👀 7.5k |

Разбор и решение задания №21 ОГЭ по математике


Решение уравнений


В данном задании необходимо решить уравнение степени больше двух — это может быть биквадратное или кубическое уравнение. Ниже мы приводим алгоритмы решения типовых заданий!


Разбор типовых вариантов задания №21 ОГЭ по математике


Демонстрационный вариант ОГЭ 2019

Решите уравнение

x4 = (4x — 5)2

Алгоритм решения:
  1. Определить тип уравнения.
  2. Перенести правую часть уравнения в левую.
  3. Привести уравнение к виду, при котором можно его многочлен слева разложить на множители.
  4. Разложить на множители.
  5. Приравнять каждый множитель к нулю
  6. Решить полученные уравнения.
  7. Записать ответ.
Решение:

1. Уравнение четвертой степени.

2. Перенесем правую часть уравнения в левую:

x4 — (4x — 5)2 = 0

3. Уравнение уже приведено к виду, при котором можно его левую часть разложить на множители.

4. Данное уравнение разложим на множители по формуле разности квадратов. Получим:

2 – (4х-5))( х2 + (4х-5)) = 0, или (х2 – 4х+5)(х2 + 4х-5) = 0.

5. Приравняем каждый множитель к нулю:

х2 – 4х+5 = 0 и х2 + 4х-5 = 0

6. Решим каждое из уравнений по формулам дискриминанта и корней:

Для первого уравнения:

D = b2-4ac = 16-20 = — 4, это означает, что первое уравнение х2 – 4х+5 = 0 не имеет корней.

Для второго уравнения: Определим корни второго уравнения: Получили два корня: -5; 1.
Ответ: -5; 1.

Первый вариант задания

Решите уравнение http://self-edu.ru/htm/2018/oge2018_36/files/1_21.files/image001.gif
Алгоритм решения:
  1. Определить тип уравнения.
  2. Найти делители свободного члена уравнения.
  3. Определить среди делителей один из корней.
  4. Выполнить деление кубического многочлена на выражение х-а, где а – найденный корень.
  5. Записать получившийся в результате деления квадратный трехчлен и составим уравнение.
  6. Решить уравнение.
  7. Записать ответ.
Решение:

1. Перед нами уравнение третьей степени общего типа.

2. Найдем делители свободного члена данного уравнения. Это числа: 1; -1; 2; -2; 3; -3; 4; -4; 6; -6; 12; -12;.18; -18; 36; -36.

3. Рассмотрим числа 1; -1; 2; -2; 3; -3. Это наименьшие среди найденных делителей. Подставим их по очереди в уравнение вместо х:

  • для x=1: http://self-edu.ru/htm/2018/oge2018_36/files/1_21.files/image002.gif  — не подходит;
  • для x=-1: http://self-edu.ru/htm/2018/oge2018_36/files/1_21.files/image003.gif  — не подходит;
  • для х=2: 23+4∙22-9∙2=8=16-18-36=-38≠0 — не подходит;
  • для х=-2: (-2)3+4∙(-2)2-9∙(-2)-36=-8+16+18-36=-10≠0 – не подходит;
  • для x=3: http://self-edu.ru/htm/2018/oge2018_36/files/1_21.files/image004.gif  — подходит.

Мы нашли один корень.

4. Теперь выполним деление кубического многочлена на x-3, воспользовавшись схемой Горнера, имеем:
14-9-36
317120
Искать квадратный трехчлен можно другим способом, выполнив деление многочлена столбиком:
5. После деления получаем квадратный трехчлен:

x2 +7x+12.

Составим квадратное уравнение для вычисления оставшихся двух корней:

x2 +7x+12=0

6. Решим его с помощью формул корней и дискриминанта http://self-edu.ru/htm/2018/oge2018_36/files/1_21.files/image005.gif 7. Получили три корня 3; -3; -4. Ответ: 3;-3;-4.

Второй вариант задания

Решите уравнение http://self-edu.ru/htm/2018/oge2018_36/files/2_21.files/image001.gif
Алгоритм решения:
  1. Определить тип уравнения.
  2. Найти делители свободного члена уравнения.
  3. Определить среди делителей один из корней.
  4. Выполнить деление кубического многочлена на выражение х-а, где а – найденный корень.
  5. Записать получившийся в результате деления квадратный трехчлен и составим уравнение.
  6. Решить уравнение.
  7. Записать ответ.

