Задание №21 ОГЭ по математике

Составим для удобства решения таблицу, в которую внесем данные из условия задачи, обозначив переменной х неизвестную величину – скорость 1 автомобиля:

Пояснения к заполнению таблицы:

Так как мы обозначили за х скорость 1 авто, значит скорость 2 авто будет на 36 км/ч меньше.

Расстояние у каждого авто будет 800 км.

Для нахождения времени надо расстояние разделить на скорость, поэтому мы получили дроби с переменной в знаменателе.

Зная, что первый прибывает к финишу на 5 ч раньше второго, составим и решим уравнение:

$\frac{800}{х}-\frac{800}{х}=5$

Приведем к общему знаменателю х(х-36) наше уравнение и решим его:

800х – 800(х-36)=5х(х-36)

800х – 800х+28800=5х² – 180

28800=5х² – 180

5х² – 180 – 28800 =0; разделим на 5 каждый коэффициент:

х² – 36 – 5760=0

Решим полученное квадратное уравнение

D=b² – 4ac=36² — 4$\bullet (-5760)$=24336

х_1,2=$\frac{-}{b}=\frac{36}{\pm }$

Отсюда х₁=96, а х₂ не удовлетворяет условию задачи, так как оно отрицательное, а скорость не может быть выражена отрицательным числом.

Значит, скорость первого автомобиля 36 км/ч

Алгоритм решения:

1. Вводим переменные-обозначения для скорости наполнения резервуара (л/мин) и для времени наполнения (мин). Выражаем через соответствующие переменные параметры наполнения для 1-й и 2-й труб.
2. Составляем систему уравнений (1-е уравнение для первой трубы, 2-е – для второй).
3. Решаем систему.

Решение:

Обозначим через х скорость наполнения 1-й трубы (это наша искомая величина). Тогда скорость наполнения 2-й трубы равна (х+5).Обозначим через t время наполнения 2-й трубы. Тогда время наполнения 1-й трубы составит (t+2).

Через каждую из труб должно пройти 200 л воды.

Для 1-й трубы получим:

x(t+2)=200

Аналогично для 2-й трубы:

(x+5)t=200

Из уравнения для 2-й трубы выразим t через х:

t=200/(x+5)

Подставим полученное для t выражение в уравнение для 1-й трубы:

Решим это уравнение и найдем искомую величину:

x(210+2x)=200(x+5)

210х+2х²=200х+1000

2х²+210х–200х–1000=0

2х²+10х–1000=0

х²+5х–500=0

По теореме Виета х₁=20, х₂=–25

Корень х₂ не может быть принят в качестве ответа, поскольку он не удовлетворяет условию (скорость наполнения резервуара не может быть отрицательной величиной).

Значит, искомая скорость наполнения равна 20 л/мин.

Алгоритм решения:

1. Находим число процентов (или долю) твердого вещества в свежих фруктах. Находим эту величину в кг.
2. Вычисляем кол-во процентов твердого вещества в сушеных фруктах.
3. Составляем пропорцию и определяем общую массу сушеных фруктов.

Решение:

Если воды в свежих фруктах 88%, то твердого вещества (мякоти) в них 100%–88%=12%=0,12.

В кг эта масса равна 35·0,12=4,2 (кг).

В сушеных фруктах масса твердого вещества, по сравнению со свежими, не меняется (а только снижается объем воды). Поэтому в искомой массе сухих фруктов мякоти тоже будет 4,2 кг. Но в процентном соотношении эта масса составит 100%–30%=70% (30% по условию приходится на воду). Искомая же (общая) масса сухих фруктов в данном случае – это 100%.

Тогда обозначим искомую массу через Х и составим пропорцию:

4,2 кг  –  70%

Х       –  100%

Решим эту пропорцию:

Х=4,2·100%/70%=6 (кг)

Пусть искомое расстояние равно x км. Скорость лодки при движении против течения равна 4 км/ч, при движении по течению равна 8 км/ч. Время, за которое лодка доплывёт от места отправления до места назначения и обратно, равно

часа.

Из условия задачи следует, что это время равно 3 часам. Составим уравнение:

Решая уравнение, получаем x = 8.

Алгоритм решения:

1. Введем неизвестные величины: скорость третьего и время его движения.
2. Составим краткую запись в виде таблицы, где разместим данные в графы: скорость, время, расстояние.
3. Используя условие, формулы времени или скорости, выражаем через неизвестные величины все остальные.
4. Исходя из условия, составляем равенства.
5. Составляем и решаем систему уравнений.
6. Определяем величины, которые еще нужно найти.
7. Записываем ответ.

Решение:

1. Пусть x км/ч – скорость третьего велосипедиста, а t ч – время, за которое он догнал второго велосипедиста.

2. Составим таблицу данных условия:

3. До места встречи со вторым велосипедистом третий проехал x·t км.

Второй велосипедист до момента, когда его догонит третий велосипедист, двигался t + 1 часов . Он проехал до места встречи 21·(t + 1) км.

Расстояния, пройденные велосипедистами, одинаковы. Получим первое равенство x·t = 21·(t + 1).

Третий велосипедист до момента встречи с первым велосипедистом после встречи о вторым, ехал t + 9 ч тогда до места встречи с первым велосипедистом он проехал расстояние x·(t + 9) км.

Первый велосипедист до встречи с третьим ехал t + 11 часов, поскольку до момента выезда третьего, уже проехал 2 часа. До места встречи он проехал 24·(t + 11) км.

Расстояния одинаковы. Тогда получим еще одно равенство: x·(t + 9) = 24·(t + 11)

Составим систему уравнений для решения задачи:

Решим ее, раскрыв скобки и преобразовав каждое уравнение:

Далее используем метод вычитания, откуда получим:

9x = 3t + 243

3x = t + 81

Подставив выражение для x в первое уравнение:

Получили квадратное уравнение.

t² + 81t = 63t + 63

Решим его:

t² + 18t – 63 = 0

D = b² – 4ac

D = 18² — 4·1·(-63) = 324 + 252 = 576

Первое значение не подходит, поскольку время по условию не может иметь отрицательные значения. Значит,

Таким образом, скорость третьего велосипедиста 28 км/ч.

Алгоритм решения:

1. Введем неизвестные величины: скорость третьего и время его движения.
2. Составим краткую запись в виде таблицы, где разместим данные в графы: скорость, время, расстояние.
3. Используя условие, формулы времени или скорости, выражаем через неизвестные величины все остальные.
4. Исходя из условия, составляем равенства.
5. Составляем и решаем систему уравнений.
6. Определяем величины, которые еще нужно найти.
7. Записываем ответ.

Решение:

1. Пусть x км/ч – скорость третьего велосипедиста, а t ч – время, за которое он догнал второго велосипедиста.

2. Составим таблицу данных условия:

3. До места встречи со вторым велосипедистом третий проехал x·t км.

Скорость второго велосипедиста 10 км/ч. В пути он находился t + 1 часов к моменту встречи с третьим велосипедистом. Тогда в момент встречи велосипедисты находились на расстоянии 10·(t + 1) км от поселка. Расстояния эти одинаковы, значит, x·t = 10·(t + 1).

Первого велосипедиста третий догонит через t + 5 ч – время, за которое он догнал первого велосипедиста после второго, тогда до места встречи с первым велосипедистом третий проехал x·(t + 5) км.

Первый велосипедист ехал со скоростью 15 км/ч и был в пути до встречи с третьим t + 7 часов, потому как выехал он на 2 часа раньше. Расстояние, которое проехал первый велосипедист, равно 15·(t + 7) км.

Получаем еще одно равенство: x·(t + 5) = 15·(t + 7)

4. Составляем систему уравнений:

5. Решаем полученную систему, преобразовав каждое из уравнений:

Вычитаем из второго уравнение первое, получаем

5x = 5t + 95

x = t + 19

Подставляем вместо x в первое уравнение системы правую часть равенства и решаем полученное уравнение.

(t + 19)·t = 10t + 10

t² + 19t = 10t + 10

t² + 9t – 10 = 0

По формуле дискриминанта и корней:

D = b² – 4ac

D = 9² — 4·1·(-10) = 81 + 40 = 121

Первый ответ не может удовлетворять условию задачи, поскольку время не может иметь отрицательных значений. Следовательно,

x = t + 19 = 1 + 19 = 20

Скорость третьего велосипедиста 20 км/ч.

Алгоритм решения:

1. Введем неизвестную величину: скорость третьего.
2. Составим краткую запись в виде таблицы, где разместим данные в графы: скорость, время, расстояние.
3. Выясняем, на какой вид движения эта задача.
4. Используя условие, формулы времени или скорости, выражаем через неизвестную величину все остальные.
5. Исходя из условия, составляем равенство и преобразуем его.
6. Решаем уравнение.
7. Определяем величины, которые еще нужно найти.
8. Записываем ответ.

Решение:

1. Обозначим через x км/ч скорость третьего велосипедиста.

2. Составим таблицу их краткого условия:

3. Задача на движение водном направлении, значит, для определения совместной скорости (сближения), необходимо из большей скорости вычитать меньшую. Наибольшая скорость была у третьего велосипедиста, потому что он догонял двух других.

4. Перед тем, как выехал третий велосипедист, первый двигался уже 2 часа. За это время он проехал 42 км, а второй проехал 15 км, поскольку был в пути 1 час. Совместная скорость третьего и второго велосипедистов равна (x-15) км/ч. так как они движутся в одном направлении. Третий велосипедист догнал второго спустя  ч после своего выезда.

Совместная скорость третьего и первого велосипедистов равна (x-21)км/ч. Третий велосипедист догнал первого через  ч после своего выезда из поселка.

По условию третий велосипедист догнал первого спустя 9 ч после того, как догнал второго.

5. Исходя из этого, составим равенство:

,

Преобразуем полученное уравнение:

6. Получили квадратное уравнение. Решим его:

По условию скорость третьего велосипедиста была наибольшей, значит, второй корень не удовлетворяет условию. Получаем. Что решением будет x = 25 км/ч.