Анализ графика функции
Разбор типовых вариантов заданий №23 ОГЭ по математике
Первый вариант задания
Постройте график функции
Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.
Алгоритм решения:
- Преобразуем формулу, которая задает функцию.
- Определяем вид и характерные точки функции на каждом промежутке.
- Изображаем график на координатной плоскости.
- Делаем вывод относительно количества точек пересечения.
- Записываем ответ.
Решение:
1. Преобразуем функцию в зависимости от знака переменной х.
Если 
. 
Если 
2. График функции 
заданных значениях х - часть параболы, ветви которой направлены вниз.
Вершина расположена в точке с координатами: 
Найдем нули функции: 
График проходит через начало координат и точку (-2;-7).
Графиком второй функции 
является парабола, ветви которой направлены вверх.
Вершина ее находится в точке:
Определим нули параболы 
3. Изображаем график функции на координатной плоскости:
4. Из построения легко видно, что прямая y = m имеет с графиком ровно две точки, когда проходит через вершину одной из парабол, образующих график данной функции.
Значит, две общие точки функция и прямая имеют при m = -2,25 или m = 12,25.
Ответ: -2,25; 12,25.
Второй вариант задания
Постройте график функции
Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.
Алгоритм решения:
- Преобразуем формулу, которая задает функцию.
- Определяем вид и характерные точки функции на каждом промежутке.
- Изображаем график на координатной плоскости.
- Делаем вывод относительно количества точек пересечения.
- Записываем ответ.
Решение:
1. Преобразуем формулу в зависимости от знака переменной х:
2. Графиком функции 
является парабола, ветви которой направлены вниз.
Вершина ее находится в точке : 
Найдем нули функции: 
График проходит через начало координат и точку (0;4).
Графиком второй функции 
является парабола, ветви которой направлены вверх.
Вершина ее находится в точке:
Определим нули параболы 
3. Изображаем график на координатной плоскости:
Из изображения видно, что прямая y= m имеет с графиком только две общих точки, когда m=-9 или m=4. На графике прямая изображена красной линией при каждом значении m.
Ответ: -9; 4.
Третий вариант задания
Постройте график функции
Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.
Алгоритм решения:
- Преобразуем формулу, которая задает функцию.
- Определяем вид и характерные точки функции на каждом промежутке.
- Изображаем график на координатной плоскости.
- Делаем вывод относительно количества точек пересечения.
- Записываем ответ.
Решение:
1. Преобразуем формулу функции в зависимости от знака переменной
2. Определяем вид функции и находим дополнительные точки для каждого участка графика.
График при 
- часть парабола, ветви которой направлены вниз. Потому как коэффициент а=-1 – отрицательный.
Определим вершину параболы 
и 
.
Вершина находится в точке (-3; 9).
Парабола проходит еще через точки (0;0) и (0;6).
Если 
, ветви параболы направлены вверх. Найдем вершину:
, 
(2; -4).
График проходит также через точки (0;0) и (0;4).
3. Строим искомый график:
Из построения видно, что прямая y=m имеет только 2 общие точки с графиком функции в случаях, когда m=-4 или m=9. На рисунке прямые изображены красным цветом.
Ответ: -4; 9.
Четвертый вариант задания
Постройте график функции
Определите, при каких значениях k прямая у = kx не имеет с графиком общих точек.
Алгоритм решения:
- Раскрываем модуль и преобразовываем формул функции.
- Определяем вид функции на каждом промежутке и находим дополнительные точки графика.
- Строим график.
- Определяем искомые значения k.
- Записываем ответ.
Решение:
1. Если x < 0, то
Дробь, получившаяся в результате, определена 
. График представляет собой часть гиперболы.
Точки для построения графика:
| x | -5 | -4 | -3 | -2 |
| y | -1/5 | -1/4 | -1/3 | -1/2 |
2. Если x > 0, то
Функция определена при 
График представляет собой часть гиперболы.
Точки для построения графика:
| x | 2 | 3 | 4 | 5 |
| y | -1/2 | -1/3 | -1/4 | -1/5 |
3. Построим график заданной функции:
4. Прямая y=kx не имеет общих точек с графиком, при k=-1; 0 и 1, потому как тогда прямая проходит через точки, не входящие в область определения заданной функции.
На графике прямые для k=-1; 1изображены красным.
При k = 0 прямая совпадает с осью абсцисс и тоже не имеет общих точек с графиком функции.
Ответ: -1; 0; 1.
Пятый вариант задания
Постройте график функции
Определите, при каких значениях k прямая y = kx не имеет с графиком общих точек.
Алгоритм решения:
- Раскрываем модуль и преобразовываем формул функции.
- Определяем вид функции на каждом промежутке и находим дополнительные точки графика.
- Строим график.
- Определяем искомые значения k.
- Записываем ответ.
Решение:
1. Раскрываем модуль и для каждого случая.
Если x < 0, то
определена при 
и представляет собой часть гиперболы. Дополнительные точки для построения:
| x | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 |
| y | -1/5 | -1/4 | -1/3 | -1/2 | -1 |
2. Если x > 0, то
определена при 
и представляет собой часть гиперболы.
Точки для построения графика:
| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| y | -1 | -1/2 | -1/3 | -1/4 | -1/5 |
3. Изображаем график:
Прямая y=kx не имеет общих точек с графиком данной функции, когда k=-16; 0 и 16. Тогда прямые проходят черед точки с абсциссами ¼ и - ¼ . На рисунке эти прямые изображены красным.
При k = 0 прямая совпадает с осью абсцисс. Она тоже не имеет общих точек с графиком.
Ответ: -16; 0; 16.
Демонстрационный вариант ОГЭ 2019
Постройте график функции
и определите, при каких значениях с прямая y = c имеет с графиком ровно одну общую точку.
Разложим числитель дроби на множители:
При x ≠2 и x ≠ 3 функция принимает вид:
её график — парабола, из которой выколоты точки ( -2; -4) и ( 3; 6).
Прямая y = c имеет с графиком ровно одну общую точку либо тогда, когда проходит через вершину параболы, либо тогда, когда пересекает параболу в двух точках, одна из которых — выколотая.
Вершина параболы имеет координаты ( -0,5; -6,25 ).
Поэтому c = - 6,25, c = - 4 или c = 6.
Ответ: c = - 6,25, c = - 4 или c = 6.
