Задание №29 ЕГЭ по физике

На вертикальной оси укреплена гладкая горизонтальная штанга, по которой могут перемещаться два груза массами m₁ = 200 г и m₂ = 300 г, связанные нерастяжимой невесомой нитью длиной l = 20 см. Нить закрепили на оси так, что грузы располагаются по разные стороны от оси и натяжение нити с обеих сторон от оси при вращении штанги одинаково (см. рисунок). Определите модуль силы натяжения Т нити, соединяющей грузы, при вращении штанги с частотой 600 об/мин.

Алгоритм решения

Решение

Запишем исходные данные, сразу переведя их в СИ:

Сделаем чертеж, обозначив все силы. Учтем, что сила натяжения нити равна с обеих сторон. Выберем систему координат, в которой ось ОУ параллельна оси вращения.

Запишем второй закон Ньютона для первого и второго груза соответственно:

Запишем проекции на ось ОХ для каждого из тел:

T = m₁a_ц.с.1

T = m₂a_ц.с.2

Центростремительное ускорение также определяется формулой:

a_ц.с. = ω²R

Угловая скорость определяется формулой:

ω = 2πν

Следовательно, центростремительное ускорение равно:

a_ц.с. = 4π²ν²R

Применим эту формулу для обоих грузов:

a_ц.с.1 = 4π²ν²R₁

a_ц.с.2 = 4π²ν²R₂

Сумма радиусов окружностей, по которым вращаются грузы, есть длина нити:

R₁ + R₂ = l

Выразим радиус окружности, по которой вращается второй груз:

R₂ = l – R₁

Так как грузы связаны между собой, и ни один из них не перевешивает другой:

m₁gR₁ = m₂gR₂

Ускорение свободного падения взаимоуничтожается. Получаем:

Подставим радиус второй окружности и выразим радиус первой окружности:

Следовательно, центростремительное ускорение первого груза равно:

Теперь возьмем проекцию на ось ОХ для первого тела и вставим в формулу найденное центростремительное ускорение для первого тела:

Подставим известные данные и вычислим силу натяжения нити:

Небольшая шайба массой m=10 г, начав движение из нижней точки закреплённого вертикального гладкого кольца радиусом R=0,14 м, скользит по его внутренней поверхности. На высоте h=0,18  м она отрывается от кольца и свободно падает. Какую кинетическую энергию имела шайба в начале движения? Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на шайбу в точке А.

Алгоритм решения

Решение

Запишем исходные данные:

Сделаем чертеж. Выберем систему координат такую, чтобы направление линейной скорости шайбы в точке совпадала с направлением оси ОУ.

Запишем второй закон Ньютона в векторной форме:

Под ускорением в этой записи понимается полное ускорение, составляющими которого является центростремительное и тангенциальное ускорение, направленное касательно к окружности (на рисунке мы его не обозначили, так как оно нам не понадобится).

Запишем проекцию на ось ОХ. Учтем, что в точке А шайба отрывается от кольца и падает. Следовательно, нормальная реакции опоры равна нулю:

mg cosα = ma_ц.с.

Кинетическая энергия тела определяется формулой:

Выразим центростремительное ускорение из проекции на ось ОХ:

Но центростремительное ускорение также определяется формулой:

Приравняем правые части уравнений и получим:

Квадрат скорости будет равен:

Следовательно, кинетическая энергия равна:

Чтобы избавиться от неизвестных величин, обратимся к геометрии:

Из рисунка видно, что высота h есть сумма радиуса окружности и произведения радиуса на косинус угла α:

h = R + Rcosα

Отсюда следует, что:

Rcosα = h – R

Подставим это выражение в формулу кинетической энергии и выполним вычисления:

Отсюда следует, что кинетическая энергия шарика в начале движения равна 2 мДж.

.

Алгоритм решения

Решение

Запишем исходные данные:

Переведем все единицы измерения в СИ:

1 эВ = 1,6∙10^–19 Дж

200 МэВ = 200∙10⁶∙1,6∙10^–19 Дж = 320∙10^–13 Дж

1 неделя = 7∙24∙60∙60 с = 604,8∙10³ с

38 МВт = 38∙10⁶ Вт

КПД атомной электростанции есть отношение полезной работы к выделенной за это же время энергии:

$\eta =\frac{A_{полезн}}{Q}100\%$

Полезную работу мы можем вычислить по формуле:

$A=Nt$

Выделенное количество теплоты мы можем рассчитать, вычислив количество атомов, содержащихся в 1,4 кг урана-235 и умножив их на энергию, выделяемую при делении одного такого атома.

Количество атомов равно произведению количество молей на постоянную Авогадро:

N_{кол.атомов} = νN_A

Количество молей равно отношения массы вещества к его молярной массе, следовательно:

Молярная масса численно равна массовому числу в граммах на моль. Следовательно:

M = A (г/моль) = A∙10^–3 (кг/моль)

Отсюда количество атомов равно:

Энергия, выделенная всеми атомами, равна:

Теперь можем вычислить КПД:

Алгоритм решения

Решение

Запишем исходные данные:

Построим чертеж и укажем на нем все необходимое:

Нулевой уровень — точка D.

Закон сохранения энергии:

E_k0 + E_p0 = E_k + E_p

Потенциальная энергия шарика в точке А равна:

E_pA = mgH

Кинетическая энергия шарика в точке А равна нулю, так как скорость в начале свободного падения нулевая.

В момент перед упругим ударом с плитой в точке В потенциальная энергия шарика минимальна. Она равна:

$E_{pB}=mg{l}_1$

Перед ударом кинетическая энергия шарика равна:

$E_{kB}=\frac{m{v}^2}{2}$

Согласно закону сохранения энергии:

$E_{pA}=E_{pB}+E_{kB}$

$mgH=mg{l}_1+\frac{m{v}^2}{2}$

Отсюда высота H равна:

$H=\frac{mg{l}_1}{mg}+\frac{m{v}^2}{2mg}=l_1+\frac{v^2}{2g}$

Относительно точки В шарик поднимется на высоту h – l₁. Но данный участок движения можно рассматривать как движение тела, брошенного под углом к горизонту. В таком случае высота полета определяется формулой:

$h-l_1=\frac{v^2{\sin }^2.\beta }{2g}=\frac{v^2{\sin }^2.{(90-2\alpha )}^o}{2g}$

Отсюда:

$l_1=h-\frac{v^2{\sin }^2.{(90-2\alpha )}^o}{2g}$

Шарик падал в течение времени t, поэтому мы можем рассчитать высоту шарика над плитой и его скорость в точке В:

$v=gt$

Следовательно:

$H=l_1+\frac{v^2}{2g}=h-\frac{{\left(gt\right)}^2{\sin }^2.{(90-2\alpha )}^o}{2g}+\frac{{\left(gt\right)}^2}{2g}$

$H=h-\frac{g{t}^2{\sin }^2.\left(90-2\alpha \right)}{2}+\frac{g{t}^2}{2}=h-\frac{g{t}^2}{2}({\sin }^2.{\left(90-2\alpha \right)}^o-1)$

$H=1,4-\frac{10·{0,4}^2}{2}({\sin }^2.{\left(90-60\right)}^o-1)$

$H=1,4-5·0,16({\sin }^2.{30}^o-1)$

$H=1,4-0,8\left({\left(\frac{1}{2}\right)}^2-1\right)=1,4-0,8(\frac{1}{4}-1)$

$H=1,4+0,6=2\left(м\right)$

.

.

.

.

Небольшие шарики, массы которых m = 30 г и M = 60 г, соединены лёгким стержнем и помещены в гладкую сферическую выемку.

В начальный момент шарики удерживаются в положении, изображённом на рисунке. Когда их отпустили без толчка, шарики стали скользить по поверхности выемки. Максимальная высота подъёма шарика массой М относительно нижней точки выемки оказалась равной 12 см. Каков радиус выемки R?

Алгоритм решения

Решение

Запишем исходные величины:

Переведем единицы измерения величин в СИ:

30 г = 0,03 кг

60 г = 0,06 кг

12 см = 0,12 м

Выполним чертеж:

Нулевой уровень — нижняя точка выемки.

Запишем закон сохранения энергии:

E_k0 + E_p0 = E_k + E_p = const

В начальном положении кинетическая энергия обоих шариков равна 0. Потенциальная энергия шарика М тоже равна нулю, так как он находится на нулевом уровне. Потенциальная энергия шарика m равна:

E_p0m = mgR

Кинетическая энергия шариков после установления равновесия тоже будет равна нулю. Но b[ потенциальная энергия будет отличной от нуля:

E_pm = mgh

E_pM = MgH

Поэтому закон сохранения энергии применительно к задаче примет вид:

mgR = mgh + MgH

Преобразуем выражение и получим:

$mgR-mgh=MgH$

$R-h=\frac{MgH}{mg}=\frac{MH}{m}$

При движении гантели по поверхности выемки высоты подъема большого и малого шаров связаны. Рассмотрим прямоугольные треугольники OmA и OMB. Для них справедливы следующие равенства:

MB = mA = R – h

OA = OB = R – H

OM = Om = R

Это дает нам право воспользоваться теоремой Пифагора:

${(R-h)}^2=R^2-{OA}^2=R^2-{(R-H)}^2$

Следовательно:

${(R-h)}^2=R^2-\left(R^2-2RH+H^2\right)=2RH-H^2$

Подставим в это выражение правую часть ранее полученного выражения:

$R-h=\frac{MH}{m}$

${\left(\frac{MH}{m}\right)}^2=2RH-H^2$

Теперь можем выразить и вычислить радиус:

$2RH={\left(\frac{MH}{m}\right)}^2+H^2$

$R=\frac{{\left(\frac{MH}{m}\right)}^2+H^2}{2H}$

$R={\left(\frac{M}{m}\right)}^2\frac{H}{2}+\frac{H}{2}={\left(\frac{0,06}{0,03}\right)}^2\frac{0,12}{2}+\frac{0,12}{2}=0,3\left(м\right)$

.

.

На границе раздела двух несмешивающихся жидкостей, имеющих плотности ρ₁ = 400 кг/м³ и ρ₂ = 2ρ₁, плавает шарик (см. рисунок). Какой должна быть плотность шарика ρ, чтобы выше границы раздела жидкостей была одна четверть его объёма?

Алгоритм решения

Решение

Запишем исходные данные:

Построим рисунок и укажем все силы, действующие на шарик:

Запишем второй закон Ньютона в векторном виде:

$m\overrightarrow{g}+{\overrightarrow{F}}_{A1}+{\overrightarrow{F}}_{A2}=0$

Запишем второй закон Ньютона в виде проекции на ось ординат:

$mg=F_{A1}+F_{A2}$

Выразим массу тела через его объем и плотность, выразим выталкивающие силы через закон Архимеда и получим:

$\rho Vg={\rho }_{1}g{V}_1+{\rho }_{2}g{V}_2$

Преобразуем выражение, сократив ускорение свободного падения и подставив выражения для объемов погруженных в жидкости частей тела, а также выражение для плотности второй жидкости:

$\rho V=\frac{{\rho }_{1}V}{4}+\frac{2{\rho }_{1}3V}{4}$

Объемы сокращаются. Остается:

$\rho =\frac{{\rho }_1}{4}+\frac{2{\rho }_{1}3}{4}=\frac{7{\rho }_1}{4}=\frac{7·400}{4}=700\left(\frac{кг}{{м}^3}\right)$

.

.

.

.

Алгоритм решения

Решение

Так как шайба вращается, покоясь на поверхности конуса, на нее действуют четыре силы: сила трения, сила тяжести, сила реакции опоры и центростремительная сила. Изобразим их на чертеже. Выберем систему координат, параллельную оси вращения.

Второй закон Ньютона в векторном виде выглядит следующим образом:

Теперь запишем этот закон в проекциях на оси ОХ и ОУ соответственно:

Так как шайба покоится относительно поверхности конуса, сила трения равна силе трения покоя:

Максимальное значение силы трения равно:

Принимая в учет силу трения покоя, проекции на оси ОХ и ОУ примут следующий вид:

Запишем систему уравнение в следующем виде:

Поделим первое уравнение на второе и получим:

Сделаем сокращения и получим:

Отсюда центростремительное ускорение равно:

Но также известно, что центростремительное ускорение равно произведению квадрата угловой скорости на радиус окружности:

Радиус окружности, по которой вращается шайба вместе с конусом, можно вычислить по формуле:

Отсюда центростремительное ускорение равно:

Выразим искомую величину L:

Подставим в это выражение выведенную для центростремительного ускорения формулу и получим:

Поделим числитель на синус угла α, чтобы упростить выражение, и получим:

.

.

.