Задание №16 ОГЭ по математике

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 22$\surd 2$. Найти диагональ этого квадрата.

Для начала надо сделать построения на чертеже, чтобы увидеть, как располагаются известные и неизвестные элементы и чем они еще могут являться на чертеже.

Обозначим диагональ АВ, точкой О – центр окружности, С – один из углов квадрата. Покажем расстояние от центра окружности до стороны квадрата – радиус r. Если радиус равен 22$\surd 2$, то сторона квадрата будет в два раза больше, т.е. 44$\surd 2$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, который является равнобедренным (так как по условию дан квадрат) и боковые стороны равны по 44$\surd 2$. Нам надо найти диагональ, т.е. гипотенузу данного треугольника. Вспомним, что для нахождения гипотенузы равнобедренного треугольника есть формула с=а$\surd 2$, где с – гипотенуза, а – катет. Подставим в неё наши данные:

с=44$\surd 2\times \surd 2$=44$\surd 4$=44$\times$2=88

Поскольку вершина О угла АОВ лежит в центре окружности, значит, этот угол центральный. А если так, то он равен величине дуги АВ. Т.е. ᴗАВ=113⁰. Угол АСВ является вписанным. Следовательно, его величина равна половине дуги, на которую он опирается. Из рисунка видно, что оба угла (АОВ и АСВ) опираются на одну и ту же дугу. Т.к.  ᴗАВ=113⁰, то угол АСВ равен

0,5 · ᴗАВ = 0,5 · 113⁰ = 56,5⁰.

Сторона АВ треуг-ка АСВ является диаметром окружности. Это означает, что угол АСВ опирается на диаметр. Тогда угол АСВ равен 90⁰, и, следовательно, ∆АСВ прямоугольный. Если ∆АСВ прямоугольный, то для нахождения одной из его сторон можно применить т.Пифагора. По т.Пифагора

АС²+ВС²=АВ²  (1)

Для решения данной задачи необходимо провести радиус окружности к точке начала хорды:

Для решения необходимо вспомнить, что центр описанной около прямоугольного треугольника окружности расположен в середине гипотенузы. То есть гипотенуза является диаметром, а её половина – радиусом.

По теореме Пифагора найдем гипотенузу AB:

AB² = BC² + AC² = 12² + 16² = 144 + 256 = 400

AB = √400 = 20

Гипотенуза равна 20, значит радиус – 10.

Во-первых, касательные равны между собой по длине, а значит треугольник с основанием AB равнобедренный. Угол при вершине этого треугольника равен 2 градуса по условию, значит углы при основании равны:

(180 – 2) / 2 = 89°

Во-вторых, касательные перпендикулярны радиусу, то есть угол между ними и радиусом равен 90 градусов.

Заметим, что угол ABO, который необходимо найти, является частью угла между касательной и радиусом, а именно за вычетом угла, который мы нашли в первом пункте. Значит, этот угол равен:

90 – 89 = 1°

Внимательно посмотрим на рисунок. Угол ABC опирается на дугу ADC, а угол CAD – на дугу DC. Угол, который нам необходимо найти – ABD, опирается на дугу AD – которая является частью дуги ADC за вычетом дуги DC. Значит, угол ABD равен разности углов ABC и CAD:

∠ABD = 92 – 60 = 32