Задание №14 ОГЭ по математике

задачи на прогрессии
Первичный бал: 1 Сложность (от 1 до 3): 2 Среднее время выполнения: 2 мин.

В 14-ом задании мы сталкиваемся с прогрессиями - общими понятиями. Ответом в задании 14 является целое число или конечная десятичная дробь.

Теория к заданию №14

Начнем теоретическую справку об определениях прогрессий.

Арифметическая прогрессия:

Последовательность, у которой задан первый член a1, а каждый следующий равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d, называется арифметической прогрессией.

an+1 = an + d

где d – разность прогрессии

арифметическая прогрессия

Геометрическая прогрессия:

Последовательность, у которой задан первый член b1 не равен 0, а каждый следующий равен предыдущему, умноженному на одно и то же число q не равное 0, называется геометрической прогрессией.

bn+1 = bn q

где q – знаменатель прогрессии

геометрическая прогрессия

Задание OM1420225 В ходе бета-распада радиоактивного изотопа А каждые 9 минут половина его атомов без потери массы преобразуются в атомы стабильного изотопа Б. В начальный момент масса изотопа А составляла 400 мг. Найдите массу образовавшегося изотопа Б через 36 минут. Ответ дайте в миллиграммах.

Рассмотрим решение данной задачи самым простым способом. Для этого разберем, что происходило с изотопами. Имеем один изотоп А массой 400 мг. Через каждые 9 минут половина его атомов преобразуется в атомы второго изотопа Б (то есть первый отдает второму свою половинку каждые 9 минут). Нам надо узнать массу этого второго изотопа Б через 36 минут. Запишем это решение в виде таблицы:

Время/мин Изотоп А/мг Изотоп Б/мг
0 – это нач.этап 400 0
9 мин 400:2=200 200
9+9=18 200:2=100 200+100=300
18+9=27 100:2=50 300+50=350
27+9=36 50:2=25 350+25=375

Видим, что через 36 минут масса изотопа Б стала 375 мг.

Ответ: 375

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Задание OM1420224 В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 8 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 320 мг. Найдите массу изотопа через 48 минут. Ответ дайте в миллиграммах.

Рассмотрим простой способ решения данной задачи. Итак, выпишем, что имеем по условию и что надо узнать. Имеем изотоп массой 320 мг, затем его масса уменьшается в 2 раза каждые 8 минут. Найти надо его массу через 48 минут. Удобнее записать это в виде таблицы, просчитывая сначала время (левый столбец), прибавляя по 8 мин и дойдя до 48 мин, как сказано в условии, а затем в правом столбце просчитываем массу, уменьшая её в 2 раза:

Время/мин Масса/мг
0 – это нач.этап 320
8 320:2=160
8+8=16 160:2=80
16+8=24 80:2=40
24+8=32 40:2=20
32+8=40 20:2=10
40+8=48 10:2=5
Значит, через 48 минут масса изотопа станет 5 миллиграммов.Ответ: 5

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Задание OM1420223 Миша решил заказать себе такси. Подача машины и первые пять минут поездки в совокупности стоят 159 рублей, а стоимость каждой последующей минуты поездки фиксирована. Стоимость поездки с 6 по 15 минуту (включительно) составила 80 рублей, а с 6 по 25 минуту – 160 рублей. Найти итоговую стоимость поездки, если она длилась 1 час.

Выпишем, что мы имеем по условию задачи в левый столбец, а в правый запишем то, что из этого следует

Известно Решение
Подача и первые 5 минут – 159 руб
Стоимость с 6 по 15 минуту – 80 рублей Стоимость с 6 по 25 минуту – 160 рублей. Разница во времени 10 минут стоит 80 руб
Значит, 1 минута стоит 8 руб (80:10=8)
1 час – ? руб 1 час=60 мин; убираем 5 минут, которые включены в подачу машины, значит, надо найти стоимость 55 минут: 558=440 руб Прибавляем стоимость подачи: 440+159=599 рублей
Ответ: 599

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Задание OM1420222 У Кати есть попрыгунчик (каучуковый шарик). Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока попрыгунчик подлетел на высоту 400 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в 2 раза меньше предыдущей. После какого по счету отскока высота, на которую подлетит попрыгунчик, станет меньше 20 см?

Определим, к какой последовательности относится наша задача. По условию имеем, что после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в 2 раза меньше предыдущей. Это геометрическая прогрессия. Теперь выпишем, что известно по условию и определим, что надо найти: первый член прогрессии b1=400, знаменатель q=1\2, n – количество отскоков, значит, найти надо n при bn<20.

Подставим в формулу n-ого члена геометрической прогрессии наши данные:

bn=b1qn-1=400(12..)n1<20

Разделим обе части неравенства на 400: (12..)n1<120..

Будем рассматривать случаи, начиная с n=3: (12..)31<120..; (12..)2<120..; (14..)<120.. неверно

При n=4: (12..)41<120..; (12..)3<120..; (18..)<120.. неверно

При n=5: (12..)51<120..; (12..)4<120..; (116..)<120.. неверно

При n=6: (12..)61<120..; (12..)5<120..; (132..)<120.. верно. Следовательно, после 6 отскока высота, на которую подлетит попрыгунчик, станет меньше 20 см.

К данной задаче можно сделать проверку, а также она является простейшим способом для её решения. Рассмотрим этот способ:

1 отскок – 400 см

2 отскок – 200 см (разделили на 2, так как по условию сказано, что с каждым отскоком высота уменьшалась в 2 раза)

3 отскок – 100 см

4 отскок – 50 см

5 отскок – 25 см

6 отскок – 12,5 см, а это меньше, чем 20 см, как требуется в условии. Поэтому пишем в ответ число 6.

Ответ: 6

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Задание OM1420221 В амфитеатре 12 рядов. В первом ряду 18 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

Из условия задачи видно, что имеем дело с арифметической прогрессией, так как сказано, что в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем.

Выписываем, что нам известно и определяем, что нужно найти: всего 12 рядов, значит n=12; в первом ряду 18 мест, значит, а1=18; так как в каждом последующем ряду мест на 2 больше, то разность арифметической прогрессии d=2. Надо найти, сколько всего мест в амфитеатре, т.е. найти сумму арифметической прогрессии S12.

Для нахождения суммы имеем формулу Sn=a1+an2..×n, то есть для нашей задачи S12=a1+a122..×12. У нас нет а12, найдем его по формуле n-ого члена арифметической прогрессии: a12=a1+d(n-1)=18+2(12-1)=18+22=40. Подставим данные в формулу суммы:

S12=18+402..×12=348

Следовательно, 348 мест всего в амфитеатре.

Проверка: можно проверить решение следующим способом, просто прибавляя по 2 места в каждый ряд до 12-ого, а затем сложить количество мест. Записать можно так: 18+20+22+24+26+28+30+32+34+36+38+40=348. Этим же способом, кстати, можно решить задачу, если от волнения забыли про арифметическую прогрессию.

Ответ: 348

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Задание 14OM21R При проведении опыта вещество равномерно охлаждали в течение 10 минут. При этом каждую минуту температура вещества уменьшалась на 80С. Найдите температуру вещества (в градусах Цельсия) через 6 минут после начала проведения опыта, если его начальная температура составляла -60С.

Можно решить данную задачу логическим путем, т.е. без формулы. Так как начальная температура была -6, а потом уменьшалась на 8 градусов в течение 6 минут, то можно сделать следующее:

-6-8=-14 через 1 минуту

-14-8=-22 через 2 минуты

-22-8=-30 через 3 минуты

-30-8=-38 через 4 минуты

-38-8=-46 через 5 минут

-46-8=-54 через 6 минут

Значит, наш ответ -540С

Вторым способом является решение по формуле n-ого члена арифметической прогрессии, которая есть также и в справочном материале, т.е. an=a1+d(n – 1). В данном случае a1=-6; d=-8, n=7 (так как ЧЕРЕЗ 6 минут). Подставим значения в формулу: a7=-61-8(7 – 1). Вычислим: a6=-6-85=-6-48=-54.

Ответ: -54

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Задание OM1407 К концу 2008 года в городе проживало 38100 человек. Каждый год число жителей города возрастало на одну и ту же величину. В конце 2016 года в городе проживало 43620 человек. Какова была численность населения этого города к концу 2012 года?

Содержание данной задачи говорит нам о том, что здесь есть арифметическая прогрессия, так как число жителей города возрастало на одну и ту же величину.

Рассмотрим данные:

2008 г – 38100 человек

2012 г – ? человек

2016 г. – 43620 человек

Удобно решить данную задачу способом по формуле связи между любыми двумя членами арифметической прогрессии: d=anakkn.. , где k>n. Число d (разность прогрессии) будет являться ежегодным приростом населения.

Итак, можно вычислить прирост населения с 2008 по 2016 ежегодно:

(43620 – 38100):(2016 – 2008)= 5520:8=690 человек.

Теперь можно найти, сколько человек проживало в конце 2012 года.

38100+690(2016 – 2012)= 40860 человек

Ответ: 40860

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Задание OM1406 Митя играет в компьютерную игру. Он начинает с 0 очков, а для перехода на следующий уровень ему нужно набрать не менее 30000 очков. После первой минуты игры добавляется 2 очка, после второй – 4 очка, после третьей – 8 очков и так далее. Таким образом, после каждой следующей минуты игры количество добавляемых очков удваивается. Через сколько минут Митя перейдет на следующий уровень?

Анализируя содержание задачи, можно сказать, что мы имеем дело с геометрической прогрессией, так как после первой минуты игры добавляется 2 очка, после второй – 4 очка, после третьей – 8, а это значит, что с каждой последующей минутой количество очков удваивается. То есть знаменатель геометрической прогрессии q равен 2, b1=2 по условию (после 1 минуты 2 очка). Так как очки суммируются, то будем использовать формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии Sn=b1(qn1)q1.., где Sn>30000, так как для перехода на следующий уровень ему нужно набрать не менее 30000 очков.

Подставляем наши данные в формулу: 2(2n1)21..>30000

Упрощаем выражение: так как в знаменателе дроби получается 1, то получим 2(2n-1)>30000; делим обе части на 2: 2n-1>15000; переносим 1 в правую часть и получим: 2n>15001. Теперь надо подобрать число n, при котором будет верно наше неравенство. Делать это можно постепенно, возводя 2 в степени, а можно запомнить, что 210=1024. Тогда легко будет добраться до числа, которое меньше 15001, а это 214=16384, где 16384<15001. Следовательно, наш ответ 14 минут.

Ответ: 14

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Задание OM1405 В течение 25 банковских дней акции компании дорожали ежедневно на одну и ту же сумму. Сколько стоила акция компании в последний день этого периода, если в 7-й день акция стоила 777 рублей, а в 12-й день – 852 рубля?

В содержании задачи есть фраза, что акции дорожали ежедневно на одну и ту же сумму, следовательно, имеем арифметическую прогрессию. Итак, определяем, что известно: в 7-й день акция стоила 777 рублей, это а7=777; в 12-й день – 852 рубля, это а12=852. Известно, что акции дорожали 25 дней, а найти надо стоимость акции в последний, т.е. в 25-ый день, значит, будем искать а25.

1 способ:

В данной арифметической прогрессии нет первого члена, не идет речь про сумму, поэтому воспользуемся формулой аn=ak+d(n – k), где n>k. Числа n и k – это порядковые номера. Составим формулу для наших данных и подставим в неё значения: а127+d(12-7); 852=777+d(12 – 7). Упростим выражение и найдем разность d, 852–777= d(12 – 7); 75= d∙5; отсюда d=75:5=15. Итак, мы нашли, что акции ежедневно дорожали на 15 рублей.

Теперь, зная число d, мы можем найти а25 через, например, а12, используя всё ту же формулу. Получаем: а2512+d(25-12); а25=852+15(25-12)=852+15∙13= 852+195=1047. Значит, 1047 рублей стоила акция в последний день.

2 способ:

Можно решить данную задачу другим способом по формуле связи между любыми двумя членами арифметической прогрессии: d=anakkn.. , где k>n. Составим формулу для наших а12 и а7, а затем подставим в нее данные: d=a12a7127..; d=852777127..=15. Теперь по этой же формуле найдем а25, связывая его с а12: d=a25a122512..; 15=a2585213..; найдем отсюда а25, а25=15∙13+852=1047.

Ответ: 1047

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Задание OM1404 Грузовик перевозит партию щебня массой 176 тонн, ежедневно увеличивая норму перевозки на одно и то же число тонн. Известно, что в первый день было перевезено 6 тонн щебня. Определите, сколько тонн щебня было перевезено в последний день, если вся работа была выполнена за 11 дней.

В условии задачи встречаются слова, что норма увеличивалась на одно и то же число. И это значит, что мы имеем арифметическую прогрессию, в которой а1=6, так как в первый день перевезли 6 тонн. Далее, известно, что вся работа была выполнена за 11 дней, значит число n=11. Так как масса всего щебня равна 176, то это число является суммой нашей прогрессии, т.е. S11=176. Требуется найти, сколько тонн было перевезено в последний день, а он – 11, значит, найти надо а11.

Итак, если нам встретилась сумма арифметической прогрессии, значит, нам надо воспользоваться формулой суммы n первых членов арифметической прогрессии Sn=а1+аn2..n, куда мы и подставим все данные: 176=6+а112..11.

Разделим обе части на 11, получим 16= 6+а112.. ; умножим 16 на 2 (правило пропорции): 32=6+а11. Отсюда найдем а11=32–6=26. Итак, мы нашли, что 26 тонн щебня было перевезено в последний день.

Ответ: 26

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Задание OM1403 Для получения витамина D могут быть рекомендованы солнечные ванны. Загорать лучше утром до 10 часов или вечером после 17 часов. Михаилу назначили курс солнечных ванн. Михаил начинает курс с 15 минут в первый день и увеличивает время этой процедуры в каждый следующий день на 15 минут. В какой по счету день продолжительность процедуры достигнет 1 часа 15 минут?

Из содержания данной задачи видно, что время процедуры увеличивалось с каждым днем на одно и то же количество времени – на 15 минут, следовательно, это арифметическая прогрессия. Так как в первый день курс был 15 минут, то а1=15; так как время ежедневно увеличивалось на 15 минут, то значит разность d=15; зная, что продолжительность процедуры должна достигнуть 1 ч 15 мин, т.е. достигнуть 75 минут (1 час=60 мин, плюс 15 минут), то это число 75 и будет являться n членом арифметической прогрессии. Требуется найти, в какой по счету день продолжительность процедуры достигнет этих 75 минут, т.е. найдем число n.

Теперь берем формулу n члена арифметической прогрессии аn=a1+d(n – 1) и подставляем в неё наши данные: 75=15+15(n – 1); упростим данное выражение: 75-15=15(n – 1); 60=15(n – 1); разделим на 15 обе части: 4=n – 1; найдем отсюда, что n=5. Таким образом, на пятый день продолжительность процедуры достигнет 75 минут.

Ответ: 5

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Задание OM1402 Улитка ползет от одного дерева до другого. Каждый день она проползает на одно и то же расстояние меньше, чем в предыдущий день. Известно, что за первый и последний дни улитка проползла в сумме 7,5 метров. Определите, сколько дней улитка потратила на весь путь, если расстояние между деревьями равно 60 метрам.

Анализируя содержание задачи, мы видим, что улитка проползала ежедневно на одно и то же расстояние меньше, чем в предыдущий день. А это значит, что имеем арифметическую прогрессию. По условию определяем данные: так как в первый и последний дни она проползла 7,5 м, то имеем, что а1n=7,5. Так как расстояние между деревьями равно 60 м, то имеем сумму n первых членов прогрессии, т.е. Sn=60. Так как найти надо количество дней, которое она потратила на весь путь, то искомым числом будет число n.

Зная формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии

Sn=а1+аn2..n, имеем 60=7,5  n2... Отсюда находим n, умножая сначала 60 на 2 (по определению пропорции), затем 120 делим на 7,5 и получаем, что n=16. Таким образом, улитка потратила на весь путь 16 дней.

Ответ: 16

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Задание OM1401 При проведении химической реакции в растворе образуется нерастворимый осадок. Наблюдения показали, что каждую минуту образуется 0,2 г осадка. Найдите массу осадка (в граммах) в растворе спустя семь минут после начала реакции.

При анализе содержания задачи мы видим, что каждую минуту количество осадка увеличивается на одно и то же число, на 0,2 г. А это значит, что имеем арифметическую прогрессию, в которой первый член равен 0,2, так как по условию в первую минуту образовалось 0,2 г осадка. Разность арифметической прогрессии равна также 0,2, так как каждую минуту на это количество увеличивается количество осадков. Найти нужно седьмой член последовательности.

