Задание №32 ЕГЭ по физике

Алгоритм решения

Решение

Запишем исходные данные:

Запишем формулу закона сохранения энергии:

$h\nu =A+\frac{m{v}^2}{2}$

Применим ее к 1 и 2 опыту, составив систему из двух уравнений:

$\{\begin{array}{c}h{\nu }_1=A+\frac{m{v}_1^2}{2}\\ h{\nu }_2=A+\frac{m{v}_2^2}{2}\end{array}$

Преобразуем:

$\{\begin{array}{c}h\nu =A+\frac{m{v}_1^2}{2}\\ 2h\nu =A+\frac{m{v}_2^2}{2}\end{array}$

Формула, связывающая задерживающее напряжение и кинетическую энергию фотона:

$\frac{m{v}^2}{2}=e{U}_{з}$

Известно, что при увеличении частоты в 2 раза задерживающее напряжение увеличилось в 3 раза. Так как задерживающее напряжение прямо пропорционально кинетической энергии фотона, то она (кинетическая энергия), также увеличивается в 3 раза. Следовательно:

$\frac{m{v}_2^2}{2}=3\frac{m{v}_1^2}{2}$

Тогда:

$\{\begin{array}{c}h\nu =A+\frac{m{v}_1^2}{2}\\ 2h\nu =A+3\frac{m{v}_1^2}{2}\end{array}$

Умножим первое уравнение системы на «–3» и сложим оба уравнения:

$\{\begin{array}{c}-3h\nu =-3A-3\frac{m{v}_1^2}{2}\\ 2h\nu =A+3\frac{m{v}_1^2}{2}\end{array}$

$-h\nu =-2A$

Отсюда работа выхода равна:

$A=\frac{h\nu }{2}$

Формула для нахождения красной границы фотоэффекта:

${\nu }_{min}=\frac{A}{h}$

Формула длины волны:

$\lambda =\frac{c}{\nu }$

Следовательно, длина волны для красной границы фотоэффекта:

${\lambda }_{min}=\frac{c}{{\nu }_{min}}=\frac{ch}{A}=2\frac{ch}{h\nu }=2\frac{c}{\nu }$

Излучением лазера с длиной волны 3,3⋅10⁻⁷ м за время 1,25⋅10⁴ с был расплавлен лёд массой 1 кг, взятый при температуре 0 °С, и полученная вода была нагрета на 100 °С. Сколько фотонов излучает лазер за 1 с? Считать, что 50% излучения поглощается веществом.

Алгоритм решения

Решение

Запишем не только те данные, что есть в условии задачи, но и табличные данные, которые нам понадобятся в ходе решения задачи:

Чтобы лед расплавился, а образовавшаяся вода нагрелась до температуры кипения, нужно сообщить ему следующее количество энергии:

$Q=Q_1+Q_2=m{\lambda }_{льда}+mc(t_2-t_1)$

Так как КПД равен 50% (0,5), то это количество теплоты равно половине энергии, выделенной лазером:

$Q=\eta E$

$m{\lambda }_{льда}+mc\left(t_2-t_1\right)=\eta E$

Энергия, выделенная лазером, равна сумме энергий каждого из излученных фотонов, количество которых будет равно N:

$E=Nh\nu$

Но частота световой волны равна:

$\nu =\frac{c}{{\lambda }_{света}}$

Тогда:

$E=\frac{Nhc}{{\lambda }_{света}}$

Отсюда:

$\frac{Nhc}{{\lambda }_{света}}$

Теперь мы можем записать:

$m{\lambda }_{льда}+mc\left(t_2-t_1\right)=\eta \frac{Nhc}{{\lambda }_{света}}$

Выразим количество излученных фотонов за все время:

$N=\frac{{\lambda }_{света}(m{\lambda }_{льда}+mc(t_2-t_1\left)\right)}{\eta hc}$

Если разделить это выражение на время проведения опыта, то мы найдем количество фотонов, излученных за 1 секунду:

$N_{1с}=\frac{{\lambda }_{света}(m{\lambda }_{льда}+mc(t_2-t_1\left)\right)}{\eta hct}$

Покоящийся атом излучает фотон с энергией 16,32·10^–19 Дж в результате перехода электрона из возбуждённого состояния в основное. Атом в результате отдачи начинает двигаться поступательно в противоположном направлении с кинетической энергией 8,81·10^–27 Дж. Найдите массу атома. Скорость атома считать малой по сравнению со скоростью света.

Алгоритм решения

Решение

Запишем исходные данные:

Так как до излучения фотона атом покоился, то его импульс был равен нулю. Поэтому после излучения фотона суммарный импульс согласно закону сохранения импульса тоже должен быть равен нулю. Поэтому импульс атома равен по модулю импульсу излученного фотона:

$p_{а}=p_{ф}$

Импульс тела и его кинетическая энергия — связанные величины. Но скорость атома много меньше скорости света. Поэтому для атома связь импульса с кинетической энергией будет описываться нерелятивистским выражением:

$E_{а}=\frac{p_{а}^2}{2m_{а}}$

Отсюда импульс, обретенный атомом, равен:

$p_{а}=\sqrt{2m_{а}{E}_{а}}$

Фотон двигается со скоростью света, и его импульс может быть выражен из следующей его связи с энергией:

$E_{ф}=p_{ф}c$

Тогда импульс фотона равен:

$p_{ф}=\frac{E_{ф}}{c}$

Приравняем импульсы атома и фотона:

$\sqrt{2m_{а}{E}_{а}}=\frac{E_{ф}}{c}$

Возведем обе части выражения в квадрат, выразим и посчитаем массу атома:

$2m_{а}{E}_{а}=\frac{E_{ф}^2}{c^2}$

Пациенту ввели внутривенно дозу раствора, содержащего изотоп ₁₁²⁴ Na. Активность 1 см³ этого раствора а₀ = 2000 распадов в секунду. Период полураспада изотопа ₁₁²⁴ Na равен T = 15,3 ч. Через t = 3 ч 50 мин активность 1 см³ крови пациента стала а = 0,28 распадов в секунду. Каков объём введённого раствора, если общий объём крови пациента V = 6 л? Переходом ядер изотопа ₁₁²⁴ Na из крови в другие ткани организма пренебречь. Ответ записать в куб. см.

Алгоритм решения

Решение

Запишем исходные данные:

Переведем объем крови пациента в кубические сантиметры, так как активность раствора и крови рассчитывается на 1 куб. см:

6 л = 6000 куб. см

Период полураспада и время переведем в секунды:

15,3 ч = 15,3∙60∙60 = 55080 с

3 ч. 50 мин = 3∙60∙60 + 50∙60 = 13800 с

Запишем закон радиоактивного полураспада:$N=N_0·2^{-\frac{t}{T}}$

Объем введенного раствора обозначим за V₀. Изначально активность всего объема крови пациента будет равна активности введенного раствора. Следовательно:

$a_{t=0}=a_0\left(\frac{V_0}{1{см}^3}\right)$

Тогда активность 1 куб. см крови в начальный момент времени будет равна:

$a_1=a_0\left(\frac{V_0}{1{см}^3}\right)\left(\frac{1{см}^3}{V}\right)=a_0\frac{V_0}{V}$

По закону радиоактивного распада по прошествии времени t активность 1 куб. см крови станет равной:

$a=a_1·2^{-\frac{t}{T}}$

Подставим сюда найденное раннее выражение:

$a=a_0\frac{V_0}{V}·2^{-\frac{t}{T}}$

Выразим объем раствора:

$a=a_0\frac{V_0}{V}·2^{-\frac{t}{T}}$

$V_0=\frac{aV}{a_0{2}^{-\frac{t}{T}}}=\frac{aV{2}^{\frac{t}{T}}}{a_0}$

Вычислим:

Протон ускоряется постоянным электрическим полем конденсатора, напряжение на обкладках которого 2160 В. Затем он влетает в однородное магнитное поле и движется по дуге окружности радиуса 20 см в плоскости, перпендикулярной линиям магнитной индукции. Каков модуль вектора индукции магнитного поля? Начальной скоростью протона в электрическом поле пренебречь. Ответ выразить в мТл, округлив до десятых.

Алгоритм решения

Решение

Запишем исходные данные:

20 см = 0,2 м

Сила Лоренца определяется формулой:

$F_{Л}=\left|q\right|vB\sin .\alpha$

По условию задачи протон движется перпендикулярно вектору магнитной индукции. Поэтому синус угла между вектором скорости и вектором магнитной индукции будет равен 1. А протон имеет положительный заряд. Тогда:

$F_{Л}=qvB$

Сила Лоренца сообщает протону центростремительное ускорение, равное:

$a=\frac{v^2}{R}$

Применим второй закон Ньютона:

$F=ma$

$qvB=\frac{m{v}^2}{R}$

Отсюда модуль вектора магнитной индукции равен:

$B=\frac{m{v}^2}{qvR}=\frac{mv}{qR}$

Энергия заряда, движущегося в электрическом поле, определяется формулой:

$W=qU$

Но энергию заряда также можно выразить как кинетическую энергию движения:

$W=E_{к}=\frac{m{v}^2}{2}$

Приравняем правые части выражений и получим:

$qU=\frac{m{v}^2}{2}$

Отсюда ускорение протона равно:

$v=\sqrt{\frac{2qU}{m}}$

Конечная формула для определения модуля вектора магнитной индукции:

$B=\frac{mv}{qR}=\frac{m}{qR}\sqrt{\frac{2qU}{m}}=\sqrt{\frac{2Um}{q{R}^2}}$

Протон влетает в электрическое поле конденсатора параллельно его пластинам в точке, находящейся посередине между пластинами (см. рисунок). Найдите минимальную скорость υ, с которой протон должен влететь в конденсатор, чтобы затем вылететь из него. Длина пластин конденсатора 5 см, расстояние между пластинами 1 см, напряжённость электрического поля конденсатора 5000 В/м. Поле внутри конденсатора считать однородным, силой тяжести пренебречь.

Алгоритм решения

Решение

Запишем исходные данные:

1 см = 0,01 м

5 см = 0,05 м

Сделаем рисунок:

Изначально протон обладает только горизонтальной скоростью v, равной v_x. Влетев в однородное электростатическое поле внутри конденсатора, протон обретает вертикальную компоненту скорости, которая растет за счет ускорения, придаваемого кулоновскими силами. Положительно заряженный протон притягивается нижней отрицательно зараженной пластиной конденсатора.

Чтобы протон вылетел из конденсатора, его горизонтальная компонента скорости должна быть достаточной для того, чтобы частица не притянулась к нижней пластине раньше. Время, которое понадобится протону для преодоления длины пластин конденсатора со скоростью v_x:

$t=\frac{l}{v_x}=\frac{l}{v}$

Протон влетел в пространство между обкладками конденсатора на одинаковом расстоянии от них. Следовательно, прежде чем он упадет на нижнюю пластину, по оси OY он переместится на расстояние, равное 0,5d. Так как начальная компонента скорости равна нулю (мы пренебрегаем силой тяжести):

$0,5d=\frac{a{t}^2}{2}$

Протон вылетит из конденсатора, а не упадет на его пластину, если время горизонтального перемещения до конца пластин будет как минимум равно времени падения. Выразим время падения:

$t=\sqrt{\frac{d}{a}}$

Приравняем правые части уравнений времени и получим:

$\frac{l}{v}=\sqrt{\frac{d}{a}}$

Отсюда скорость равна:

$v=\sqrt{\frac{a{l}^2}{d}}$

Ускорение выразим из второго закона Ньютона:

$F_K=ma=\frac{qU}{d}$

$a=\frac{qU}{md}$

Но известно, что:

$U=Ed$

Поэтому:

$a=\frac{qEd}{md}=\frac{qE}{m}$

Отсюда:

Минимальная скорость, с которой протон должен влететь в конденсатор, составляет 346∙10³ м/с. Округлим до десятков и переведем в км/с. Получим 350 км/с.

Реостат R подключен к источнику тока с ЭДС E и внутренним сопротивлением r (см. рисунок). Зависимость силы тока в цепи от сопротивления реостата представлена на графике. Найдите сопротивление реостата, при котором мощность тока, выделяемая на внутреннем сопротивлении источника, равна 8 Вт.

Алгоритм решения

Решение

Запишем исходные данные:

Мощность тока, выделяемая на внутреннем сопротивлении источника, определяется формулой:

$P_{внутр}={\left(\frac{\epsilon }{R+r}\right)}^{2}r$

Выразим отсюда сопротивление реостата:

$R=\epsilon \sqrt{\frac{r}{P_{внутр}}}-r$

Запишем закон Ома для полной цепи:

$I=\frac{\epsilon }{R+r}$

Согласно графику, при нулевом сопротивлении реостата, сила тока, равна 6 Амперам. Следовательно:

$I\left(0Ом\right)=\frac{\epsilon }{r}=6$

Но при сопротивлении реостата в 4 Ом сила тока равна 2 Амперам. Следовательно:

$I\left(4Ом\right)=\frac{\epsilon }{4+r}=2$

Получили систему уравнений:

$\left\{\begin{array}{c}\frac{\epsilon }{r}=6\\ \frac{\epsilon }{4+r}=2\end{array}\right)$

$\epsilon =6r$

$\frac{6r}{4+r}=2$

$6r=8+2r$

$4r=8$

$r=2\left(Ом\right)$

$\epsilon =6·2=12\left(В\right)$

Теперь можем вычислить искомое сопротивление:

$R=12\sqrt{\frac{2}{8}}-2=4\left(Ом\right)$

На рис. 1 изображена зависимость силы тока через светодиод D от приложенного к нему напряжения, а на рис. 2 – схема его включения. Напряжение на светодиоде практически не зависит от силы тока через него в интервале значений 0,05 А<I<0,2 А. Этот светодиод соединён последовательно с резистором R и подключён к источнику с ЭДС E1=6 В. При этом сила тока в цепи равна 0,1 А. Какова сила тока, текущего через светодиод, при замене источника на другой с ЭДС E2=4,5 В? Внутренним сопротивлением источников пренебречь.

Алгоритм решения

Решение

Запишем исходные данные:

Из рисунка 1 следует, что при силе тока, равной I₁ = 0,1 А напряжение на светодиоде равно U_D = 3 В. По закону Ома для участка цепи напряжение на резисторе, будет равно:

$U_1=I_{1}R$

По закону Ома для полной (замкнутой) цепи, имеем:

${\epsilon }_1=U_1+U_D$

Следовательно:

$U_1={\epsilon }_1-U_D$

Тогда сопротивление резистора равно:

$R=\frac{{\epsilon }_1-U_D}{I_1}$

Напряжение на светодиоде не зависит от силы тока, проходящего через него в интервале значений (это следует из графика рис. 1), поэтому $U_2={\epsilon }_2-U_D$для любой силы тока из этого интервала значений, следовательно, сила тока в цепи при изменении ЭДС источника:

$I_2=\frac{U_2}{R}=\frac{{\epsilon }_2-U_D}{R}=I_1\frac{{\epsilon }_2-U_D}{{\epsilon }_1-U_D}$

$I_2=0,1\frac{4,5-3}{6-3}=0,05\left(А\right)$

На непроводящей горизонтальной поверхности стола лежит жёсткая рамка массой m из однородной тонкой проволоки, согнутая в виде квадрата AСDЕ со стороной a(см. рисунок). Рамка находится в однородном горизонтальном магнитном поле, вектор индукции B которого перпендикулярен сторонам AE и CD и равен по модулю В. По рамке течёт ток в направлении, указанном стрелками (см. рисунок). При какой минимальной силе тока рамка начнет поворачиваться вокруг стороны CD?

Алгоритм решения

Решение

По условию задачи известными данными являются:

Пусть по рамке течёт ток I. На стороны АЕ и CD будут действовать силы Ампера:

$F_{A1}=F_{A2}=IaB$

Для того чтобы рамка начала поворачиваться вокруг оси CD, вращательный момент сил, действующих на рамку и направленных вверх, должен быть не меньше суммарного момента сил, направленных вниз. Момент силы Ампера относительно оси, проходящей через сторону CD:

$M_A=I{a}^{2}B$

Момент силы тяжести относительно оси CD:

$M_{mg}=-\frac{1}{2}mga$

Чтобы рамка с током оторвалась от горизонтальной поверхности, нужно чтобы суммарный момент сил был больше нуля:

$M_A+M_{mg}>0$

Так как момент силы тяжести относительно оси CD отрицательный, это неравенство можно записать в виде:

$I{a}^{2}B>\frac{1}{2}mga$

Отсюда выразим силу тока:

$I>\frac{mga}{2a^{2}B}$

$I>\frac{mg}{2aB}$

По горизонтально расположенным шероховатым рельсам с пренебрежимо малым сопротивлением могут скользить два одинаковых стержня массой m = 100 г и сопротивлением R = 0,1 Ом каждый. Расстояние между рельсами l = 10 см, а коэффициент трения между стержнями и рельсами μ = 0,1  Рельсы со стержнями находятся в однородном вертикальном магнитном поле с индукцией B = 1 Тл (см. рисунок). Под действием горизонтальной силы, действующей на первый стержень вдоль рельс, оба стержня движутся поступательно равномерно с разными скоростями. Какова скорость движения первого стержня относительно второго? Самоиндукцией контура пренебречь. Ответ записать в системе СИ.

Алгоритм решения

Решение

Запишем исходные данные:

100 г = 0,1 кг

10 см = 0,1 м

Когда под действием некой силы начинается двигаться первый стержень, магнитный поток, пронизывающий контур, образованные проводящими рельсами и двумя стержнями, меняется. Это приводит к возникновению в этом контуре электродвижущей силы, которую можно определить с помощью закона электромагнитной индукции для двигающихся стержней:

${\epsilon }_i=vBl\sin .\alpha$

Причем v — это разность скоростей стержней (v₂ – v₁), которая характеризует скорость изменения площади проводящего контура.

Индукционный ток, возникающей в этом контуре, можно выразить, используя закон Ома:

${\epsilon }_i=I{R}_{к}$

где $R_{к}$ — сопротивление контура. Так как стержни соединяются последовательно, и их сопротивления равны R, а сопротивление рельсов ничтожно мало, сопротивление контура равно:

$R_{к}=2R$

Отсюда закон Ома принимает вид:

${\epsilon }_i=2IR$

Тогда ток в контуре равен:

$I=\frac{{\epsilon }_i}{2R}=\frac{vBl\sin .\alpha }{2R}$

С одной стороны на стержни действует сила Ампера, с другой — сила трения, возникающего между ними и рельсами. Так как стержни движутся равномерно, равнодействующая сил, приложенных к ним, равна нулю. Следовательно, сила трения и сила Ампера компенсируют друг друга (их модули равны):

$F_{тр}=F_{А}$

$\mu mg=BIl\sin .\alpha$

Подставим сюда выражение, полученное для силы тока в контуре:

$\mu mg=B\frac{vBl\sin .\alpha }{2R}l\sin .\alpha =\frac{{vB}^2{l}^2{\sin }^2.\alpha }{2R}$

Отсюда скорость равна:

$v=\frac{2\mu mgR}{B^2{l}^2{\sin }^2.\alpha }$

Так как синус угла равен «1»:

На рисунке показана схема электрической цепи, состоящей из источника тока с ЭДС ε = 12 В и внутренним сопротивлением r = 1 Ом, двух резисторов с сопротивлениями R₁ = 7 Ом и R₂ = 4 Ом, конденсатора электроёмкостью С = 3 мкФ и катушки с индуктивностью L = 32 мкГн. Какое количество теплоты выделится на резисторе R₂ после размыкания ключа К? Сопротивлением провода катушки пренебречь. Ответ запишите в мкДж.

Решение

Запишем исходные данные:

3 мкФ = 3∙10^–6 Ф

32 мкГн = 32∙10^–6 Гн

До размыкания ключа электрический ток протекает через последовательно соединённые резисторы R1, R2 и катушку L. После размыкания ключа вся накопленная в элементах цепи энергия выделится в виде тепла на резисторе R₂:

$E=W_{кон}+W_{кат}$

Энергия электрического поля в конденсаторе определяется формулой:

$W_{кон}=\frac{C{U}^2}{2}$

Напряжение U на конденсаторе можно выразит из закона Ома для участка цепи:

$U=I{R}_2$

Чтобы выразить силу тока, потребуется записать закон Ома для полной цепи:

$I=\frac{\epsilon }{R+r}$

Так как в цепи есть два последовательно соединенных резистора, общее сопротивление цепи будет равно сумме их сопротивлений:

$R=R_1+R_2$

Тогда закон Ома для полной цепи примет вид:

$I=\frac{\epsilon }{R_1+R_2+r}$

Тогда напряжение на конденсаторе равно:

$U=\frac{\epsilon R_2}{R_1+R_2+r}$

.

Следовательно, энергия электрического поля в конденсаторе будет равна:

$W_{кон}=\frac{C}{2}{\left(\frac{\epsilon R_2}{R_1+R_2+r}\right)}^2$

Энергия электромагнитного поля в катушке определяется формулой:

$W_{кат}=\frac{L{I}^2}{2}=\frac{L}{2}{\left(\frac{\epsilon }{R_1+R_2+r}\right)}^2$

Следовательно, на втором резисторе выделится энергия, равная:

$E=\frac{C}{2}{\left(\frac{\epsilon R_2}{R_1+R_2+r}\right)}^2+\frac{L}{2}{\left(\frac{\epsilon }{R_1+R_2+r}\right)}^2$

Период свободных электромагнитных колебаний в идеальном колебательном контуре, состоящем из конденсатора и катушки индуктивности, равен 6,3 мкс. Амплитуда колебаний силы тока I_m=5 мА. В момент времени t сила тока в катушке равна 3мА. Найдите заряд конденсатора в этот момент. Ответ  округлите до целых и запишите в нКл.

Алгоритм решения

Решение

Запишем исходные данные:

6,3 мкс = 6,3∙10^–6 с

5 мА = 5∙10^–3 А

3 мА = 3∙10^–3 А

Закон сохранения энергии в колебательном контуре имеет вид:

$W=\frac{L{i}^2}{2}+\frac{q^2}{2C}=\frac{L{I}_{max}^2}{2}$

Запишем формулу Томсона:

$T=2\pi \sqrt{LC}$

Выразим из закона сохранения энергии заряд конденсатора:

$q^2=2С\left(\frac{L{I}_{max}^2}{2}-\frac{L{i}^2}{2}\right)=CL(I_{max}^2-i^2)$

$q=\sqrt{CL(I_{max}^2-i^2)}$

Выразим емкость конденсатора из формулы Томсона:

$\sqrt{LC}=\frac{T}{2\pi }$

$C={\frac{1}{L}\left(\frac{T}{2\pi }\right)}^2$

$q=\sqrt{{\frac{1}{L}\left(\frac{T}{2\pi }\right)}^{2}L(I_{max}^2-i^2)}=\frac{T}{2\pi }\sqrt{I_{max}^2-i^2}$

$4·{10}^{-9}\left(Кл\right)=4\left(нКл\right)$

В электрической цепи, показанной на рисунке, ключ К длительное время замкнут, E=6 В, r = 2 Ом, L = 1 мГн. В момент t = 0 ключ К размыкают. Амплитуда напряжения на конденсаторе в ходе возникших в контуре электромагнитных колебаний равна ЭДС источника. В какой момент времени напряжение на конденсаторе в первый раз достигнет значения E? Сопротивлением проводов и активным сопротивлением катушки индуктивности пренебречь. Ответ запишите в мкс.

Алгоритм решения

Решение

Запишем исходные данные:

1 мГн = 10^–3 Гн

Перед размыканием ключа К ток через конденсатор не идет, по катушке течёт ток:

$I_0=\frac{\epsilon }{r}$

Напряжение на конденсаторе в начальный момент времени равно нулю, так как оно равно нулю на катушке: $U_{0C}=0$ В.

После размыкания ключа К в контуре возникают гармонические колебания напряжения между обкладками конденсатора и тока в контуре. Благодаря начальному условию ($U_{0C}=0$ В) потенциал верхней обкладки конденсатора относительно нижней начинает меняться по закону:

$u=-U_{Cmax}\sin .\omega t$

Знак «–» в формуле связан с тем, что сразу после размыкания ключа К ток приносит положительный заряд на нижнюю обкладку конденсатора.

Циклическую частоту выразим из формулы Томсона:

$\omega =\frac{2\pi }{T}=\frac{1}{\sqrt{LC}}$

Энергия электромагнитных колебаний в контуре сохраняется. Она определяется формулой:

$W=\frac{L{i}^2}{2}+\frac{C{u}^2}{2}=\frac{C{U}_{Cmax}^2}{2}=\frac{L{I}_0^2}{2}$

Выразим максимальное напряжение на конденсаторе:

${CU}_{Cmax}^2=L{I}_0^2$

$U_{Cmax}=I_0\sqrt{\frac{L}{C}}$

Учтем, что амплитуда напряжения на конденсаторе равна напряжению источника тока, а $I_0=\frac{\epsilon }{r}$. Тогда получим:

$U_{Cmax}=\epsilon =I_{0}r=I_0\sqrt{\frac{L}{C}}$

Отсюда:

$\sqrt{\frac{L}{C}}=r$

$C=\frac{L}{r^2}$

Период колебаний в контуре определим через формулу Томсона:

$T=2\pi \sqrt{LC}=2\pi \sqrt{L\frac{L}{r^2}}=2\pi \frac{L}{r}$

Вспомним зависимость напряжения от времени:

$u=-U_{Cmax}\sin .\omega t$

Подставим известные данные для искомого момента времени:

$5=-5\sin .\omega t$

Синус должен быть равен «–1» Это возможно, если с начального момента времени пройдет четверть периода:

$t=\frac{T}{4}=\frac{2\pi }{4}\frac{L}{r}=\frac{\pi }{2}\frac{{10}^{-3}}{2}\approx 7,85·{10}^{-6}\left(с\right)=7,85\left(мкс\right)$

На дне бассейна с водой находится небольшая лампочка. На поверхности воды плавает круглый плот – так, что центр плота находится точно над лампочкой. Определите глубину бассейна Н, если минимальный радиус плота, при котором свет от лампочки не выходит из воды, R = 2,4 м. Сделайте рисунок, поясняющий решение. Толщиной плота пренебречь. Показатель преломления воды n = 4/3.

Алгоритм решения

Решение

Запишем исходные данные:

Выполним рисунок. Проведем перпендикуляры к поверхности: перпендикуляр от точечного источника света, а также нормали, проведенные через края плота.

Чтобы свет лампочки не выходил из воды, лучи света от лампочки, направленные к границе между краем плота и поверхностью воды, должны полностью отражаться. Это возможно только при выполнении следующего условия:

$\sin .\alpha =\frac{1}{n}$

Поскольку вершина S треугольника ABS лежит строго под центром круглого плота, этот треугольник является равнобедренным. Причем перпендикуляр, восстановленный к основанию треугольника AB — SO — делит это основание на 2 равные стороны. Одновременно он делит угол S этого треугольника на 2 равные части, так как он является одновременно перпендикуляром, медианой и биссектрисой.

Пусть $\alpha$ — угол падения луча. Тогда угол OSB будет равен этому углу как накрест лежащие углы.

Треугольник OSB — прямоугольный. Причем искомая величина — глубина бассейна — является одним из его катетов. Из курса геометрии известно, что катет равен произведения второго катета на котангенс прилежащего угла. Второй катет в нашем случае — радиус круглого плота. Прилежащий угол равен углу падения. Следовательно:

$H=R\cot .\alpha$

Котангенс угла определяется как отношение косинуса этого угла к его синусу:

$\cot .\alpha =\frac{\cos .\alpha }{\sin .\alpha }$

Косинус угла можем выразить из основного тригонометрического тождества:

${\sin }^2.\alpha +{\cos }^2.\alpha =1$

Следовательно:

$\cos .\alpha =\sqrt{1-{\sin }^2.\alpha }$

Отсюда котангенс равен:

$\cot .\alpha =\frac{\sqrt{1-{\sin }^2.\alpha }}{\sin .\alpha }$

Тогда глубина бассейна:

$H=R\cot .\alpha =R\frac{\sqrt{1-{\sin }^2.\alpha }}{\sin .\alpha }$

Из закона полного отражения вспомним, что синус угла падения есть величина, обратная показателю преломления воды. Тогда эта формула примет вид:

$H=R\frac{\sqrt{1-{\left(\frac{1}{n}\right)}^2}}{\frac{1}{n}}=Rn\sqrt{1-\frac{1}{n^2}}$

Подставим известные данные и получим:

$H=2,4·\frac{4}{3}\sqrt{1-\frac{1}{{\left(\frac{4}{3}\right)}^2}}=3,2\sqrt{1-\frac{9}{16}}=3,2\frac{\sqrt{7}}{4}\approx 0,8·2,65=2,12\left(м\right)$

.

Равнобедренный прямоугольный треугольник ABC расположен перед тонкой собирающей линзой оптической силой 2,5 дптр так, что его катет AC лежит на главной оптической оси линзы (см. рисунок). Вершина прямого угла C лежит ближе к центру линзы, чем вершина острого угла A. Расстояние от центра линзы до точки A равно удвоенному фокусному расстоянию линзы, AC = 4 см. Постройте изображение треугольника и найдите площадь получившейся фигуры.

Алгоритм решения

Решение

Запишем исходные данные:

4 см = 0,04 м

Построим изображение в линзе. Для этого достаточно построить изображение точки В. Сначала пустим луч, параллельный главной оптической оси, к плоскости линзы. Он будет преломляться, после чего пройдет через фокус. Затем пустим луч через оптический центр. На месте пересечения двух лучей поставим точку и обозначим ее за B´.

Так как точки B и C предмета лежат на одной прямой, перпендикулярной главной оптической оси, для нахождения точки изображения C´ достаточно пустить перпендикуляр от B´ этой оси. На месте пересечения поставим точку и обозначим ее C´.

Рассматривать ход лучей для построения точки A´ тоже не будем. Точка A лежит в плоскости второго фокуса. Значит, она будет находиться в этой же точке и с противоположной стороны линзы. Это легко доказать с помощью формулы тонкой линзы:

$\frac{1}{d}+\frac{1}{f}=\frac{1}{F}$

Если расстояние от предмета до линзы равно 2F, то и расстояние от линзы до его изображения будет 2F:

$\frac{1}{2F}+\frac{1}{f}=\frac{1}{F}$

$\frac{1}{f}=\frac{1}{F}-\frac{1}{2F}=\frac{2-1}{2F}=\frac{1}{2F}$

$f=2F$

Теперь соединим все найденные точки и получим треугольник A´ B´ C´. Найдем его площадь. Поскольку это прямоугольный треугольник, его площадь будет равна половине произведения двух катетов — B´ C´и A´ C´:

$S=\frac{A´C´·B´C´}{2}$

Из формулы оптической силы линзы найдем фокусное расстояние:

$F=\frac{1}{D}=\frac{1}{2,5}=0,4\left(м\right)$

Известно, что точка A находится в точке двойного фокусного расстояния. И ее изображение тоже находится на таком же расстоянии от линзы. Следовательно, чтобы найти длину катета A´ C´, нужно найти расстояние от точки C до ее изображения. Расстояние от этой точки до линзы равно разности двойного фокусного расстояния и длины отрезка AC:

$d_C=2F-AC=2·0,4-0,04=0,76\left(м\right)$

Используя формулу тонкой линзы, вычислим расстояние от линзы до изображения этой точки:

$\frac{1}{0,76}+\frac{1}{f}=\frac{1}{F}$

$\frac{1}{f_C}=\frac{1}{F}-\frac{1}{0,76}=\frac{0,76-F}{0,76F}=\frac{0,76-0,4}{0,76·0,4}$

$f_C=\frac{0,76·0,4}{0,76-0,4}=0,844\left(м\right)$

Тогда длина катета A´ C´ будет равна:

$A´C´=f_C-f_A=f_C-2F=0,844-0,4·2=0,044\left(м\right)$

Треугольники BCO и B´ C´O подобны по 3 углам. Углы O равны как вертикальные. Углы C и C´ как прямые, а B и B´ как накрест лежащие (полученные при пересечении секущей в виде луча через оптический центр и параллельных фокальных плоскостей). Следовательно BC относится к B´ C´ так же, как OC относится к C´O:

$\frac{BC}{B´C´}=\frac{AC}{A´C´}$

Треугольник ABC равнобедренный, поэтому BC = AС. Тогда:

$\frac{AC}{B´C´}=\frac{AC}{A´C´}$

Следовательно:

$B´C´=A´C´$

Отсюда площадь треугольника равна:

$S=\frac{A´C´·A´C´}{2}=\frac{{\left(0,044\right)}^2}{2}=0,000968\left({м}^2\right)=9,68\left({см}^2\right)$

В плоскости, параллельной плоскости тонкой собирающей линзы, по окружности со скоростью v = 5 м/с движется точечный источник света. Расстояние между плоскостями d = 15 см. Центр окружности находится на главной оптической оси линзы. Фокусное расстояние линзы F = 10 см. Найдите скорость движения изображения точечного источника света. Сделайте пояснительный чертёж, указав ход лучей в линзе. Ответ запишите в м/с.

Алгоритм решения

Решение

Запишем исходные данные:

10 см = 0,1 м

15 см = 0,15 м

Выполним рисунок. Для его построения достаточно найти изображение точки А. Затем в противоположную сторону отложим перпендикуляр и на таком же расстоянии от главной оптической оси будет находиться изображение точки B.

Глядя со стороны, мы будем видеть вместо окружности, которую описывает точка, линию AB. Она равн диаметру окружности, по которой движется точка. Обозначим ее радиус OA за r. Изображением окружности будет окружность. Вместо нее мы со стороны также увидим отрезок — A´B´. Обозначим радиус O´A´ за R.

Запишем формулу тонкой линзы и выразим из нее расстояние от изображения до линзы:

$\frac{1}{d}+\frac{1}{f}=\frac{1}{F}$

$\frac{1}{f}=\frac{1}{F}-\frac{1}{d}=\frac{d-F}{Fd}$

$f=\frac{dF}{d-F}$

Формулу линейного увеличения линзы можно определить как отношение радиуса окружности, по которой движется точка-изображение, к радиусу окружности, по которой движется сама точка:

$\Gamma =\frac{R}{r}$

.

Линейное увеличение также определяется формулой:

$\Gamma =\frac{f}{d}$

Следовательно:

$\frac{R}{r}=\frac{f}{d}$

Подставим сюда выражение, найденное для расстояния от изображения до линзы из формулы тонкой линзы:

$\frac{R}{r}=\frac{dF}{d\left(d-F\right)}=\frac{F}{d-F}$

Так как изображение будет двигаться вслед за точкой, то угловые скорости этой точки и изображения будут равны. Поэтому:

$\omega =\frac{v}{r}=\frac{V}{R}$

Отсюда линейная скорость движения изображения равна:

$V=\frac{Rv}{r}=\frac{Fv}{d-F}=\frac{0,1·5}{0,15-0,1}=10\left(\frac{м}{с}\right)$