Задание №30 ЕГЭ по физике

В запаянной с одного конца длинной горизонтальной стеклянной трубке постоянного сечения (см. рисунок) находится столбик воздуха длиной l₁ = 30,7 см, запертый столбиком ртути. Если трубку поставить вертикально отверстием вверх, то длина воздушного столбика под ртутью будет равна l₂ = 23,8 см. Какова длина ртутного столбика? Атмосферное давление 747 мм рт. ст. Температуру воздуха в трубке считать постоянной.

Алгоритм решения

Решение

Запишем исходные данные:

30,7 см = 30,7∙10^–2 м

23,8 см = 23,8∙10^–2 м

1 мм рт. ст. = 133,322 Па

747 мм рт. ст. = 99,6∙10³ Па

Плотность ртути равна: ρ_рт = 13,54∙10³ кг/м³.

Так как процесс изменения состояния газа происходит при постоянной температуре, процесс можно считать изотермическим. Для него действует газовый закон Бойля — Мариотта:

p₁V₁ = p₂V₂

Первоначальное давление на столбик воздуха равно атмосферному давлению:

p₁ = p_атм

Конечное давление на столбик воздуха равно сумме атмосферного давления и давления, оказываемое силой тяжести столбика ртути:

$p_2=p_{атм}+\frac{m_{рт}g}{S}$

S —площадь поперечного сечения трубки.

Масса ртути равна произведению плотности на объем столбика металла. Объем в свою очередь равен произведению длины столбика ртути на площадь поперечного сечения трубки. Поэтому:

$p_2=p_{атм}+\frac{{\rho }_{рт}{V}_{рт}g}{S}=p_{атм}+\frac{{\rho }_{рт}lSg}{S}={p_{атм}+\rho }_{рт}lg$

Первоначальный объем столбика воздуха равен произведению площади поперечного сечения трубки на высоту этого столбика:

V₁ = Sl₁

Конечный объем столбика воздуха равен произведению площади поперечного сечения трубки на высоту этого столбика:

V₂ = Sl₂

Выразив первоначальные и конечный величины, можем записать закон Бойля — Мариотта применительно к данной задаче:

$p_{атм}S{l}_1=\left({p_{атм}+\rho }_{рт}lg\right)S{l}_2$

Преобразуем уравнение, выразим искомую величину и произведем вычисления:

$p_{атм}{l}_1={p_{атм}{l}_2+\rho }_{рт}lg{l}_2$

${\rho }_{рт}lg{l}_2=p_{атм}{l}_1-p_{атм}{l}_2$

$l=\frac{p_{атм}(l_1-l_2)}{{\rho }_{рт}g{l}_2}$

В камере, заполненной азотом, при температуре  К находится открытый цилиндрический сосуд (см. рис. 1). Высота сосуда  см. Сосуд плотно закрывают цилиндрической пробкой и охлаждают до температуры  К. В результате расстояние от дна сосуда до низа пробки становится равным h (см. рис. 2). Затем сосуд нагревают до первоначальной температуры T₀. Расстояние от дна сосуда до низа пробки при этой температуре становится равным  см (см. рис. 3). Чему равно h? Величину силы трения между пробкой и стенками сосуда считать одинаковой при движении пробки вниз и вверх. Массой пробки пренебречь.

Алгоритм решения

Решение

Запишем исходные данные:

50 см = 0,5 м

46 см = 0,46 м

Запишем уравнение Менделеева — Клапейрона:

$pV=\nu RT$

Так как количество азота не меняется, можем принять, что:

$\frac{pV}{T}=const$

Применим уравнение Менделеева — Клапейрона для всех трех состояний азота. Учтем, что

$\frac{p_0{V}_0}{T_0}=\frac{p_1{V}_1}{T_1}=\frac{p_2{V}_2}{T_2}$

Пусть S — площадь поперечного сечения сосуда. Тогда объемы столба азота для каждого из состояний будут равны:

$V_0=SL$

$V_1=Sh$

$V_2=SH$

Известно, что в состоянии 3 температура азота поднимается до первоначальной. Поэтому уравнение Менделеева — Клапейрона примет вид:

$\frac{p_{0}SL}{T_0}=\frac{p_{1}Sh}{T_1}=\frac{p_{2}SH}{T_0}$

$\frac{p_{0}L}{T_0}=\frac{p_{1}h}{T_1}=\frac{p_{2}H}{T_0}$

Неизвестными остались только давления. Их можно определить, записав условие равновесия пробки.

В состоянии 1 сила давления азота на пробку определяется формулой:

$p_{0}S=p_{атм}S$

В состоянии 2 на пробку действует сила давления со стороны азота и атмосферного давления, я а также сила трения, направленная вверх. Следовательно:

$p_{1}S=p_{атм}S-F_{тр}=p_{0}S-F_{тр}$

В состоянии 3 на пробку действуют те же силы, но сила трения теперь действует не вверх, а вниз. Поэтому:

$p_{2}S=p_{атм}S+F_{тр}=p_{0}S+F_{тр}$

Выразим из этих уравнений силу трения:

$F_{тр}=p_{0}S-p_{1}S$

$F_{тр}=p_{2}S-p_{0}S$

.

Приравняем правые части и получим:

$p_{0}S-p_{1}S=p_{2}S-p_{0}S$

Отсюда:

$p_0-p_1=p_2-p_0$

${2p}_0=p_2+p_1$

$p_0=\frac{p_2+p_1}{2}$

Подставим это значение в уравнение Менделеева — Клапейрона и получим:

$\frac{\frac{p_2+p_1}{2}L}{T_0}=\frac{p_{1}h}{T_1}=\frac{p_{2}H}{T_0}$

Отсюда:

$\frac{p_2+p_1}{2}L=p_{2}H$

$p_{2}L+p_{1}L={2p}_{2}H$

$p_{1}L={2p}_{2}H-p_{2}L=p_2(2H-L)$

$p_1=\frac{p_2(2H-L)}{L}$

Отсюда:

$\frac{\frac{p_2(2H-L)}{L}h}{T_1}=\frac{p_{2}H}{T_0}$

Давление слева и справа взаимоуничтожается. Остается:

$\frac{T_0(2H-L)}{L}h=H{T}_1$

Отсюда выразим h:

Алгоритм решения

Решение

Запишем исходные данные:

36 ^оС = 309 К

Относительная влажность воздуха определяется формулой:

$\phi =\frac{p}{p_{н}}100\%$

Давление можно выразить через уравнение состояния идеального газа:

$pV=\frac{m}{M}RT$

Выразим давление:

$p=\frac{m}{VM}RT$

Подставим в формулу для относительной влажности воздуха и выразим массу пара:

$\phi =\frac{\frac{m}{VM}RT}{p_{н}}100\%$

$m=\frac{MV\phi p_{н}}{RT100\%}$

Молярная масса пара равна:

Переходим к вычислению:

Алгоритм решения

Решение

Запишем исходные данные:

Вода при нагревании до температуры кипения получит следующее количество теплоты:

$Q_1=c{m}_{в}(t_{кип}-t_0)$

При полном сгорании дров выделится следующее количество теплоты:

$Q_2=\lambda m_{д}$

Так как в окружающую среду выделится 95% тепла, то вода получит лишь 5%. Следовательно:

$Q_1=0,05Q_2$

Отсюда:

$c{m}_{в}\left(t_{кип}-t_0\right)=0,05\lambda m_{д}$

$m_{в}=\frac{0,05\lambda m_{д}}{c\left(t_{кип}-t_0\right)}$

$m_{в}=\frac{0,05·8,3·{10}^6·1,8}{4200(100-10)}\approx 1,98\left(кг\right)$

Округлим ответ до целых и получим 2 кг воды.

В сосуде лежит кусок льда. Температура льда t₁ = 0 °C. Если сообщить ему количество теплоты Q = 50 кДж, то 3/4 льда растает. Какое количество теплоты q надо после этого сообщить содержимому сосуда дополнительно, чтобы весь лёд растаял и образовавшаяся вода нагрелась до температуры t₂ = 20 °C? Тепловыми потерями на нагрев сосуда пренебречь.

Алгоритм решения

Решение

Запишем исходные данные:

50 кДж = 50000 Дж

333,5 кДж = 333500 Дж

Составим уравнение теплового баланса:

$Q_{общ}=Q+q$

где q — количество теплоты, необходимое для того, чтобы окончательно растопить лед и нагреть воду:

$q=Q_2+Q_3$

Мы знаем, что изначально было растоплено 3/4 льда. Поэтому:

$Q=\frac{3\lambda m}{4}$

Отсюда масса льда равна:

$m=\frac{4Q}{3\lambda }$

На растопку оставшегося льда уйдет следующее количество теплоты:

$Q_2=\frac{\lambda m}{4}$

На нагревание воды уйдет следующее количество теплоты:

$Q_3=cm{t}_2$

Внимание! Вместо разности температур используется значение только конечной температуры, так как начальная температура равна 0.

Отсюда:

Один моль аргона, находящийся в цилиндре при температуре T₁=600 K и давлении p₁=4⋅10⁵  Па, расширяется и одновременно охлаждается так, что его температура при расширении обратно пропорциональна объёму. Конечное давление газа p₂=10⁵  Па. Какое количество теплоты газ отдал при расширении, если при этом он совершил работу A=2493  Дж?

Алгоритм решения

Решение

Запишем исходные данные:

Аргон является одноатомным газом. Поэтому для него можно использовать уравнение состояния идеального газа:

$pV=\nu RT$

Внутренняя энергия одноатомного идеального газа пропорциональна температуре:

$U=\frac{3}{2}\nu RT$

Внутренняя энергия аргона до расширения и после него:

$U_1=\frac{3}{2}\nu R{T}_1$

$U_2=\frac{3}{2}\nu R{T}_2$

Согласно условию задачи, температура при расширении обратно пропорциональна объёму. Следовательно:

$T=\frac{const}{V}$

$T_1{V}_1=T_2{V}_2$

Выразим конечную температуру:

$T_2=\frac{T_1{V}_1}{V_2}$

Составим уравнение состояния газа для состояний аргона 1 и 2:

$p_1{V}_1=\nu R{T}_1$

$p_2{V}_2=\nu R{T}_2$

Отсюда:

$\nu R=\frac{p_1{V}_1}{T_1}=\frac{p_2{V}_2}{T_2}$

Отсюда отношение объема аргона в состоянии 1 к объему газа в состоянии 2 равно:

$\frac{V_1}{V_2}=\frac{p_2{T}_1}{p_1{T}_2}$

Подставим это отношение в формулу для конечной температуры:

$T_2=\frac{T_1{V}_1}{V_2}=\frac{p_2{T_1}^2}{p_1{T}_2}$

Отсюда:

$T_2=T_1\sqrt{\frac{p_2}{p_1}}$

Отсюда внутренняя энергия газа в состоянии 2 равна:

$U_2=\frac{3}{2}\nu R{T}_1\sqrt{\frac{p_2}{p_1}}$

Уменьшение внутренней энергии аргона составило (изначально она была выше):

$\Delta U=U_1-U_2=\frac{3}{2}\nu R{T}_1-\frac{3}{2}\nu R{T}_1\sqrt{\frac{p_2}{p_1}}=\frac{3}{2}\nu R{T}_1\left(1-\sqrt{\frac{p_2}{p_1}}\right)$

В соответствии с первым началом термодинамики уменьшение внутренней энергии равно сумме совершённой работы и количества теплоты, отданного газом:

$\Delta U=Q+A$

Следовательно, газ отдал следующее количество теплоты:

$Q=\Delta U-A=\frac{3}{2}\nu R{T}_1\left(1-\sqrt{\frac{p_2}{p_1}}\right)-A$

В электрической цепи, показанной на рисунке, ЭДС и внутреннее сопротивление источника тока соответственно равны 12 В и 1 Ом, ёмкость конденсатора 2 мФ, индуктивность катушки 36 мГн и сопротивление лампы 5 Ом. В начальный момент времени ключ К замкнут. Какая энергия выделится в лампе после размыкания ключа? Сопротивлением катушки и проводов пренебречь. Ответ записать в мДж.

Алгоритм решения

Решение

Запишем исходные данные:

2 мФ = 2∙10^–3 Ф

36 мГн = 36∙10^–3 Гн

Пока ключ замкнут, через катушку L течёт ток определяемый внутренним сопротивлением источника и сопротивлением лампочки. Его можно вычислить, используя закон Ома для полной цепи:

$I=\frac{\epsilon }{R+r}$

При этом конденсатор будет заряжен до напряжения U, которое определяется законом Ома для участка цепи:

$U=IR$

Подставив в это выражение закон Ома для полной цепи, получим:

$U=\frac{\epsilon R}{R+r}$

Энергия электрического поля в конденсаторе определяется формулой:

$W_{кон}=\frac{C{U}^2}{2}=\frac{C}{2}{\left(\frac{\epsilon R}{R+r}\right)}^2$

Энергия электромагнитного поля в катушке определяется формулой:

$W_{кат}=\frac{L{I}^2}{2}=\frac{L}{2}{\left(\frac{\epsilon }{R+r}\right)}^2$

После размыкания ключа начинаются затухающие электромагнитные колебания, и вся энергия, запасённая в конденсаторе и катушке, выделится на лампе:

$E=W_{кон}+W_{кат}=\frac{C}{2}{\left(\frac{\epsilon R}{R+r}\right)}^2+\frac{L}{2}{\left(\frac{\epsilon }{R+r}\right)}^2$