Разбор и решение задания №23 ОГЭ по математике


Анализ графика функции


Разбор типовых вариантов заданий №23 ОГЭ по математике


Первый вариант задания

Постройте график функции

http://self-edu.ru/htm/2018/oge2018_36/files/1_23.files/image001.gif

Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Алгоритм решения задачи:
  1. Преобразуем формулу, которая задает функцию.
  2. Определяем вид и характерные точки функции на каждом промежутке.
  3. Изображаем график на координатной плоскости.
  4. Делаем вывод относительно количества точек пересечения.
  5. Записываем ответ.
Решение:

1. Преобразуем функцию в зависимости от знака переменной х.

Если http://self-edu.ru/htm/2018/oge2018_36/files/1_23.files/image003.gif .

Если http://self-edu.ru/htm/2018/oge2018_36/files/1_23.files/image005.gif

2. График функции http://self-edu.ru/htm/2018/oge2018_36/files/1_23.files/image002.gif заданных значениях х - часть параболы, ветви которой направлены вниз.

Вершина расположена в точке с координатами:

Найдем нули функции: График проходит через начало координат и точку (-2;-7).

Графиком второй функции http://self-edu.ru/htm/2018/oge2018_36/files/1_23.files/image004.gif является парабола, ветви которой направлены вверх.

Вершина ее находится в точке:

Определим нули параболы

3. Изображаем график функции на координатной плоскости:

http://self-edu.ru/htm/2018/oge2018_36/files/1_23.files/image006.jpg

4. Из построения легко видно, что прямая y = m имеет с графиком ровно две точки, когда проходит через вершину одной из парабол, образующих график данной функции.

Значит, две общие точки функция и прямая имеют при m = -2,25 или m = 12,25.

Ответ: -2,25; 12,25.


Второй вариант задания

Постройте график функции

http://self-edu.ru/htm/2018/oge2018_36/files/2_23.files/image001.gif

Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Алгоритм решения задачи:
  1. Преобразуем формулу, которая задает функцию.
  2. Определяем вид и характерные точки функции на каждом промежутке.
  3. Изображаем график на координатной плоскости.
  4. Делаем вывод относительно количества точек пересечения.
  5. Записываем ответ.
Решение:

1. Преобразуем формулу в зависимости от знака переменной х:

2. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вниз.

Вершина ее находится в точке :

Найдем нули функции: График проходит через начало координат и точку (0;4).

Графиком второй функции является парабола, ветви которой направлены вверх.

Вершина ее находится в точке:

Определим нули параболы

3. Изображаем график на координатной плоскости:

Безымянный 1.bmp

Из изображения видно, что прямая y= m имеет с графиком только две общих точки, когда m=-9 или m=4. На графике прямая изображена красной линией при каждом значении m.

Ответ: -9; 4.


Третий вариант задания

Постройте график функции

http://self-edu.ru/htm/2018/oge2018_36/files/3_23.files/image001.gif

Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Алгоритм решения задачи:
  1. Преобразуем формулу, которая задает функцию.
  2. Определяем вид и характерные точки функции на каждом промежутке.
  3. Изображаем график на координатной плоскости.
  4. Делаем вывод относительно количества точек пересечения.
  5. Записываем ответ.
Решение:

1. Преобразуем формулу функции в зависимости от знака переменной

2. Определяем вид функции и находим дополнительные точки для каждого участка графика.

График при http://self-edu.ru/htm/2018/oge2018_36/files/1_23.files/image003.gif - часть парабола, ветви которой направлены вниз. Потому как коэффициент а=-1 – отрицательный.

Определим вершину параболы http://self-edu.ru/htm/2018/oge2018_36/files/3_23.files/image003.gif  и http://self-edu.ru/htm/2018/oge2018_36/files/3_23.files/image004.gif .

Вершина находится в точке (-3; 9).

Парабола проходит еще через точки (0;0) и (0;6).

Если http://self-edu.ru/htm/2018/oge2018_36/files/3_23.files/image005.gif , ветви параболы направлены вверх. Найдем вершину:

http://self-edu.ru/htm/2018/oge2018_36/files/3_23.files/image007.gif , http://self-edu.ru/htm/2018/oge2018_36/files/3_23.files/image008.gif  (2; -4).

