👀 2.4k |

Разбор и решение задания №24 ОГЭ по математике


Задачи с треугольниками


Разбор типовых вариантов заданий №24 ОГЭ по математике


Первый вариант задания

Углы В и С треугольника ABC равны соответственно 71° и 79°. Найдите ВС, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 8.

Алгоритм решения:
  1. Делаем чертеж по условию задания.
  2. Находим угол А в данном треугольнике.
  3. Используем следствие из теоремы синусов для треугольника АВС
  4. Определяем ВС.
  5. Записываем ответ.
Решение:
1. Делаем чертеж, удовлетворяющий условию задачи. http://self-edu.ru/htm/2018/oge2018_36/files/1_24.files/image001.jpg 2. Определим угол А: ∠А=1800 —710—790 = 300. 3. Пусть R — радиус описанной окружности, тогда по следствию из теоремы синусов получаем: http://self-edu.ru/htm/2018/oge2018_36/files/1_24.files/image002.gif 4. Тогда, при подстановке в равенство полученных данных, получаем: ВС равно произведению сторон АВ и АС на синус угла А, который равен 300. Следовательно ВС=2∙8∙0,5=8. Ответ: 8.

Второй вариант задания

Углы В и С треугольника ABC равны соответственно 72° и 78°. Найдите ВС, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 17.

Алгоритм решения:
  1. Делаем чертеж по условию задания.
  2. Находим угол А в треугольнике.
  3. Используем следствие из теоремы синусов для треугольника АВС.
  4. Определяем ВС.
  5. Записываем ответ.
Решение:
1. Делаем чертеж, удовлетворяющий условию задачи. http://self-edu.ru/htm/2018/oge2018_36/files/1_24.files/image001.jpg 2. Рассматриваем треугольник ABC. В нем определяем угол A: ∠А=1800—∠В —∠С, откуда ∠А=1800 —710—790 = 300. 3. По теореме синусов и следствию из нее: http://self-edu.ru/htm/2018/oge2018_36/files/2_24.files/image003.gif где R – радиус описанной окружности. Имеем: http://self-edu.ru/htm/2018/oge2018_36/files/2_24.files/image004.gif 4. Определяем ВС из полученного равенства: http://self-edu.ru/htm/2018/oge2018_36/files/2_24.files/image005.gif Ответ: 17.

Третий вариант задания

Углы B и C треугольника ABC равны соответственно 66° и 84°. Найдите ВС, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 15.

Алгоритм решения:
  1. Делаем чертеж по условию задания.
  2. Определяем угол А.
  3. Используем следствие из теоремы синусов для треугольника АВС.
  4. Определяем ВС.
  5. Записываем ответ.
Решение:
1. Делаем чертеж, соответствующий условию задания. http://self-edu.ru/htm/2018/oge2018_36/files/1_24.files/image001.jpg 2. Найдем угол А треугольнике ABC: http://self-edu.ru/htm/2018/oge2018_36/files/3_24.files/image001.gif 3. Радиус R описанной окружности вокруг треугольника связан с длиной BC и синусом угла A выражением, которое является следствием теоремы синусов: http://self-edu.ru/htm/2018/oge2018_36/files/3_24.files/image003.gif Отсюда получаем: http://self-edu.ru/htm/2018/oge2018_36/files/3_24.files/image004.gif Ответ: 15.

Четвертый вариант задания

Биссектрисы углов А и В при боковой стороне АВ трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите АВ, если AF = 24, BF = 18.

Алгоритм решения:
  1. Делаем чертеж.
  2. Рассматриваем углы трапеции и проведенные биссектрисы.
  3. Определяем вид треугольника AFB.
  4. Находим длину АВ.
  5. Записываем ответ.
Решение:
1. Выполняем рисунок, согласно требованиям задачи: http://self-edu.ru/htm/oge2016_36/files/33_24.files/image001.jpg 2. У трапеции ABCD стороны AB и CD основания, значит, они параллельны. Прямая АВ является секущей параллельных прямых, которые содержат основания. Следовательно, http://self-edu.ru/htm/oge2016_36/files/33_24.files/image003.gif , поскольку они являются внутренними односторонними. По построению AF и BF являются биссектрисами внутренних односторонних углов. Тогда сумма углом BAF и FBA определяется так: http://self-edu.ru/htm/oge2016_36/files/33_24.files/image004.gif 3. Тогда в треугольнике ABF угол AFB равен:

∠ AFB =1800—(∠BAF —∠FBA)= 1800 – 900

http://self-edu.ru/htm/oge2016_36/files/33_24.files/image005.gif Таким образом, треугольник AFB является прямоугольным, причем AB – гипотенуза 4. Воспользуемся теоремой Пифагора для ее вычисления: http://self-edu.ru/htm/oge2016_36/files/33_24.files/image006.gif Ответ:30.