Итак, имеем а1=0,2; d=0,2. Ищем а7. По определению n-ого члена арифметической прогрессии имеем формулу аn=a1+d(n – 1). Подставим в нее наши данные: а7=a1+d(7 – 1)=0,2+0,2·6=1,4

Ответ: 1,4

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Задание OM1206o Выписаны первые три члена геометрической прогрессии: 1512; –252; 42; … Найдите сумму первых четырёх ее членов.

Сумму произвольного кол-ва членов геометрич.прогрессии будем искать по формуле: 1-й член прогрессии известен из условия и равен b1=1512. Требуемое число членов n=4. Знаменатель прогрессии найдем как частное двух соседних членов прогрессии (2-го и 1-го или 3-го и 2-го и т.д.). Найдем его так: По условию b2=–252, b3=42, поэтому Отсюда получаем:

Ответ: 1295

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Задание OM1205o Геометрическая прогрессия (bn) задана условиями:

b1=–2, bn+1=2bn.

Найдите b7.

Искомый 7-й член прогрессии b7 будем искать по формуле:

b7=b1·q6.    (1)

Здесь b1 по условию дано, а знаменатель q нет. Но его можно определить, исходя из определения этой величины. Согласно определению, q=bn+1/bn. Используя второе условие задачи, получим, что q=2. Теперь используем 1-е условие задачи (b1=–2) и найдем искомую величину по формуле (1):

b7=–2·26=–2·64=–128.

Ответ: -128

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Задание OM1204o В последовательности чисел первое число равно 6, а каждое следующее больше предыдущего на 4. Найдите пятнадцатое число.

В данном задании нас проверяют на знание формулы арифметической прогрессии:

e7e1e680f87d6cad66c925b184e2054d

где n – номер члена прогрессии, d – разность, а а1 – первый член.

Решение:

Подставим в общую формулу известные из условия значения:

d = 4,

а1 = 6,

n = 15,

получим:

a15 = 6 + (15 – 1) • 4

вычислив, получаем значение 15 члена:

a15 = 62

Ответ: 62

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Задание OM1203o Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии:  10, 6, 2, … Найдите 101 член.

Для решения данной задачи воспользуемся формулой, задающей арифметическую прогрессию:

an = a1 + (n-1) • d

В нашем случае:

a1 = 10

d = 6 — 10 = -4

Подставляем значения в формулу:

a101 = 10 + (101-1) • (-4) = -390

Ответ: -390

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Задание OM1202o

Выписано несколько последовательных членов геометрической прогрессии:

-1, x, -49, -343, ….

Найдите x.


Для того, чтобы найти x, необходимо вначале вычислить знаменатель прогрессии — для этого необходимо разделить последующий член на предыдущий:

-343 / -49 = 7

Затем, зная знаменатель прогрессии мы можем найти x, разделив последующий член (-49) на уже известный знаменатель 7.

x = -49 / 7 = -7

Ответ: -7

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Задание OM1201o

Дана арифметическая прогрессия a(n) в которой

a (3) = 6,9

a (16) = 26,4

Найдите разность прогрессии.


Чтобы найти разность прогрессии в нашем случае, нужно разделить разницу между значениями членов прогрессии на количество членов (в нашем случае — это между 3 и 16).

Находим разницу между значениями  a (3) и a (16):

a (3) — a (16) = 26,4 — 6,9 = 19,5

Находим количество членов:

16 — 3 = 13

Находим разность прогрессии:

19,5 / 13 = 1,5

Ответ: 1,5

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить


👀 19.1k |

5 комментариев

  1. почему 2 части нет это самые трудные задания если это возможно пожалуйста укажите 2 часть тоже .заранее спасибо

  2. Спасибо Вам огромное! Вы даже не представляете, как вы помогли мне.Спасибо ещё раз!

  3. СПАСИБИЩЕ ГРОМАДНОЕ!! ТОТ ЧЕЛОВЕЧИЩЕ, КОТОРЫЙ ВСЕ ЭТО ПИСАЛ, ЗНАЙТЕ, ЧТО ВЫ З О Л О Т О!

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *