Задание №13 ОГЭ по математике

1. [0; +$\infty )$
2. $[8;\; +$$\infty )$
3. [0; 8]
4. (-$\infty ;0]\cup [8;+\infty )$

8х – х²$\ge$0

Вынесем -х за скобки: -х(-8 + х)$\ge$0

Теперь разделим на -1, не забывая изменить знак неравенства на противоположный: х(х – 8)$\le$0

Найдем нули функции, приравняв каждый множитель к нулю: х=0 и х – 8=0, найдем х из второго уравнения: х=8.

Итак, имеем нули функции 0 и 8.

Теперь расставляем их на числовом луче и решаем неравенство методом интервалов.

Теперь находим промежуток чисел, соответствующий неравенству х(х – 8)$\le$0, т.е. промежуток отрицательных или равных нулю чисел. Это будет промежуток [0; 8]

В соответствии с его номером, это будет ответ под №3.

Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.

Тут нужно сразу отметить два важных момента.

1. Графическим решением неравенств из вариантов ответа является парабола, которая пересекает координатную ось в точках, соответствующих корням неравенств.
2. Так как все неравенства, представленные в вариантах ответов, имеют нестрогий знак, то точки пересечения корней неравенства с координатной осью будут закрашенными, т.е. входящими в искомые промежутки (решения).

Анализируем неравенства.

1) х²–36≤0

х²≤36

Корни этого неравенства равны ±6. Поскольку знак неравенства «меньше», то для ответа следует взять ту часть параболы, которая располагается ниже коорд.оси. Получаем:

Полученный промежуток-решение не соответствует заданному в качестве ответа в условии.

2) х²+36≥0

    х²≥–36

Это неравенство не имеет решений, поскольку для получения решения здесь требуется извлечь корень из отрицательные числа (из –36), а это невозможно.

3) х²–36≥0

    х²≥36

Корни неравенства – ±6. Т.к. знак неравенства «больше», то для ответа следует взять ту часть параболы, которая располагается выше координатной оси. Получаем:

Здесь мы получили полное совпадение полученного решения с тем, которое представлено в условии задания.

4) х²+36≤0

    х²≤–36

Тут ситуация такая же, как и во 2-м неравенства. Решений оно не имеет.

Укажите решение неравенства:

Выполняем тождественные преобразования неравенства и приводим его к простейшему виду. Для этого сначала группируем слагаемые, перенося те, что с «х», в левую сторону, а свободные члены в правую:

4х–6х≥–2–5

Приводим подобные:

–2х≥–7

Находим х. Знак неравенства при этом поменяется на противоположный, поскольку делить будем на –2, т.е. на отрицательное число:

х≤3,5

Далее на коорд.прямой теперь нужно отложить точку со значением 3,5, причем точка будет закрашенная, т.к. знак неравенства нестрогий:

Т.к. знак полученного неравенства «≤», то выделить следует часть прямой слева от точки 3,5:

Это графическое решение соответствует ответу под №2.

Решите систему неравенств:

Итак, решим систему неравенств — оставим х в левой части, а остальное перенесём в правую, получим:

х ≤ 0 -2,6

х ≥ 1 — 5

Вычислив, получаем ответ:

х ≤  -2,6

х ≥ -4

Найдем его на координатной прямой — это №2.

Укажите множество системы неравенств:

⌈ x - 4 ≥ 0

⌊ x - 0,3 ≥ 1

Решение системы линейных неравенств сводится к решению линейного неравенства с дальнейшим анализом промежутков. В начале действуем аналогично первому случаю: переносим числа в правую часть, оставляя x слева:

⌈ x ≥ 4

⌊ x ≥ 1,3

В отличие от первого примера, решение более простое, но в данном случае нужно сравнить промежутки и выбрать общий. Первое неравенство требует, чтобы  x был больше 4, а второе — более 1,3, на координатной прямой это будет выглядеть следующим образом:

Промежутки перекрывают друг друга начина с 4, значит ответ выглядит следующим образом (не забываем, что неравенство нестрогое):

[ 4 ; + ∞ )  или

Укажите множество решений неравенства: 7 x - x² < 0

Существуют несколько способов решения квадратных неравенств, но я приведу самый простой и надежный. В начале выносим x за скобку, так как это неполное квадратное неравенство:

x ( 7 — x ) < 0

Затем находим ноли функции x ( 7 — x ) = 0, приравнивая каждый множитель к нолю:

x = 0

7 — x = 0

Получаем:

x = 0

x = 7

Таким образом, мы получили три интервала:

( -∞ ; 0 )

( 0 ; 7 )

( 7 ; +∞)

Подставим любое значение x из первого интервала и посмотрим на получившийся ответ.

Подставим -1:

x ( 7 — x ) =  — 1 ( 7 — (-1) ) = -8

Значение отрицательно, значит в интервале ( -∞ ; 0 ) функция отрицательна, что нам и подходит для ответа, так как в условии:

x ( 7 — x ) < 0

Подставим 1:

x ( 7 — x ) = 1 ( 7 — 1 ) = 6

Значение положительно, и промежуток ( 0 ; 7 ) нам не подходит.

Подставим 8:

x ( 7 — x ) = 8 ( 7 — 8 ) = — 8

Значение отрицательно, и это подходит под условия, следовательно ответ:

( -∞ ; 0 ) и ( 7 ; +∞)

или графически:

Для решения линейного неравенства достаточно выполнить действия, аналогичные действию решений линейных уравнений. Однако, в отличие от линейных уравнений следует проявлять внимательность при выполнении операций деления или умножения на отрицательное число — в этих случаях знак неравенства будет меняться на противоположный!

Для решения этого примера вначале раскроем скобки, не забывая, что -3 умножается на -7 и дает  + 21:

2 x — 3 x + 21 ≤ 3

Затем приводим подобные, перенося числа в правую сторону:

2 x — 3 x ≤ 3 — 21

— x ≤ -18

Нам необходимо умножить неравенство на -1, чтобы получить диапазон x, не забывая, что при этом меняется знак неравенства:

x ≥ 18

Таким образом, мы получаем, что x должен быть больше либо равен 18.