1. Перед нами кубическое уравнение общего вида.

2. Найдем делители свободного члена уравнения. Это числа: 1; -1 и 2; -2.

3. Определим один из корней кубического уравнения среди делителей свободного члена .Для этого подставим каждый из этих делителей вместо x и проверим, какой их них является корнем:

— для x=1: http://self-edu.ru/htm/2018/oge2018_36/files/2_21.files/image002.gif  — подходит это и есть один из корней.

4. Теперь выполним деление кубического многочлена на x-1, воспользовавшись схемой Горнера, имеем:

12-1-2
11320
Искать квадратный трехчлен можно другим способом, выполнив деление многочлена столбиком: 5. Получаем квадратный трехчлен

x2 +3x+2.

6. Составим и решим квадратное уравнение для вычисления оставшихся двух корней. Для этого воспользуемся формулами корней квадратного уравнения и дискриминантом.

7. Получили три корня -2; -1; 1. Ответ: -2; -1; 1.

Третий вариант задания

Решите уравнение

(х–2)4+3(х–2)2–10=0.

Алгоритм решения:
  1. Выполняем замену выражения с х на альтернативную переменную. Это позволит упростить уравнение и привести его к форме обычного квадратного.
  2. Решаем полученное квадратное уравнения.
  3. Переходим обратно к выражению с х, для которого была выполнена замена.
  4. Находим искомые корни уравнения.
Решение:
(х–2)4+3(х–2)2–10=0 Выполняем замену: (х–2)2=а. Получаем: а2+3а–10=0 Это уравнение можно решить с помощью т.Виета.  Согласно теореме, имеем: а1+а2=–b, a1·a2=c. Здесь а1, а2 – корни этого уравнения, b=3, c=–10. Отсюда получаем: а1=2, а2=–5. Возвращаемся к переменной х. Поскольку (х–2)2=а, то получим: 1) (х–2)2=2 2) (х–2)2=–5 это уравнение корней не имеет, т.к. нельзя извлечь корень из отрицат.числа Ответ:

Четвертый вариант задания

Решите неравенство

(3х–7)2≥(7х–3)2.

Алгоритм решения:
  1. Используя ф-лу сокращенного умножения для квадрата разности, раскрываем скобки в левой и правой части нер-ва.
  2. Группируем элементы (слагаемые) неравенства: слагаемые с «х» должны оказаться в левой части, свободные члены – в правой. Приводим подобные.
  3. Решаем полученное нер-во.
Решение:
9х2–42х+49≥49х2–42х+9 9х2–42х–49х2+42х≥9–49 –40х2≥–40 х2≤1 х≤|1|    →    –1≤x≤1    →    xϵ[–1; 1] Ответ: [–1; 1]

Пятый вариант задания

Решите систему уравнений

Алгоритм решения:
  1. Из 2-го уравнения выражаем у через х.
  2. Подставляем полученное выражение для у в 1-е уравнение.
  3. В полученном ур-нии с одной переменной (х) выполняем тождественные преобразования. Приводим его к квадратичному виду.
  4. Выполняем замену х2 на а. Решаем полученное квадратное ур-ние.
  5. Возвращаемся от а к х. Находим все значения (корни) для х.
  6. Определяем соответствующие им значения для у.
  7. Фиксируем в ответе пары соответствующих корней.
Решение:
Из (2) выражаем у через х: Полученное выражение для у подставляем в (1): Выполним преобразования: Выполним замену: х2= , а0 . Получим:

а2–37а+36=0

По т.Виета а1=1, а2=36 Отсюда имеем:

х2=1    →    х=±1    →    х1=–1, х2=1

х2=36    →    х=±6    →    х3=–6, х4=6

Теперь возвращаемся к уравнению, в котором у выражено через х. И вычисляем соответствующие значения для у: Ответ: (–1; –6), (1; 6), (–6; –1), (6; 1)

Ирина | 📄 Скачать PDF |

4 комментариев

  1. 2 вариант (х* это х в квадрате, в степени 2) …=х*(х+4)-9(х+4)=(х*-9)(х+4)=0 х*-9=0 х*=9 х=3;—3 х+4=0 х=—4
    3 вариант …=х*(х+2)-1(х+2)=(х*-1)(х+2)=0 х*-1=0 х*=1 х=1;—1 х+2=0 х=—2

  2. Уравнения третьей степени лучшерешть способом группировки. Быстрее. короче.

Добавить комментарий



Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *