Задание №20 ОГЭ по математике

алгебраические выражения, уравнения, неравенства и их системы
Первичный бал: 1 Сложность (от 1 до 3): 3 Среднее время выполнения: 8 мин.

В данном задании необходимо решить уравнение степени больше двух - это может быть биквадратное или кубическое уравнение. Ниже мы приводим алгоритмы решения типовых заданий.

Задание OM2101o Решите уравнение и запишите в ответ наибольший из корней:

x4 = (4x - 5)2


Алгоритм решения:
  1. Определить тип уравнения.
  2. Перенести правую часть уравнения в левую.
  3. Привести уравнение к виду, при котором можно его многочлен слева разложить на множители.
  4. Разложить на множители.
  5. Приравнять каждый множитель к нулю
  6. Решить полученные уравнения.
  7. Записать ответ.
Решение:

1. Уравнение четвертой степени.

2. Перенесем правую часть уравнения в левую:

x4 — (4x — 5)2 = 0

3. Уравнение уже приведено к виду, при котором можно его левую часть разложить на множители.

4. Данное уравнение разложим на множители по формуле разности квадратов. Получим:

2 – (4х-5))( х2 + (4х-5)) = 0, или (х2 – 4х+5)(х2 + 4х-5) = 0.

5. Приравняем каждый множитель к нулю:

х2 – 4х+5 = 0 и х2 + 4х-5 = 0

6. Решим каждое из уравнений по формулам дискриминанта и корней:

Для первого уравнения:

D = b2-4ac = 16-20 = — 4, это означает, что первое уравнение х2 – 4х+5 = 0 не имеет корней.

Для второго уравнения:

Определим корни второго уравнения:

Получили два корня: -5; 1.

Ответ: 1

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Задание OM2102o Решите уравнение и запишите в ответ наибольший из корней:http://self-edu.ru/htm/2018/oge2018_36/files/1_21.files/image001.gif
Алгоритм решения:
  1. Определить тип уравнения.
  2. Найти делители свободного члена уравнения.
  3. Определить среди делителей один из корней.
  4. Выполнить деление кубического многочлена на выражение х-а, где а – найденный корень.
  5. Записать получившийся в результате деления квадратный трехчлен и составим уравнение.
  6. Решить уравнение.
  7. Записать ответ.
Решение:

1. Перед нами уравнение третьей степени общего типа.

2. Найдем делители свободного члена данного уравнения. Это числа: 1; -1; 2; -2; 3; -3; 4; -4; 6; -6; 12; -12;.18; -18; 36; -36.

3. Рассмотрим числа 1; -1; 2; -2; 3; -3. Это наименьшие среди найденных делителей. Подставим их по очереди в уравнение вместо х:

  • для x=1: http://self-edu.ru/htm/2018/oge2018_36/files/1_21.files/image002.gif  — не подходит;
  • для x=-1: http://self-edu.ru/htm/2018/oge2018_36/files/1_21.files/image003.gif  — не подходит;
  • для х=2: 23+4∙22-9∙2=8=16-18-36=-38≠0 — не подходит;
  • для х=-2: (-2)3+4∙(-2)2-9∙(-2)-36=-8+16+18-36=-10≠0 – не подходит;
  • для x=3: http://self-edu.ru/htm/2018/oge2018_36/files/1_21.files/image004.gif  — подходит.

Мы нашли один корень.

4. Теперь выполним деление кубического многочлена на x-3, воспользовавшись схемой Горнера, имеем:

1 4 -9 -36
3 1 7 12 0

Искать квадратный трехчлен можно другим способом, выполнив деление многочлена столбиком:

5. После деления получаем квадратный трехчлен:

x2 +7x+12.

Составим квадратное уравнение для вычисления оставшихся двух корней:

x2 +7x+12=0

6. Решим его с помощью формул корней и дискриминанта

http://self-edu.ru/htm/2018/oge2018_36/files/1_21.files/image005.gif

7. Получили три корня 3; -3; -4.

Ответ: 3

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Задание OM2103o Решите уравнение и запишите в ответ наименьший из корней:http://self-edu.ru/htm/2018/oge2018_36/files/2_21.files/image001.gif
Алгоритм решения:
  1. Определить тип уравнения.
  2. Найти делители свободного члена уравнения.
  3. Определить среди делителей один из корней.
  4. Выполнить деление кубического многочлена на выражение х-а, где а – найденный корень.
  5. Записать получившийся в результате деления квадратный трехчлен и составим уравнение.
  6. Решить уравнение.
  7. Записать ответ.

1. Перед нами кубическое уравнение общего вида.

2. Найдем делители свободного члена уравнения. Это числа: 1; -1 и 2; -2.

3. Определим один из корней кубического уравнения среди делителей свободного члена .Для этого подставим каждый из этих делителей вместо x и проверим, какой их них является корнем:

— для x=1: http://self-edu.ru/htm/2018/oge2018_36/files/2_21.files/image002.gif  — подходит это и есть один из корней.

4. Теперь выполним деление кубического многочлена на x-1, воспользовавшись схемой Горнера, имеем:

1 2 -1 -2
1 1 3 2 0

Искать квадратный трехчлен можно другим способом, выполнив деление многочлена столбиком:

5. Получаем квадратный трехчлен

x2 +3x+2

6. Составим и решим квадратное уравнение для вычисления оставшихся двух корней. Для этого воспользуемся формулами корней квадратного уравнения и дискриминантом.

7. Получили три корня -2; -1; 1.

Ответ: -2

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Задание OM2104o Решите уравнение и запишите в ответ натуральное число, встречающееся в обоих корнях:

(х–2)4+3(х–2)2–10=0


Алгоритм решения:
  1. Выполняем замену выражения с х на альтернативную переменную. Это позволит упростить уравнение и привести его к форме обычного квадратного.
  2. Решаем полученное квадратное уравнения.
  3. Переходим обратно к выражению с х, для которого была выполнена замена.
  4. Находим искомые корни уравнения.
Решение:

(х–2)4+3(х–2)2–10=0

Выполняем замену: (х–2)2=а.

Получаем:

а2+3а–10=0

Это уравнение можно решить с помощью т.Виета.  Согласно теореме, имеем:

а1+а2=–b, a1·a2=c.

Здесь а1, а2 – корни этого уравнения, b=3, c=–10.

Отсюда получаем: а1=2, а2=–5.

Возвращаемся к переменной х. Поскольку (х–2)2=а, то получим:

1) (х–2)2=2

2) (х–2)2=–5

это уравнение корней не имеет, т.к. нельзя извлечь корень из отрицательного числа

Корни уравнения:

Ответ: 2

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Задание OM2105o Решите неравенство. Пример записи ответа: [–5; 3].

(3х–7)2≥(7х–3)2


Алгоритм решения:
  1. Используя формулу сокращенного умножения для квадрата разности, раскрываем скобки в левой и правой части неравенства.
  2. Группируем элементы (слагаемые) неравенства: слагаемые с «х» должны оказаться в левой части, свободные члены – в правой. Приводим подобные.
  3. Решаем полученное неравенство.
Решение:

9х2–42х+49≥49х2–42х+9

9х2–42х–49х2+42х≥9–49

–40х2≥–40

х2≤1

х≤|1|    →    –1≤x≤1    →    xϵ[–1; 1] Ответ: [–1; 1]

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Задание OM2106o Решите систему уравнений. В ответ запишите пару чисел сумма которых наибольшая в порядке возрастания. Например, 47, если один из корней равен 4, а другой 7.
Алгоритм решения:
  1. Из 2-го уравнения выражаем у через х.
  2. Подставляем полученное выражение для у в 1-е уравнение.
  3. В полученном уравнении с одной переменной (х) выполняем тождественные преобразования. Приводим его к квадратичному виду.
  4. Выполняем замену х2 на а. Решаем полученное квадратное уравнение.
  5. Возвращаемся от а к х. Находим все значения (корни) для х.
  6. Определяем соответствующие им значения для у.
  7. Фиксируем в ответе пары соответствующих корней.
Решение:
Из (2) выражаем у через х: Полученное выражение для у подставляем в (1): Выполним преобразования: Выполним замену: х2= , а0 . Получим:

а2–37а+36=0

По теореме Виета а1=1, а2=36 Отсюда имеем:

х2=1    →    х=±1    →    х1=–1, х2=1

х2=36    →    х=±6    →    х3=–6, х4=6

Теперь возвращаемся к уравнению, в котором у выражено через х. И вычисляем соответствующие значения для у: Корни системы: (–1; –6), (1; 6), (–6; –1), (6; 1)Ответ: 16

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Задание 20OM21R Решите уравнение х3 + 6х2=4х + 24. В ответе запишите только число без знаков, например "5".

Нам дано уравнение третьей степени: х3 + 6х2=4х + 24

В данном уравнении перенесем все слагаемые в одну сторону ( в левую), изменяя при этом знаки: х3 + 6х2 – 4х – 24=0

Теперь сгруппируем слагаемые: (х3 + 6х2) – (4х + 24)=0

Вынесем общий множитель за скобки из каждой группы: х2(х + 6) – 4(х + 6)=0

Вынесем за скобки выражение (х + 6): (х + 6)(х2– 4)=0

Приравняем каждый множитель к нулю и решим полученные уравнения:

х + 6=0 и х2– 4=0

х=6 х2=4, отсюда х1,2=±2

Ответ: 2

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить


👀 11.2k |

Добавить комментарий



Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *