Задание №23 ОГЭ по математике

Найдите боковую сторону АВ трапеции ABCD, если углы АВС и BCD равны соответственно 30⁰ и 135⁰, а СD =17

Сделаем чертеж, выполнив на нём дополнительные построения – высоты АМ и СН, которые равны как расстояния между параллельными сторонами трапеции.

Рассмотрим треугольник CНD, где CD=17, угол Н=90⁰, следовательно, треугольник прямоугольный. Найдем величину угла DCН, 135⁰ – 90⁰=45⁰ (так как провели высоту CН). Отсюда следует, что угол D=45⁰, так как треугольник прямоугольный. Значит, треугольник является равнобедренным (углы D и DCН равны по 45 градусов).

Найдем катеты CН и DН по теореме Пифагора, как катет равнобедренного треугольника по формуле с=а$\sqrt{2}$, где с=17. Следовательно, CН =$\frac{17}{\sqrt{2}}=\frac{17}{\sqrt{2}}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВМ, где угол В равен 30 градусов, а катет АМ= CН=$\frac{17}{\sqrt{2}}$. Зная, что катет, лежащий напротив угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы, найдем АВ (она будет в два раза больше катета). АВ=2$\times \frac{17}{\sqrt{2}}$=17$\sqrt{2}$

Алгоритм решения:

1. Используя св-во медианы в прямоугольном треугольнике, показываем, что искомый отрезок СК равен половине АВ.
2. Используя теорему Пифагора, находим АВ.
3. Зная АВ, вычисляем СК.

Решение:

У прямоуг.треугольника есть свойство: его медиана, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, равна ее половине. Поскольку ∆АВС прямоугольный, то СК=АВ/2. Это означает, что СК=АК=КВ:

Гипотенузу АВ найдет по теореме Пифагора:

АВ²=АС²+ВС²

Отсюда:

Тогда получаем:

СК=10/2=5.

Алгоритм решения:

1. Делаем чертеж.
2. Рассматриваем углы трапеции и проведенные биссектрисы.
3. Определяем вид треугольника AFB.
4. Находим длину АВ.
5. Записываем ответ.

Решение:

1. Выполняем рисунок, соответствующий данному условию.

2. Рассмотрим трапецию ABCD. В ней как основания. Углы А и В составляют в сумме 180⁰, как углы при основаниях. Отсюда следует, что  как соседние при двух основаниях. По условию лучи AF и BF – биссектрисы этих углов, тогда их сумма

3. Рассматриваем треугольник ABF. В нем угол по свойству углов треугольника, т.е. построенный треугольник AFB – прямоугольный. И гипотенузой в нем является сторона AB.

4. Вычислим сторону по теореме Пифагора: АВ² = AF² + BF²

Следовательно, АВ=25.

Решение:

1. Выполняем соответствующий чертеж:

2. Трапеция ABCD имеет основаниями стороны ВС и AD, значит, они параллельны. Тогда в ней внутренние односторонние при пересечении прямых, которые содержат эти основания, секущей АВ. Следовательно, они удовлетворяют равенству: .

3. По построению, заданному условием задачи AF и BF являются биссектрисы данных углов. Тогда в треугольнике ABF

Отсюда получаем:

Таким образом, треугольник AFB прямоугольный, а сторона AB – его гипотенуза.

4. Используем теорему Пифагора:

Отсюда АВ=25.

Алгоритм решения:

1. Делаем чертеж.
2. Рассматриваем углы трапеции и проведенные биссектрисы.
3. Определяем вид треугольника AFB.
4. Находим длину АВ.
5. Записываем ответ.

Решение:

1. Выполняем рисунок, согласно требованиям задачи:

2. У трапеции ABCD стороны AB и CD основания, значит, они параллельны. Прямая АВ является секущей параллельных прямых, которые содержат основания. Следовательно, , поскольку они являются внутренними односторонними.

По построению AF и BF являются биссектрисами внутренних односторонних углов. Тогда сумма углом BAF и FBA определяется так:

3. Тогда в треугольнике ABF угол AFB равен:

∠ AFB =180⁰—(∠BAF —∠FBA)= 180⁰ – 90⁰

Таким образом, треугольник AFB является прямоугольным, причем AB – гипотенуза

4. Воспользуемся теоремой Пифагора для ее вычисления:

Алгоритм решения:

1. Делаем чертеж по условию задания.
2. Определяем угол А.
3. Используем следствие из теоремы синусов для треугольника АВС.
4. Определяем ВС.
5. Записываем ответ.

Решение:

1. Делаем чертеж, соответствующий условию задания.

2. Найдем угол А треугольнике ABC:

3. Радиус R описанной окружности вокруг треугольника связан с длиной BC и синусом угла A выражением, которое является следствием теоремы синусов:

Отсюда получаем:

Алгоритм решения:

1. Делаем чертеж по условию задания.
2. Находим угол А в треугольнике.
3. Используем следствие из теоремы синусов для треугольника АВС.
4. Определяем ВС.
5. Записываем ответ.

Решение:

1. Делаем чертеж, удовлетворяющий условию задачи.

2. Рассматриваем треугольник ABC. В нем определяем угол A:

∠А=180⁰—∠В —∠С, откуда

∠А=180⁰ —71⁰—79⁰ = 30⁰.

3. По теореме синусов и следствию из нее:

где R – радиус описанной окружности.

Имеем:

4. Определяем ВС из полученного равенства:

Алгоритм решения:

1. Делаем чертеж по условию задания.
2. Находим угол А в данном треугольнике.
3. Используем следствие из теоремы синусов для треугольника АВС
4. Определяем ВС.
5. Записываем ответ.

Решение:

1. Делаем чертеж, удовлетворяющий условию задачи.

2. Определим угол А: ∠А=180⁰ —71⁰—79⁰ = 30⁰.

3. Пусть R — радиус описанной окружности, тогда по следствию из теоремы синусов получаем:

4. Тогда, при подстановке в равенство полученных данных, получаем: ВС равно произведению сторон АВ и АС на синус угла А, который равен 30⁰. Следовательно ВС=2∙8∙0,5=8.