Задание №23 ОГЭ по математике

Найдите боковую сторону АВ трапеции ABCD, если углы АВС и BCD равны соответственно 30⁰ и 135⁰, а СD =17

Сделаем чертеж, выполнив на нём дополнительные построения – высоты АМ и СН, которые равны как расстояния между параллельными сторонами трапеции.

Рассмотрим треугольник CНD, где CD=17, угол Н=90⁰, следовательно, треугольник прямоугольный. Найдем величину угла DCН, 135⁰ – 90⁰=45⁰ (так как провели высоту CН). Отсюда следует, что угол D=45⁰, так как треугольник прямоугольный. Значит, треугольник является равнобедренным (углы D и DCН равны по 45 градусов).

Найдем катеты CН и DН по теореме Пифагора, как катет равнобедренного треугольника по формуле с=а$\sqrt{2}$, где с=17. Следовательно, CН =$\frac{17}{\sqrt{2}}=\frac{17}{\sqrt{2}}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВМ, где угол В равен 30 градусов, а катет АМ= CН=$\frac{17}{\sqrt{2}}$. Зная, что катет, лежащий напротив угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы, найдем АВ (она будет в два раза больше катета). АВ=2$\times \frac{17}{\sqrt{2}}$=17$\sqrt{2}$

Алгоритм решения:

1. Используя св-во медианы в прямоугольном треугольнике, показываем, что искомый отрезок СК равен половине АВ.
2. Используя теорему Пифагора, находим АВ.
3. Зная АВ, вычисляем СК.

Решение:

АВ²=АС²+ВС²

СК=10/2=5.

Алгоритм решения:

1. Делаем чертеж.
2. Рассматриваем углы трапеции и проведенные биссектрисы.
3. Определяем вид треугольника AFB.
4. Находим длину АВ.
5. Записываем ответ.

Решение:

3. Рассматриваем треугольник ABF. В нем угол по свойству углов треугольника, т.е. построенный треугольник AFB – прямоугольный. И гипотенузой в нем является сторона AB.

Следовательно, АВ=25.

Решение:

2. Трапеция ABCD имеет основаниями стороны ВС и AD, значит, они параллельны. Тогда в ней внутренние односторонние при пересечении прямых, которые содержат эти основания, секущей АВ. Следовательно, они удовлетворяют равенству: .

3. По построению, заданному условием задачи AF и BF являются биссектрисы данных углов. Тогда в треугольнике ABF

Отсюда АВ=25.

Алгоритм решения:

1. Делаем чертеж.
2. Рассматриваем углы трапеции и проведенные биссектрисы.
3. Определяем вид треугольника AFB.
4. Находим длину АВ.
5. Записываем ответ.

Решение:

∠ AFB =180⁰—(∠BAF —∠FBA)= 180⁰ – 90⁰

Алгоритм решения:

1. Делаем чертеж по условию задания.
2. Определяем угол А.
3. Используем следствие из теоремы синусов для треугольника АВС.
4. Определяем ВС.
5. Записываем ответ.

Решение:

Алгоритм решения:

1. Делаем чертеж по условию задания.
2. Находим угол А в треугольнике.
3. Используем следствие из теоремы синусов для треугольника АВС.
4. Определяем ВС.
5. Записываем ответ.

Решение:

Алгоритм решения:

1. Делаем чертеж по условию задания.
2. Находим угол А в данном треугольнике.
3. Используем следствие из теоремы синусов для треугольника АВС
4. Определяем ВС.
5. Записываем ответ.

Решение: