Задание №28 ЕГЭ по физике

Алгоритм решения:

Решение:

Запишем исходные данные:

Переведем единицы измерения в СИ:

Q = –1 нКл = –10^–9 Кл

q = +5 нКл = +5∙10^–9 Кл

M = 5 г = 5∙10^–3 кг

m = 10 г = 10^–2 кг

Сделаем поясняющий рисунок:

На точечный заряд Q действует 2 силы. Первая сила — ${\overrightarrow{F}}_1$ — это электрическая сила, действующая со стороны однородного поля. Она направлена противоположно силовым линиям этого поля, так как этот заряд отрицательный. Вторая сила — ${\overrightarrow{F}}_{К1}$ — это сила Кулона, действующая со стороны второго заряда. Так как заряды разноименные, то эта сила направлена в сторону второго (положительного) заряда.

На точечный заряд q тоже действует 2 силы. Первая сила — ${\overrightarrow{F}}_2$ — это электрическая сила, действующая со стороны однородного поля. Она направлена по направлению силовых линий этого поля, так как этот заряд положительный. Вторая сила — ${\overrightarrow{F}}_{К2}$ — это сила Кулона, действующая со стороны первого заряда. Так как заряды разноименные, то эта сила направлена в сторону второго (отрицательного) заряда.

Запишем формулы для определения модулей сил, действующих на каждый из этих зарядов:

Видно, что силы Кулона 1 и 2 равны по модулю:

Равнодействующая сил, действующих на заряд Q, равна разности силы Кулона 1 и силы со стороны однородного поля на этот заряд. Согласно 2 закону Ньютона, равнодействующая сил равна произведению массы на ускорение. Следовательно:

Для второго заряда запишем аналогично (учитываем направление сил):

Выразим из обоих выражений ускорения. Так как по условию они равны, приравняем правые части уравнений:

Теперь подставим в эту формулу выражения, полученные для модулей каждой из сил:

Выразим отсюда r путем следующих преобразований:

.

Два груза массами соответственно М₁ = 1 кг и М₂ = 2 кг, лежащие на гладкой горизонтальной поверхности, связаны невесомой и нерастяжимой нитью. На грузы действуют силы F₁ и F₂, как показано на рисунке. Сила натяжения нити Т = 15 Н. Каков модуль силы F1, если F2 = 21 Н?

а) 6 Н

б) 12 Н

в) 18 Н

г) 21 Н

Алгоритм решения

Решение

Запишем исходные данные:

Сделаем чертеж. Систему координат выберем такую, чтобы ось ОУ была параллельная ускорению свободного падения.

Согласно третьему закону Ньютона, два тела действуют друг на друга с равными по модулю, но противоположными по направлению силами. Поэтому модули сил натяжения нити Т₁ и T₂ равны:

T₁ = T₂ = T

Учтем это при записи второго закона Ньютона для каждого из тел:

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси ОХ и ОУ. Сначала для первого тела:

T – F₁ = m₁a

N₁ = m₁g

Теперь для второго тела:

F₂ – T = m₂a

N₂ = m₂g

Выразим из проекции на ось ОХ для 1 тела модуль первой силы:

F₁ = T – m₁a

Из проекции на ось ОХ для второго тела выразим ускорение:

Подставим ускорение в формулу для нахождения силы, действующей на первое тело:

.

.

а) 2,25 Н

б) 2,7 Н

в) 3 Н

г) 3,6 Н

Алгоритм решения

Решение

Запишем исходные данные:

Выполним чертеж и укажем все силы, которые действуют на брусок и груз на нити. Выберем систему координат так, чтобы направление оси ОХ совпадало с направлением движения бруска.

Так как тела связаны, силы натяжения нити на обоих концах равны. Будем обозначать их без индекса. Запишем второй закон Ньютона в векторной форме для первого и второго тела соответственно:

Теперь запишем проекции на ось ОХ и ось ОУ соответственно для бруска:

Запишем проекцию на ось ОУ для груза на нити:

Выразим из этого выражения ускорение и получим:

Из проекции на ось ОХ сил, действующих на брусок, тоже выразим ускорение:

Приравняем правые части уравнений и получим:

Произведем вычисления:

.

Алгоритм решения

Решение

Запишем исходные данные:

Так как это абсолютно неупругий удар, закон сохранения импульса принимает вид:

$m_1{v}_1+m_2{v}_2=\left(m_1+m_2\right)v$

Учтем, что скорость тележки изначально была равна нулю, а к ее движению после столкновения привела только горизонтальная составляющая начальной скорости камня:

$m_1{v}_1\cos .\alpha =\left(m_1+m_2\right)v$

Выразить конечную скорость системы тел после столкновения мы можем через ее кинетическую энергию:

$E_k=\frac{\left(m_1+m_2\right)v^2}{2}$

Отсюда скорость равна:

$v=\sqrt{\frac{2E_k}{m_1+m_2}}$

Выразим скорость камня до столкновения через закон сохранения импульса и подставим в формулу найденную скорость:

$v_1=\frac{\left(m_1+m_2\right)v}{m_1\cos .\alpha }=\frac{\left(m_1+m_2\right)}{m_1\cos .\alpha }·\sqrt{\frac{2E_k}{m_1+m_2}}$

Подставим известные данные и произведем вычисления:

$v_1=\frac{(3+15)}{3\cos .{60}^o}·\sqrt{\frac{2·2,25}{3+15}}=12·\sqrt{0,25}=12·0,5=6\left(\frac{м}{с}\right)$

Алгоритм решения

Решение

Запишем исходные данные:

Выполним чертеж:

Запишем второй закон Ньютона для 1 и 2 тела соответственно:

Запишем второй закон Ньютона для 1 и 2 тела в проекции на ось ОХ:

F – T₁ = m₁a

T₂ = m₂a

Отсюда масса второго тела равна:

Согласно третьему закону Ньютона, тела действуют друг на друга с равными по модулю, но противоположными по направлению силами. Следовательно, силы натяжения нити равны на обоих концах:

T₁ = T₂ = T

Поэтому:

T = F – m₁a

Из первого выражения выразим ускорение и подставим его во второе:

Подставим в формулу и получим:

.

К бруску массой 0,4 кг, лежащему на горизонтальной поверхности стола, прикреплена пружина. Свободный конец пружины тянут медленно в вертикальном направлении (см. рисунок). Определите величину потенциальной энергии, запасённой в пружине к моменту отрыва бруска от поверхности стола, если пружина при этом растягивается на 2 см. Массой пружины пренебречь.

Ответ:

а) 40 мДж

б) 20 мДж

в) 80 мДж

г) 200 мДж

Алгоритм решения

Решение

Запишем исходные данные:

Переведем сантиметры в метры:

2 см = 0,02 м

Выполним рисунок. Для описания ситуации нам понадобится только одна ось: Oy.

Потенциальная энергия деформированной пружины определяется формулой:

Так как брусок поднимают за прикрепленную к нему пружину медленно, можно считать, что это движение равномерное (и прямолинейное). Поэтому, согласно второму закону Ньютона:

F_т = F_упр

Чтобы оторвать брусок от поверхности стола, модуль силы тяги должен быть равен модулю силы тяжести. Поэтому:

F_т = F_тяж =F_упр

Или:

mg = k∆l

Теперь можем выразить жесткость пружины:

Подставим жесткость пружины в формулу потенциальной энергии и сделаем вычисления:

Шайба массой m, скользящая по гладкой горизонтальной поверхности, налетает на лежащую неподвижно на той же поверхности шайбу массой 3m такого же размера. После частично неупругого удара первая шайба остановилась. Какова была кинетическая энергия первой шайбы до удара, если при ударе выделилось количество теплоты Q?

Ответ:

а) 3Q/2

б) 2Q

в) 9Q/2

г) 8Q

Алгоритм решения

Решение

Запишем исходные данные:

До удара двигалась только первая шайба, вторая покоилась, поэтому импульс второй шайбы равен нулю. После удара первая шайба остановилась, поэтому ее импульс стал равен нулю. Но начала двигаться вторая шайба. Поэтому закон сохранения импульса при ударе примет вид:

$mv=3mV$

Отсюда скорость второй шайбы равна v/3.

Запишем закон сохранения энергии с учетом того, что при ударе выделилось тепло:

$E_{k1}=E_{k2}+Q$

Кинетическую энергию второй шайбы можно выразить как доля от кинетической энергии первой шайбы, а также как произведение половинной массы на половинный квадрат:

$E_{k2}=E_{k1}x=\frac{3m{V}^2}{2}=\frac{3m{v}^2}{2·9}$

x — доля кинетической энергии второй шайбы от кинетической энергии первой шайбы.

Кинетическая энергия первой шайбы равна:

$E_{k1}=\frac{m{v}^2}{2}$

Теперь можем выразить x:

$\frac{3m{v}^2}{2·9}=\frac{m{v}^2}{2}x$

$x=\frac{1}{3}$

Следовательно, на кинетическую энергию второй шайбы ушла 1/3 часть кинетической энергии первой шайбы, а в виде тепла выделилось 2/3 этой энергии. Отсюда:

$Q=\frac{2}{3}{E}_{k1}$

$E_{k1}=\frac{3}{2}Q$

Летящая горизонтально со скоростью 20 м/с пластилиновая пуля массой 9 г попадает в груз неподвижно висящий на нити длиной 40 см, в результате чего груз с прилипшей к нему пулей начинает совершать колебания. Максимальный угол отклонения нити от вертикали при этом равен α = 60°. Какова масса груза?

Ответ:

а) 27 г

б) 64 г

в) 81 г

г) 100 г

Алгоритм решения

Решение

Запишем исходные данные:

Переведем единицы измерения величин в СИ:

Сделаем чертеж:

Нулевой уровень — точка А.

После неупругого столкновения пули с грузом они начинают двигаться вместе. Поэтому закон сохранения импульса для точки А выглядит так:

$mv=(m+M)V$

После столкновения система тел начинается двигаться по окружности. Точка В соответствует верхней точке траектории. В этот момент скорость системы на мгновение принимает нулевое значение, а потенциальная энергия — максимальное.

Закон сохранения энергии для точки В:

$\frac{(m+M)V^2}{2}=(m+M)gh$

$\frac{V^2}{2}=gh$

Высоту h можно определить как произведение длины нити на косинус угла максимального отклонения. Поэтому:

$V=\sqrt{2gl\cos .\alpha }$

Подставим это выражение в закон сохранения импульса для точки А и получим:

Выразим массу груза:

Однородный стержень АВ массой 100 г покоится, упираясь в стык дна и стенки банки концом В и опираясь на край банки в точке С (см. рисунок). Модуль силы, с которой стержень давит на стенку сосуда в точке С, равен 0,5 Н. Чему равен модуль горизонтальной составляющей силы, с которой стержень давит на сосуд в точке В, если модуль вертикальной составляющей этой силы равен 0,6 Н? Трением пренебречь.

Ответ:

а) 0,3 Н

б) 0,25 Н

в) 0,6 Н

г) 0,13 Н

Алгоритм решения

1. Записать исходные данные и перевести единицы измерения величин в СИ.
2. Выполнить чертеж. Выбрать ось вращения. Указать силы и их плечи.
3. Использовать второй и третий законы Ньютона, чтобы выполнить общее решение.
4. Подставить известные данные и вычислить искомую величину.

Решение

Запишем исходные данные:

• Масса стержня: m = 100 г.
• Модуль силы, с которой стержень давит на стенку сосуда в точке С: F_C = 0,5 Н.
• Модуль вертикальной составляющей силы, с которой стержень давит на сосуду в точке В: F_By = 0,6 Н.

Переведем единицы измерения в СИ:

100 г = 0,1 кг

Выполним чертеж:

Поскольку стержень покоится, согласно второму закону Ньютона, равнодействующая всех сил, действующих на него, должна быть равна нулю. На стержень действует три силы:

• сила тяжести (mg);
• сила реакции опоры в точке С (F_C);
• сила реакции опоры в точке В (F_В).

Поэтому:

$m\overrightarrow{g}+{\overrightarrow{F}}_C+{\overrightarrow{F}}_B=0$

Запишем проекции на оси Ox и Oy соответственно:

$F_{Cx}=F_{Bx}$

$F_{Cy}+F_{By}=mg$

Модуль горизонтальной составляющей силы в точке В можно выразить через теорему Пифагора:

$F_{Cx}=\sqrt{F_C^2-F_{Cy}^2}$

Но вертикальная составляющая силы в точке C равна разности силы тяжести и горизонтальной составляющей силы в точке В:

$F_{Cy}=mg-F_{By}$

Отсюда:

$F_{Bx}=F_{Cx}=\sqrt{F_C^2-F_{Cy}^2}=\sqrt{F_C^2-({mg-F_{By})}^2}$

Подставим известные данные и вычислим:

$F_{Bx}=\sqrt{{0,5}^2-{(0,1·10-0,6)}^2}=\sqrt{0,25-0,16}=0,3\left(Н\right)$

Алгоритм решения

Решение

Анализируя условия задачи, можно выделить следующие данные:

Запишем основное уравнение идеального газа:

$p=\frac{2}{3}n{\stackrel{-}{E}}_k$

Применим его для обоих газов и получим:

$p_1=\frac{2}{3}{n}_1{\stackrel{-}{E}}_{k1}или2p=\frac{2}{3}n{\stackrel{-}{E}}_{k1}$

$p_2=\frac{2}{3}{n}_2{\stackrel{-}{E}}_{k2}илиp=\frac{2}{3}n{\stackrel{-}{E}}_{k2}$

Выразим среднюю кинетическую энергию молекул газа из каждого уравнения:

${\stackrel{-}{E}}_{k1}=\frac{3p}{n}$

${\stackrel{-}{E}}_{k2}=\frac{3p}{2n}$

Поделим уравнения друг на друга и получим:

$\frac{{\stackrel{-}{E}}_{k1}}{{\stackrel{-}{E}}_{k2}}=\frac{3p}{n}·\frac{2n}{3p}=2$

.

Алгоритм решения

Решение

Анализируя условия задачи, можно выделить следующие данные:

Запишем основное уравнение идеального газа:

$p=\frac{2}{3}n{\stackrel{-}{E}}_k$

Применим его для обоих газов и получим:

$p_1=\frac{2}{3}{n}_1{\stackrel{-}{E}}_{k1}или2p=\frac{2}{3}{n}_1{\stackrel{-}{E}}_k$

$p_2=\frac{2}{3}{n}_2{\stackrel{-}{E}}_{k2}илиp=\frac{2}{3}{n}_2{\stackrel{-}{E}}_k$

Выразим концентрации молекул газа из каждого уравнения:

$n_1=\frac{3p}{{\stackrel{-}{E}}_k}$

$n_2=\frac{3p}{2{\stackrel{-}{E}}_k}$

Поделим уравнения друг на друга и получим:

$\frac{n_1}{n_2}=\frac{3p}{{\stackrel{-}{E}}_k}·\frac{2{\stackrel{-}{E}}_k}{3p}=2$

Три одинаковых сосуда, содержащих разреженный газ, соединены друг с другом трубками малого диаметра: первый сосуд – со вторым, второй – с третьим. Первоначально давление газа в сосудах было равно соответственно р, 3р и р. В ходе опыта сначала открыли и закрыли кран, соединяющий второй и третий сосуды, а затем открыли и закрыли кран, соединяющий первый сосуд со вторым. Как изменилось в итоге (уменьшилось, увеличилось или осталось неизменным) количество газа в первом сосуде? (Температура газа оставалась в течение всего опыта неизменной.)

Алгоритм решения

Решение

Запишем исходные данные:

После того, как открыли кран между 2 и 3 сосудом, объем возрос вдвое, и давление распределилось по нему равномерно. Согласно закону Дальтона, оно стало равным сумме давлений, оказываемых газами в количестве вещества ν₂ и ν₃. Так как объем после открытия крана увеличивается вдвое, то парциальное давление каждого из количества вещества равно половине исходного давления:

$p_{23}=\frac{p}{2}+\frac{3p}{2}=2p$

Потом кран 2–3 закрыли, но открыли кран 1–2. Применим закон Дальтона, получим:

$p_{12}=\frac{2p}{2}+\frac{p}{2}=\frac{3p}{2}$

Теперь применим закон Менделеева — Клапейрона:

$pV=\nu RT$

Для начального состояния газа в 1 сосуде:

$pV={\nu }_{1}RT$

Для конечного состояния газа в 1 сосуде:

$\frac{3p}{2}V={\nu }_{2}RT$

Так как температура и объем неизменны, но давление увеличилось в 1,5 раза, то и количество газа в первом сосуде увеличилось в 1,5 раза.

При постоянном давлении гелий нагрели, в результате чего он совершил работу 5 кДж? Масса гелия 0,04 кг. Насколько увеличилась температура газа?

Ответ:

а) 60 К

б) 25 К

в) 15 К

г) 3 К

Алгоритм решения

Решение

Запишем исходные данные:

5 кДж = 5000 Дж

Первое начало термодинамики:

$\Delta U=Q+A$

Учтем, что не над газом совершают работу, а сам газ совершает ее:

Отсюда:

$\Delta U=Q-A$

Так как газ нагревали изобарно, часть тепла ушла на изменение внутренней энергии газа, а часть — на совершение этим газом работы.

Работа, совершенная газом, равна:

$A=p\Delta V=\frac{m}{M}R\Delta T$

Молярная масса гелия равна 4∙10^–3 кг/моль.

Отсюда:

За цикл, показанный на рисунке, газ получает от нагревателя количество теплоты Q_нагр = 5,1кДж. КПД цикла равен 4/17. Масса газа постоянна. На участке 1–2 газ совершает работу

Ответ:

а) 1,2 кДж

б) 1,8 кДж

в) 2,6 кДж

г) 3,9 кДж

Алгоритм решения

Решение

Запишем исходные данные:

5,1 кДж = 5,1∙10³ Дж

Согласно графику, на участке 1–2 газ совершает работу, равную:

$A=3p_0\left(4V_0-V_0\right)=9p_0{V}_0$

Полезная работа ограничивается площадью фигуры внутри циклического графика. Она равна:

$A_{ползн}=9p_0{V}_0-p_0\left(4V_0-V_0\right)=6p_0{V}_0$

Отсюда:

$A=\frac{9A_{ползн}}{6}$

КПД тепловой машины есть отношение полезной работы к количеству теплоты, полученному от нагревателя:

$\eta =\frac{A_{ползн}}{Q}$

Отсюда:

$A_{ползн}=\eta Q$

Смещение груза пружинного маятника меняется с течением времени по закону $x=A\cos .\frac{2}{\pi }t$, где период Т = 1 с. Через какое минимальное время, начиная с момента t = 0, потенциальная энергия маятника вернется к своему исходному значению?

Ответ:

а) 0,1 с

б) 0,2 с

в) 0,3 с

г) 0,5

Алгоритм решения

Решение

Известно, что смещение маятника меняется по закону:

$x=A\cos .\frac{2\pi }{T}t$

В начальный момент времени t = 0 смещение будет равно амплитуде, поскольку косинус нуля равен «1». Следовательно, исходное значение потенциальной энергии маятника равно:

$W_{p0}=\frac{k{A}^2}{2}$

Сделаем рисунок, обозначив за $x_0$ положение равновесия системы. Тогда A и –A будут амплитудами (максимальными смещениями от положения равновесия).

Потенциальная энергия зависит только от модуля смещения, поэтому ее значение станет таким же, как в начальный момент времени, когда смещение достигнет максимального смещения с противоположной стороны (оно составит –A). В этом легко убедиться:

$W_{pt}=\frac{k{(-A)}^2}{2}=\frac{k{A}^2}{2}=W_{p0}$

К этому моменту пройдет половина периода колебания, следовательно:

$t=\frac{T}{2}=\frac{1}{2}=0,5\left(с\right)$

В двух идеальных колебательных контурах происходят незатухающие электромагнитные колебания. Максимальное значение заряда конденсатора во втором контуре равно 6 мкКл. Амплитуда колебаний силы тока в первом контуре в 2 раза меньше, а период его колебаний в 3 раза меньше, чем во втором контуре. Определите максимальное значение заряда конденсатора в первом контуре.

Ответ:

а) 1 мкКл

б) 4 мкКл

в) 6 мкКл

г) 9 мкКл

Алгоритм решения

Решение

Запишем исходные данные:

6 мкКл = 6∙10^–6 Кл

Амплитудные значения силы тока и заряда конденсатора связываются формулой:

$I_{max}=q_{max}\frac{2\pi }{T}$

Запишем эту формулу для первого и второго колебательного контура:

$I_{1max}=q_{1max}\frac{2\pi }{T_1}$

$I_{2max}=q_{2max}\frac{2\pi }{T_2}$

Преобразуем их, оставив слева только $2\pi$:

$2\pi =I_{1max}\frac{T_1}{q_{1max}}=\frac{IT}{q_{1max}}$

$2\pi =I_{2max}\frac{T_2}{q_{2max}}=\frac{2I3T}{q_{2max}}=\frac{6IT}{6·{10}^{-6}}=\frac{IT}{{10}^{-6}}$

Поскольку левые части уравнений равны, мы можем приравнять их правые части:

$\frac{IT}{q_{1max}}=\frac{IT}{{10}^{-6}}$

Следовательно, $q_{1max}={10}^{-6}$ Кл.

Невесомый стержень, находящийся в ящике с гладкими дном и стенками, составляет угол 45° с вертикалью (см. рисунок). К середине стержня подвешен на нити шарик массой 1 кг. Каков модуль силы упругости N, действующей на стержень со стороны левой стенки ящика?

Алгоритм решения

Решение

Запишем исходные данные:

Чтобы записать правило моментов, нужно определить плечи силы тяжести и силы упругости. В качестве точки равновесия выберем точку опоры нижнего конца стержня. Тогда плечо силы тяжести будет равно произведению половины длины стержня на косинус угла между дном ящика и стержнем. Он тоже будет равен 45 градусам, так как он равен разности 180 градусов и угла α = 45^o. Отсюда:

$d_{mg}=\frac{l}{2}\cos .\alpha$

Плечо силы упругости будет равно расстоянию от дна ящика до верхней точки стержня. Оно определяется как произведение длины стержня на синус угла α:

$d_N=l\sin .\alpha$

Запишем правило моментов:

$mg\frac{l}{2}\cos .\alpha =Nl\sin .\alpha$

Отсюда:

$N=mg\frac{l}{2l\sin .\alpha }\cos .\alpha$

Длина стержня в числителе и знаменателе сократится, косинус и синус угла тоже, так как при 45 градусах они одинаковые. Следовательно:

$N=\frac{mg}{2}=\frac{1·10}{2}=5\left(Н\right)$

.

Алгоритм решения

Решение

Запишем исходные данные:

Ускорение свободного падения определяется формулой:

Отсюда радиус равен:

Линейная скорость и радиус орбиты связываются формулой:

Используя закон всемирного тяготения, запишем силы, с которой притягивается спутник к планете:

Согласно второму закону Ньютона, сила — это произведение массы на ускорение тела. Следовательно:

Отсюда:

Поделим обе части выражения на массу спутника и радиус его орбиты. Получим:

Из этой формулы выразим массу планеты:

Подставим массу планеты в формулу для нахождения ее радиуса:

Подставляем известные данные и вычисляем:

Этот радиус соответствует 3400 км.