График проходит также через точки (0;0) и (0;4).

3. Строим искомый график:

http://self-edu.ru/htm/2018/oge2018_36/files/3_23.files/image009.jpg

Из построения видно, что прямая y=m имеет только 2 общие точки с графиком функции в случаях, когда m=-4 или m=9. На рисунке прямые изображены красным цветом.

Ответ: -4; 9.


Четвертый вариант задания 

Постройте график функции

http://self-edu.ru/htm/2018/oge2018_36/files/4_23.files/image001.gif

Определите, при каких значениях k прямая у = kx не имеет с графиком общих точек.

Алгоритм решения:
  1. Раскрываем модуль и преобразовываем формул функции.
  2. Определяем вид функции на каждом промежутке и находим дополнительные точки графика.
  3. Строим график.
  4. Определяем искомые значения k.
  5. Записываем ответ.
Решение:

1. Если x < 0, то

http://self-edu.ru/htm/2018/oge2018_36/files/4_23.files/image002.gif

Дробь, получившаяся в результате, определена . График представляет собой часть гиперболы.

Точки для построения графика:

x

-5

-4

-3

-2

y

-1/5

-1/4

-1/3

-1/2

2. Если x > 0, то

http://self-edu.ru/htm/2018/oge2018_36/files/4_23.files/image004.gif

Функция определена при График представляет собой часть гиперболы.

Точки для построения графика:

x

2

3

4

5

y

-1/2

-1/3

-1/4

-1/5

3. Построим график заданной функции:

http://self-edu.ru/htm/2018/oge2018_36/files/4_23.files/image006.jpg

4. Прямая y=kx не имеет общих точек с графиком, при k=-1; 0 и 1, потому как тогда прямая проходит через точки, не входящие в область определения заданной функции.

На графике прямые для k=-1; 1изображены красным.

При k = 0 прямая совпадает с осью абсцисс и тоже не имеет общих точек с графиком функции.

Ответ: -1; 0; 1.


Пятый вариант задания

Постройте график функции

http://self-edu.ru/htm/2018/oge2018_36/files/5_23.files/image001.gif

Определите, при каких значениях k прямая y = kx не имеет с графиком общих точек.

Алгоритм решения:
  1. Раскрываем модуль и преобразовываем формул функции.
  2. Определяем вид функции на каждом промежутке и находим дополнительные точки графика.
  3. Строим график.
  4. Определяем искомые значения k.
  5. Записываем ответ.
Решение:

1. Раскрываем модуль и для каждого случая.

Если x < 0, то

http://self-edu.ru/htm/2018/oge2018_36/files/5_23.files/image002.gif

определена при  и представляет собой часть гиперболы. Дополнительные точки для построения:

x

-5

-4

-3

-2

-1

y

-1/5

-1/4

-1/3

-1/2

-1

2. Если x > 0, то

http://self-edu.ru/htm/2018/oge2018_36/files/5_23.files/image004.gif

определена при и представляет собой часть гиперболы.

Точки для построения графика:

x

1

2

3

4

5

y

-1

-1/2

-1/3

-1/4

-1/5

3. Изображаем график:

Прямая y=kx не имеет общих точек с графиком данной функции, когда k=-16; 0 и 16. Тогда прямые проходят черед точки с абсциссами ¼ и - ¼ . На рисунке эти прямые изображены красным.

При k = 0 прямая совпадает с осью абсцисс. Она тоже не имеет общих точек с графиком.

Ответ: -16; 0; 16.


Шестой вариант задания

Постройте график функции

23

и определите, при каких значениях с прямая y = c имеет с графиком ровно одну общую точку.

Разложим числитель дроби на множители:

231

При x ≠2 и x ≠ 3 функция принимает вид:

232

её график — парабола, из которой выколоты точки ( -2; -4) и ( 3; 6).

Прямая y = c имеет с графиком ровно одну общую точку либо тогда, когда проходит через вершину параболы, либо тогда, когда пересекает параболу в двух точках, одна из которых — выколотая.
Вершина параболы имеет координаты ( -0,5; -6,25 ).
Поэтому c = - 6,25, c = - 4 или c = 6.

Ответ: c = - 6,25, c = - 4 или c = 6.