Доказываем геометрические гипотезы.
Задание 24OM21R
Биссектрисы углов А и D параллелограмма АВСD пересекаются в точке N, лежащей на стороне ВС. Докажите, что N – середина ВС. Сделаем чертеж параллелограмма и покажем на нем биссектрисы углов, которые пересекаются в точке N.
Угол ANB равен углу NАD как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и АD и секущей AN. А по условию углы BАN и NАD равны (AN биссектриса). Следовательно, углы BАN и BNА равны. Значит, треугольник ABN является равнобедренным, у него АВ= BN.
Аналогично, через равенство углов CND, ADN и CDN доказывается, что треугольник CND является равнобедренным, у него CN=DC.
По условию задачи мы имеем параллелограмм, а по свойству параллелограмма – противолежащие стороны равны, т.е. АВ=СD, значит, АВ=BN=NC=CD. Таким образом, мы доказали, что BN=NC, т.е. N – середина ВС.
Ответ: см. решение
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор
Задание OM2505o
В параллелограмме ABCD точка E — середина стороны AB. Известно, что EC= ED. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник. Рассмотрим треугольники BEC и AED. BE = EA, так как E – середина стороны AB по условию. EC= ED по условию, а BC = AD по свойству параллелограмма (противолежащие стороны равны). Таким образом, BE = EA, EC= ED, BC = AD. Следовательно, треугольники BEC и AED равны по трём сторонам.
В равных треугольниках – равные элементы. Значит, углы CBE и DAE равны. Так как их сумма равна 180° по свойству параллелограмма , то углы равны 90° (180 / 2 = 90 ) .
Следовательно, данный параллелограмм — прямоугольник.
Ответ: доказано
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор
Задание OM2503o
Окружности с центрами в точках М и N пересекаются в точках S и Т, причём точки М и N лежат по одну сторону от прямой ST. Докажите, что прямые MN и ST перпендикулярны. Алгоритм решения:
Делаем чертеж по условию задачи.
Рассмотрим треугольники SMN и TMN и установим их равенство.
Воспользуемся свойством равных фигур для определения вида треугольника SMT.
Используем свойство равнобедренного треугольника и делаем вывод.
Решение:
1. Делаем чертеж согласно условия задачи.
2. Рассмотрим треугольники SMN и TMN. Они равны по трем сторонам:
SM=TM как радиусы окружности с центром в точке М,
SN=TN как радиусы окружности с центром в точке N,
а MN – общая сторона (см. рисунок выше).
3. По свойству равных фигур, , как соответствующие углы в равных треугольниках.
4. Рассмотрим треугольник SMT.
В нем по доказанному выше , а значит MN – биссектриса угла M. Данный треугольник равнобедренный с равными сторонами SM и TM.
Следовательно, MN – высота по свойству биссектрисы равнобедренного треугольника. Следовательно, .
Ответ: доказано
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор
Задание OM2502o
Окружности с центрами в точках Е и F пересекаются в точках С и D, причём точки Е и F лежат по одну сторону от прямой CD. Докажите, что прямые CD и EF перпендикулярны. Алгоритм решения:
Делаем чертеж по условию задачи.
Рассмотрим треугольники CEF и DEF и установим их равенство.
Воспользуемся свойством равных фигур для определения вида треугольника CED.
Используем свойство равнобедренного треугольника и делаем вывод.
Решение:
1. Делаем чертеж по условию задачи:
2. Рассмотрим треугольники CEF и DEF и установим их равенство:
У них CE=DE, как радиусы окружности с центром в точке Е,
Аналогично, CF = DF, как радиусы окружности с центром в точке F.
EF – общая сторона.
Значит, данные треугольники равны.
Тогда по свойству равных фигур .
Рассмотрим треугольник CED. У него CE=DE, поскольку это соответствующие стороны равных фигур. Значит, треугольник равнобедренный.
EF – биссектриса угла E. следовательно, EF – высота по свойству равнобедренного треугольника. Отсюда следует, что .
Ответ: доказано
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор
Задание OM2501o
Окружности с центрами в точках I и J пересекаются в точках А и В, причём точки I и J лежат по одну сторону от прямой АВ. Докажите, что прямые АВ и IJ перпендикулярны. Алгоритм решения:
Делаем чертеж.
Определяем место расположения точек I и J.
Используем свойство серединного перпендикуляра.
Делаем вывод.
Решение:
1. Делаем чертеж, согласно условия:
2. Определяем место расположения точек I и J:
Точка I равноудалена от точек A и B. Аналогично, точка J равноудалена от концов отрезка AB.
3. По свойству геометрического места точек, равноудаленных от концов отрезка, эти точки расположены на серединном перпендикуляре к отрезку AB.
А если две точки I и J лежат на серединном перпендикуляре, прямая IJ совпадает с ним. Следовательно, прямые IJ и АВ перпендикулярны.
Ответ: доказано
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор
круто
1 вариант другое решение. САВ=30* O центр окр СОВ=2САВ=60* СО=OВ=R=8 треуг СОВ равнобедренный
ВСО=СВО=(180-60)/2=60* треуг СОВ равносторонний СО=ОВ=ВС=8
Советую выучить теорему синусов – решение проще