Рассмотрим на примерах решение таких уравнений.
Пример №1. Решить уравнение:
х4–25х2+144=0
В данном уравнении заменим х2 на переменную, например а (букву для замены можно брать любую): х2=а. Степень данного уравнения при этом понизится на 2, получаем квадратное уравнение:
а2–25а+144=0
Решаем данное уравнение, например, по теореме Виета. Тогда:
а1+а2=25, а1а2=144
Методом подбора получаем корни квадратного уравнения 9 и 16. Проверяем, что действительно 9+16=25, 916=144. Теперь переходим к нахождению корней биквадратного уравнения, которое дано по условию. Мы заменяли х2 на а, поэтому подставляем вместо а полученные значения – это 9 и 16:
х2=9; х2=16
Теперь находим корни каждого из этих неполных квадратных уравнений: х2=9, отсюда уравнение имеет два корня ±3; х2=16, отсюда имеет еще два корня ±4. Следовательно, данное биквадратное уравнение имеет четыре корня: 3, -3, 4, -4.
Пример №2. Решить уравнение:
х4–3х2–4=0
Заменим на переменную у: х2=у. Получим уравнение:
у2–3у–4 =0
Найдем его корни: у1=–1, у2=4. Подставим корни вместо у и получим уравнения: х2=–1; х2=4. Видим, что первое неполное квадратное уравнение не имеет корней, а корни второго уравнения – это ±2. Значит, данное биквадратное уравнение имеет корни ±2.
Пример №3. Решить уравнение:
х4–8х2+20=0
Выполним замену переменной: х2=у. Решим уравнение:
у2–8у+20=0
Подбором корни найти невозможно, поэтому через дискриминант получаем, что корней нет, так как дискриминант будет отрицательный. Значит и данное биквадратное уравнение тоже не имеет корней.