Пятый вариант задания

Биссектрисы углов А и В при боковой стороне АВ трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите АВ, если AF = 24, BF = 7.

Алгоритм решения:
  1. Делаем чертеж.
  2. Рассматриваем углы трапеции и проведенные биссектрисы.
  3. Определяем вид треугольника AFB.
  4. Находим длину АВ.
  5. Записываем ответ.
Решение:
1. Выполняем соответствующий чертеж:http://self-edu.ru/htm/oge2016_36/files/33_24.files/image001.jpg

2. Трапеция ABCD имеет основаниями стороны ВС и AD, значит, они параллельны. Тогда в ней внутренние односторонние при пересечении прямых, которые содержат эти основания, секущей АВ. Следовательно, они удовлетворяют равенству: http://self-edu.ru/htm/oge2016_36/files/33_24.files/image003.gif .

3. По построению, заданному условием задачи AF и BF являются биссектрисы данных углов. Тогда в треугольнике ABF

http://self-edu.ru/htm/oge2016_36/files/33_24.files/image004.gif Отсюда получаем: http://self-edu.ru/htm/oge2016_36/files/33_24.files/image005.gif Таким образом, треугольник AFB прямоугольный, а сторона AB – его гипотенуза. 4. Используем теорему Пифагора: Отсюда АВ=25. Ответ 25.

Шестой вариант задания

Биссектрисы углов А и В при боковой стороне АВ трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите АВ, если AF = 20, BF = 15.

Алгоритм решения:
  1. Делаем чертеж.
  2. Рассматриваем углы трапеции и проведенные биссектрисы.
  3. Определяем вид треугольника AFB.
  4. Находим длину АВ.
  5. Записываем ответ.
Решение:
1. Выполняем рисунок, соответствующий данному условию. http://self-edu.ru/htm/oge2016_36/files/33_24.files/image001.jpg 2. Рассмотрим трапецию ABCD. В ней http://self-edu.ru/htm/oge2016_36/files/33_24.files/image002.gif как основания. Углы А и В составляют в сумме 1800, как углы при основаниях. Отсюда следует, что http://self-edu.ru/htm/oge2016_36/files/33_24.files/image003.gif  как соседние при двух основаниях. По условию лучи AF и BF – биссектрисы этих углов, тогда их сумма http://self-edu.ru/htm/oge2016_36/files/33_24.files/image004.gif

3. Рассматриваем треугольник ABF. В нем угол http://self-edu.ru/htm/oge2016_36/files/33_24.files/image005.gif по свойству углов треугольника, т.е. построенный треугольник AFB – прямоугольный. И гипотенузой в нем является сторона AB.

4. Вычислим сторону по теореме Пифагора: АВ2 = AF2 + BF2 Следовательно, АВ=25. Ответ: 25.

Демонстрационный вариант ОГЭ 2019

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C известны катеты: AC = 6 , BC = 8 . Найдите медиану CK этого треугольника.

Алгоритм решения:
  1. Используя св-во медианы в прямоуг.треугольнике, показываем, что искомый отрезок СК равен половине АВ.
  2. Используя т.Пифагора, находим АВ.
  3. Зная АВ, вычисляем СК.
Решение:
У прямоуг.треугольника есть свойство: его медиана, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, равна ее половине. Поскольку ∆АВС прямоугольный, то СК=АВ/2. Это означает, что СК=АК=КВ: Гипотенузу АВ найдет по т.Пифагора:

АВ2=АС2+ВС2

Отсюда: Тогда получаем:

СК=10/2=5.

Ответ: 5
✍️ Автор: Ирина | 📄 Скачать PDF |Поставить огонёк:

2 комментариев

  1. 1 вариант другое решение. САВ=30* O центр окр СОВ=2САВ=60* СО=OВ=R=8 треуг СОВ равнобедренный
    ВСО=СВО=(180-60)/2=60* треуг СОВ равносторонний СО=ОВ=ВС=8
    Советую выучить теорему синусов — решение проще

Добавить комментарий



Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *