Задание №22 ОГЭ по математике

у=х² - |2x +1|

Раскроем модуль:

$\left\{\begin{array}{c}у={х}^2-2х-1,прих\ge -\frac{1}{2}\\ у={х}^2+2х+1,прих<-\frac{1}{2}\end{array}\right)$

Для построения графика найдем вершины каждой параболы:

у=х² – 2х – 1

х₀₌$\frac{-}{b}=\frac{2}{2}=1$

у₀=1² -2-1=-2

Итак, вершина первой параболы (1; -2)

Возьмем дополнительные точки, где х $\ge -\frac{1}{2}$

у=х² + 2х + 1

Аналогично найдем вершину второй параболы: х₀=-1, у₀₌0

Вершина второй параболы (-1;0)

Дополнительные точки при х$<-0.5$

Изобразим параболы в системе координат:

Теперь нам нужно ответить на вопрос задания: «Определите, при каких значениях m прямая у= m имеет с графиком ровно три общие точки?»

Для этого построим такие прямые (одна желтая, вторая зеленая), откуда видно, что первая прямая совпадает с осью х, т.е. у=0; вторая имеет с графиком три общие точки при у=0,25.

Ответ: при m равных 0; 0,25

и определите, при каких значениях с прямая y = c имеет с графиком ровно одну общую точку. В ответ запишите наибольшее число.

Разложим числитель дроби на множители:

При x ≠2 и x ≠ 3 функция принимает вид:

её график — парабола, из которой выколоты точки ( -2; -4) и ( 3; 6).

Прямая y = c имеет с графиком ровно одну общую точку либо тогда, когда проходит через вершину параболы, либо тогда, когда пересекает параболу в двух точках, одна из которых — выколотая. Вершина параболы имеет координаты ( -0,5; -6,25 ). Поэтому c = — 6,25, c = — 4 или c = 6.

Определите, при каких значениях k прямая y = kx не имеет с графиком общих точек. В ответ запишите наибольшее число.

Алгоритм решения:

1. Раскрываем модуль и преобразовываем формул функции.
2. Определяем вид функции на каждом промежутке и находим дополнительные точки графика.
3. Строим график.
4. Определяем искомые значения k.
5. Записываем ответ.

Решение:

1. Раскрываем модуль и для каждого случая.

Если x < 0, то

определена при  и представляет собой часть гиперболы. Дополнительные точки для построения:

2. Если x > 0, то

определена при и представляет собой часть гиперболы.

Точки для построения графика:

3. Изображаем график:

Прямая y=kx не имеет общих точек с графиком данной функции, когда k=-16; 0 и 16. Тогда прямые проходят черед точки с абсциссами ¼ и — ¼ . На рисунке эти прямые изображены красным. При k = 0 прямая совпадает с осью абсцисс. Она тоже не имеет общих точек с графиком.

Определите, при каких значениях k прямая у = kx не имеет с графиком общих точек. В ответ запишите наибольшее число.

Алгоритм решения:

1. Раскрываем модуль и преобразовываем формул функции.
2. Определяем вид функции на каждом промежутке и находим дополнительные точки графика.
3. Строим график.
4. Определяем искомые значения k.
5. Записываем ответ.

Решение:

1. Если x < 0, то

Дробь, получившаяся в результате, определена . График представляет собой часть гиперболы.

Точки для построения графика:

2. Если x > 0, то

Функция определена при График представляет собой часть гиперболы.

Точки для построения графика:

3. Построим график заданной функции:

4. Прямая y=kx не имеет общих точек с графиком, при k=-1; 0 и 1, потому как тогда прямая проходит через точки, не входящие в область определения заданной функции.

На графике прямые для k=-1; 1 изображены красным. При k = 0 прямая совпадает с осью абсцисс и тоже не имеет общих точек с графиком функции.

Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки. В ответ запишите наибольшее число.

Алгоритм решения:

1. Преобразуем формулу, которая задает функцию.
2. Определяем вид и характерные точки функции на каждом промежутке.
3. Изображаем график на координатной плоскости.
4. Делаем вывод относительно количества точек пересечения.
5. Записываем ответ.

Решение:

1. Преобразуем формулу функции в зависимости от знака переменной

2. Определяем вид функции и находим дополнительные точки для каждого участка графика.

График при — часть парабола, ветви которой направлены вниз. Потому как коэффициент а=-1 – отрицательный.

Определим вершину параболы  и .

Вершина находится в точке (-3; 9).

Парабола проходит еще через точки (0;0) и (0;6).

Если , ветви параболы направлены вверх. Найдем вершину:

,  (2; -4).

График проходит также через точки (0;0) и (0;4).

3. Строим искомый график:

Из построения видно, что прямая y=m имеет только 2 общие точки с графиком функции в случаях, когда m=-4 или m=9. На рисунке прямые изображены красным цветом.

Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки. В ответ запишите наибольшее из чисел.

Алгоритм решения:

1. Преобразуем формулу, которая задает функцию.
2. Определяем вид и характерные точки функции на каждом промежутке.
3. Изображаем график на координатной плоскости.
4. Делаем вывод относительно количества точек пересечения.
5. Записываем ответ.

Решение:

1. Преобразуем формулу в зависимости от знака переменной х:

2. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вниз.

Вершина ее находится в точке :

Найдем нули функции: График проходит через начало координат и точку (0;4).

Графиком второй функции является парабола, ветви которой направлены вверх.

Вершина ее находится в точке:

Определим нули параболы

3. Изображаем график на координатной плоскости:

Из изображения видно, что прямая y= m имеет с графиком только две общих точки, когда m=-9 или m=4. На графике прямая изображена красной линией при каждом значении m.

Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки. В ответ запишите наибольшее число.

Алгоритм решения:

1. Преобразуем формулу, которая задает функцию.
2. Определяем вид и характерные точки функции на каждом промежутке.
3. Изображаем график на координатной плоскости.
4. Делаем вывод относительно количества точек пересечения.
5. Записываем ответ.

Решение:

1. Преобразуем функцию в зависимости от знака переменной х.

Если .

Если

2. График функции заданных значениях х — часть параболы, ветви которой направлены вниз.

Вершина расположена в точке с координатами:

Найдем нули функции: График проходит через начало координат и точку (-2;-7).

Графиком второй функции является парабола, ветви которой направлены вверх.

Вершина ее находится в точке:

Определим нули параболы

3. Изображаем график функции на координатной плоскости:

4. Из построения легко видно, что прямая y = m имеет с графиком ровно две точки, когда проходит через вершину одной из парабол, образующих график данной функции.

Значит, две общие точки функция и прямая имеют при m = -2,25 или m = 12,25.