Многочлены. Действия с многочленами. | теория по математике 🎲 алгебраические выражения

Пример №1.

• –12х⁶+ 35с данный многочлен состоит из двух слагаемых – одночленов, таких как: –12х⁶ и 35с. Еще такой многочлен можно называть двучленом.
• 47с²+11с–34 данный многочлен состоит из трех слагаемых. Такой многочлен можно назвать трехчленом.
• 4х³+13а²–45с+28 данный многочлен состоит из четырех слагаемых – одночленов, таких как: 4х³; 13а²; – 45с; 28.

Стандартный вид многочлена

Вспомним, что слагаемые, содержащие одинаковую буквенную часть или не имеющие буквенной части называют подобными. Если такие слагаемые есть, то их нужно сложить или вычесть, это действие называют приведением подобных слагаемых.

Пример №2.

13х²–6х+11х²

Данный трехчлен имеет подобные слагаемые (они выделены). Они имеют одинаковые знаки, поэтому мы их складываем и получаем 24х². Слагаемое –6х не имеет подобных, поэтому его просто переписываем и получаем многочлен в стандартном виде:

13х²–6х+11х²=24х²–6х

Пример №3.

6а³с⁴+32х–9а³с⁴+45х–16

Данный многочлен имеет две группы подобных слагаемых, одна выделена красным цветом, вторая синим цветом, слагаемое –16 не имеет подобных, поэтому его просто перепишем. Приводим подобные слагаемые и получаем многочлен стандартного вида:

6а³с⁴+32х–9а³с⁴+45х–16= –3а³с⁴+77х–16

Степень многочлена

Пример №4.

4с⁶+7а⁹–18х

Степень многочлена, записанного в стандартном виде, равна 9, так как одночлен 7а⁹ имеет степень равную 9 и она наибольшая по сравнению со степенями одночленов 4с⁶ и –18х.

Пример №5.

13х⁴у⁷+12х³у⁶–13

степень данного многочлена стандартного вида находим по наибольшей степени каждого одночлена: одночлен 13х⁴у⁷ имеет 11 степень, так как складываем показатели 4 и 7; одночлен 12х³у⁶ имеет соответственно 9 степень, а –13 имеет степень равную нулю (не содержит переменных). Таким образом, получается, что наибольшая степень равна 11, значит и степень всего многочлена равна 11.

Пример №6.

6а⁵+8ас+2а⁵–11ас

Данный многочлен не является многочленом стандартного вида, поэтому сначала приведем подобные слагаемые, получим 6а⁵+8ас+2а⁵–11ас=8а⁵–3ас. Теперь найдем степень у каждого одночлена: у 8а⁵ пятая степень, у 3ас – вторая (каждая переменная имеет первую степень). Значит, у многочлена 6а⁵+8ас+2а⁵–11ас степень равна 5.

Сложение и вычитание многочленов

Многочлены можно как складывать, так и вычитать. То есть сумму или разность многочленов можно представить в виде многочлена стандартного вида. Рассмотрим на примерах сложение и вычитание многочленов.

Пример №7. Выполним сложение многочленов:

6х²+8х–11 и –9х²+3х+19

Сначала составим их сумму (6х²+8х–11) + (–9х²+3х+19), теперь раскроем скобки, помня о том, что, если перед скобками стоит знак «плюс», то знаки у слагаемых в скобках не изменяются:

6х²+8х–11–9х²+3х+19

Теперь приведем подобные слагаемые и получим многочлен стандартного вида:

–3х²+11х+8

Пример №8. Выполним вычитание многочленов:

7х⁵+12х³–24 и 2х⁵+36х³–11

Составим разность многочленов (7х⁵+12х³– 24) – (2х⁵+36х³–11), раскроем скобки, помня о том, что, если перед скобками стоит «минус», то надо изменить знаки у слагаемых в скобках на противоположные:

7х⁵+12х³– 24 – 2х⁵–36х³+11

Приведем подобные слагаемые и получим многочлен:

5х⁵– 24х³–13

Умножение одночлена на многочлен

Пример №9. Умножим одночлен 7х на многочлен 6х²+3х–5. Запишем в виде произведения:

7х•(6х²+3х–5)

выполним умножение 7х на каждое слагаемое в скобках: 7х•6х²+7х•3х–7х•(–5) и получим:

42х³+21х²+35х

Запись данного выражения можно делать короче, выполняя промежуточные действия устно:

7х•(6х²+3х–5)= 42х³+21х²+35х

Пример №10.

92с(–2с+10а⁶)= –184с²+920са⁶

Здесь выполнение умножения одночлена на многочлен выполнено без записи промежуточных действий умножения.

Умножение многочлена на многочлен

Пример №11. Умножим многочлен (а+с) на многочлен (х+с).

Составим произведение (а+с)(х+с); умножим сначала а на (х+с), затем с на (х+с); получим:

ах+ас+сх+с²

Получили многочлен в стандартном виде. Здесь были даны простые многочлены, не содержащие степеней. Запись выражения выглядит так:

(а+с)(х+с)=ах+ас+сх+с²

Пример №12. Умножим многочлен 8х³–12х на многочлен 3х⁵–10х. Имеем:

(8х³–12х)(3х⁵–10х)=8х³•3х⁵+8х³•(–10х)–12х•3х⁵–12х•(–10х)=24х⁸–80х⁴ –36х⁶+120х²

Здесь были даны многочлены, содержащие степень, поэтому промежуточное решение лучше расписывать, чтобы не допустить ошибок.

Разложение многочлена на множители

Существуют такие способы для разложения многочлена на множители, как вынесение общего множителя за скобки и разложение на множители способом группировки.

Пример №13. Вынесем общий множитель в выражении 6х⁴ – 20х². Для этого удобнее сначала найти наибольший общий делитель у чисел – это число 2, а затем общий делитель у переменных, которые одинаковы по своей буквенной части, но имеют разные показатели степени. В этом случае общим делителем является переменная в наименьшей степени, то есть х². Запись выглядит следующим образом:

6х⁴ – 20х²=2х²(3х²–10)

При вынесении за скобки степеней помним правило, что при делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаем, а основание оставляем прежним.

Пример №14. Разложим на множители многочлен:

12с⁵х⁷–36с⁶х²+72асх³

Найдем сначала наибольший делитель для чисел 12, 36 и 72, это будет 12. Затем выберем у переменных те, которые имеют наименьшую степень и содержатся в каждом слагаемом, это с и х². Вынесем за скобки 12сх² и получим:

12с⁵х⁷–36с⁶х²+72асх³=12сх²(с⁴х⁵–3с⁵+6ах)

Сделаем вывод, что вынесение общего множителя за скобки – это выполнение действия деления каждого члена многочлена на его общий делитель.

Пример №15. Разложим на множители многочлен:

ах+сd+cx+ad

Сгруппируем, например, слагаемые первое с последним, а второе с третьим (можно было первое с третьим, а второе с последним):

(ах+ad)+(сd+cx)

Теперь видим, что в каждой группе есть множитель, который можно вынести за скобки:

(ах+ad)+(сd+cx)= а(х+d)+с(d+x)

В полученном выражении видно, что в обеих скобках есть сумма х и d, вынесем эту сумму снова за скобки:

(ах+ad)+(сd+cx)= а(х+d)+с(d+x)= (х+d)(с+а)

Таким образом, мы получили произведение двух выражений, то есть разложили  данный многочлен на множители.

Пример №16. Разложим на множители многочлен:

7a–7b+an–bn

Сгруппируем по порядку, чтобы знаки у слагаемых в скобках были одинаковые:

7a–7b+an–bn=(7a–7b)+(an–bn)

Вынесем общий множитель в каждой группе:

7a–7b+an–bn=(7a–7b)+(an–bn) =7(a–b)+n(a–b)

Вынесем за скобки одинаковые выражения:

7a–7b+an–bn=(7a–7b)+(an–bn) =7(a–b)+n(a–b)=(a–b)(7+n)

Пример №17. Разложим на множители многочлен:

х⁵–х³–х²+1

Сгруппируем по порядку, обращая внимание на знак перед х²:

х⁵–х³–х²+1 =(х⁵–х³)–(х²–1)

Если перед первым слагаемым, которое мы заключаем в скобки, стоит знак «минус», то мы ставим его перед скобкой, а знаки у слагаемых в скобках изменяем на противоположные. Тогда у нас в обеих скобках получатся одинаковые знаки.

Выносим за скобки общий множитель. В данном случае он есть только в первых скобках:

х⁵–х³–х²+1 =(х⁵–х³)–(х²–1)= х³(х²–1)–(х²–1)

Выносим за скобки одинаковые выражения, обращая внимание на то, что перед второй скобкой не записан общий множитель, значит, он равен 1:

х⁵–х³–х²+1 =(х⁵–х³)–(х²–1)= х³(х²–1)–(х²–1)=(х²–1)(х³–1)

Вся теория