Задание №25 ОГЭ по математике

Выполним чертеж окружности, описанной около треугольника АВС, покажем на нём все дополнительные элементы.

При построении прямой АО образовалась точка пересечения этой прямой с окружностью, обозначим её буквой Е и соединим с точкой В и с точкой С. Получим вписанные углы АВЕ и АСЕ, опирающиеся на диаметр АЕ, следовательно угол АВЕ и АСЕ равны по 90⁰.

Рассмотрим треугольники АВЕ и АВF: у них углы АВЕ и АFВ прямые, угол ЕАВ – общий, следовательно, эти треугольники подобны.

Составим отношение сторон:

$\frac{AE}{AB}=\frac{AB}{AF}$ откуда по свойству пропорции АВ²=АЕ$\bullet$АF

Рассмотрим треугольники АСЕ и ADF, у которых углы АСЕ и AFD прямые, а угол FAD – общий. Значит, треугольники АСЕ и ADF подобны.

Составим отношение сторон:

$\frac{AE}{AD}=\frac{AC}{AF}$ ; откуда выразим AD=$AE\bullet \frac{AF}{АC}=\frac{AE\bullet AF}{AC}$

Теперь рассмотрим наши два полученных равенства: АВ²=АЕ$\bullet$АF и AD=$\frac{AE\bullet AF}{AC}$

Видим, что 36²=АЕ$\bullet$АF (подставили вместо АВ значение 36), также у нас известно, что АС=54. Найдем из второго равенства AD=$\frac{AE\bullet AF}{AC}=\frac{{36}^2}{54}=24$

Теперь найдем CD=AC-AD=54-24=30

Пусть O — центр данной окружности, а Q — центр окружности, вписанной в треугольник ABC .

Точка касания M окружностей делит AC пополам по условию.

Лучи AQ и AO — биссектрисы смежных углов, так как касательные к окружностям равноудалены от центра. Так как  AQ и AO — биссектрисы смежных углов, то угол OAQ прямой — смежные углы в сумме дают 180°, значит сумма их биссектрис:

180°/2 = 90°.

Далее рассмотрим прямоугольный треугольник OAQ. По свойству высоты в прямоугольном треугольнике, получаем:

AM² = MQ•MO

Отсюда:

QM = AM² / MO

QM = 6² / 8 = 4,5

Алгоритм решения:

1. Сделаем чертеж.
2. Установим подобие треугольников AFM и ANF.
3. Определим сторону FM.
4. Определим ∠FNA.
5. Найдем .
6. Составим теорему синусов и найдем радиус окружности.
7. Запишем ответ.

Решение:

1. Рассмотрим треугольники AFM и ANF. У них:

Угол A является общим, а

по доказанному выше.

Следовательно, треугольник AFM подобен треугольнику ANF по двум углам. Отсюда вытекает:

3. В треугольнике AFM сторона AF=3, сторона AM=9. Воспользуемся теоремой косинусов для определения FM:

Полученное значение означает, что AFM является равнобедренным. У него основание AF.

4. По свойству равнобедренного треугольника ∠FAM=∠AFM. Отсюда

5. Найдем

Значит,

6. Из FMN по теореме синусов:

где R – радиус описанной окружности.

Отсюда получим значение радиуса окружности:

Алгоритм решения:

1. Сделаем чертеж.
2. Определим равенство углов CDB и АВС.
3. Определим соотношение отрезков, воспользовавшись свойством биссектрисы угла треугольника, и определим длину АВ.
4. Покажем, что треугольники DAC и DCB подобны.
5. Составим соотношения сторон подобных треугольников.
6. Составим систему равенств.
7. Решим систему.
8. Запишем ответ.

Решение:

1. Делаем чертеж.

2. Рассмотрим АСD. В нем, согласно свойству углов окружности, касательной и секущей,
угол, который образован этими линиями, равен половине градусной меры дуги, заключенной между сторонами этого угла.
⇒∠DСА равен половине градусной меры дуги АС, заключенной между его сторонами СD и СА.
Но вписанный ∠СВА опирается на ту же дугу АС и по свойству вписанного угла равен половине меры этой дуги. Следовательно, ∠ СВА=∠ АСD.
3. Согласно свойству биссектрисы угла треугольника, согласно которому она делит АВ на отрезки АМ и МВ, пропорциональные сторонам АС и ВС. Таким образом,

4. Рассмотрим DAC и DCB. У них:

∠ DCA = ∠ DBC по доказанному выше,

∠ D – общий.

Значит, DAC DCB по двум углам.

5. Из определения и свойств подобных треугольников имеем:

6. Составим систему равенств:

7. Решим систему:

Отсюда

Так как AD = DB-21, имеем:

Таким образом, искомая длина CD=36.

Алгоритм решения:

1. Делаем чертеж.
2. Определяем равенство угла между касательной и хордой и угла АВС.
3. Определяем соотношение отрезков из свойства биссектрисы угла треугольника и найдем АВ.
4. Показываем, что треугольники DAC и DCB подобны.
5. Составляем соотношения сторон подобных треугольников.
6. Составляем систему равенств.
7. Решаем систему.
8. Записываем ответ.

Решение:

1. Выполняем чертеж данной задачи:

2. Рассматриваем АСD. В нем:

Согласно свойству углов окружности, касательной и секущей, угол, который образован этими линиями, равен половине градусной меры дуги, заключенной между сторонами этого угла. ∠DСА равен половине градусной меры дуги АС, заключенной между его сторонами СD и СА.
Но вписанный ∠СВА опирается на ту же дугу АС и по свойству вписанного угла равен половине меры этой дуги. Следовательно, ∠ СВА=∠ АСD.
3. Согласно свойству биссектрисы угла треугольника, она делит АВ на отрезки АМ и МВ, пропорциональные сторонам АС и ВС. Таким образом,

4. Рассмотрим DAC и DCB. У них:

∠ DCA = ∠ DBC по доказанному выше,

∠ D – общий.

Следовательно, DAC DCB по двум углам.

5. Из определения и свойств подобных треугольников имеем:

6. Составим систему равенств:

7. Решим систему: