберемся, степень какого числа рассмотрена в данном примере — это число 9, так как его квадрат 81, и это уже чем-то похоже на выражения в ответах. Далее рассмотрим формы числа 9 — это могут быть:

0,9

90

Рассмотри каждое из них:

0,9 = √(0,9)² = √0,81

90 = √(90²) = √8100

Следовательно, число √0,81 является рациональным, остальные же числа

• √810
• √8,1

хотя и похожи на форму 9 в квадрате, не являются рациональными.

Таким образом, правильный ответ третий.

Ответ: 3

---

Четвертый вариант задания

По просьбе подписчика моего сообщества Спадило Дианы, привожу разбор следующего задания №4:

Решение:

Заметим, что в знаменателе присутствует разность (4 — √14), от которой нам необходимо избавиться. Как же это сделать?

Для этого вспоминаем формулу сокращенного умножения, а именно разность квадратов! Чтобы правильно её применить в этом задании необходимо помнить правила обращения с дробями. В данном случае вспоминаем, что дробь не изменяется, если числитель и знаменатель домножить на одно и то же число или выражение. Для разности квадратов нам не хватает выражения (4 + √14), значит, домножим на него числитель и знаменатель.

После этого в числителе получим 4 + √14, а в знаменателе разность квадратов: 4² — (√14)². После этого знаменатель легко вычисляется:

16 — 14 = 2

Суммарно наши действия выглядят так:

Ответ: 4

Хотите, чтобы ваше задание я разобрал и представил здесь? Подписывайтесь на мою группу Спадило и присылайте задание в личные сообщения группы!

---

Пятый вариант задания (демонстрационный вариант ОГЭ 2017)

Решение:

В данном задании у нас проверяют навыки операций с иррациональными числами.

Разберем каждый вариант ответа в решении:

1) √6-3

√6 само по себе является иррациональным числом, для решения подобных задач достаточно помнить, что рационально извлечь корень можно из квадратов натуральных чисел, например, 4, 9, 16, 25…

При вычитании из иррационального числа любого другого, кроме его же самого, приведет вновь к иррациональному числу, таким образом, в этом варианте получается иррациональное число.

2) √3•√5

При умножении корней, мы можем извлечь корень из произведения подкоренных выражений, то есть:

√3•√5 = √(3•5) = √15

Но √15 является иррациональным, поэтому данный вариант ответа не подходит.

3) (√5)²

При возведении квадратного корня в квадрат, мы получаем просто подкоренное выражение (если уж быть точнее, то подкоренное выражение по модулю, но в случае числа, как в данном варианте, это не имеет значения), поэтому:

(√5)² = 5

Данный вариант ответа нам подходит.

4) (√6-3)²

Данное выражение представляет продолжение 1 пункта, но если √6-3 иррациональное число, то никакими известными нам операциями перевести в рациональное его нельзя.

Ответ: 3

---

Шестой вариант задания

Решение:

В 1-м корне представляем 4900 в виде произведения 49·100. Оба эти числа являются точными квадратами: 49=7² и 100=10². И, значит, число под корнем можно полностью вынести из-под него, применив правила работы с подкоренными выражениями. В целом получаем:

 

По аналогии извлекаем и 2-й корень:

В итоге получаем:

Ответ: 70,7

---

Седьмой вариант задания

Решение:

Используем правило умножения и деления степеней с одинаковым основанием. Заключается оно в том, что при их умножении показатели степеней суммируются, а при делении вычитаются (от показателя в числителе вычитается показатель, стоящий в знаменателе). Тогда получаем:

Ответ: 81