Очень часто нам встречаются выражения, которые требуют различных преобразований. Для того, чтобы это короче выполнять в некоторых случаях, существуют специальные формулы сокращенного умножения.
Если сравнить два этих правила и формулы, то видно, что при возведении в квадрат есть отличие в знаках только перед удвоенным произведением. Рассмотрим применение данных формул на примерах.
Пример №1. Преобразуем выражение в многочлен: (с+8)2. По правилу выполняем последовательно: квадрат первого выражения это с2; удвоенное произведение первого и второго выражения – это 2с8; квадрат второго выражения – это 82. Выполним запись: (с+8)2=с2+2с8+82. Теперь выполним умножение и возведение в степень чисел: (с+8)2=с2+2с8+82=с2+16с+64. Получим многочлен. Промежуточные действия, выделенные жирным шрифтом, можно не записывать, а выполнять их устно.
Пример №2. Представим в виде многочлена выражение (2х–11)2. Выполним возведение в квадрат по правилу квадрата разности двух выражений: (2х–11)2=(2х)2–2•2х•11+112=4х2–44х+121.
Пример №3. Представим в виде многочлена квадрат двучлена (–9х+4у)2. В данном выражении на первом месте стоит отрицательное число, на втором положительное, что не привычно для нас по работе с формулой. Но мы знаем, что можно просто поменять слагаемые местами, тогда получится разность двух выражений, которую возводим в квадрат по соответствующей формуле: (–9х+4у)2=(4у–9х)2=16у2–72ху+81х2.
Пример №4. Представим в виде многочлена выражение (–6с–10)2. Данное выражение содержит два слагаемых с минусом. Надо просто запомнить, что оно будет равносильно выражению (6с+10)2, потому что квадраты противоположных чисел равны (а2=(–а)2) . Возведем данное выражение в квадрат по формуле квадрата суммы двух выражений: (–6с–10)2=(6с+10)2=36с2+120с+100.
Используя данные формулы, можно возводить в куб сумму и разность двух выражений. В данном случае не нужно выполнять промежуточные действия устно, чтобы избежать ошибок.
Пример №5. Возведем в куб сумму с+5а. Всё выполним и распишем строго по формуле:
(с+5а)3=с3+3с2 •5а+3с(5а)2+(5а)3=с3+15ас2+75а2с+125а3.
Пример №6. Возведем в куб разность:
(х–10)3=х3–3х210+3х102–103=х3–30х2+300х–1000.
Пример №7. Выполним умножение: (4–с)(4+с)=42–с2=16–с2 в данном выражении выполнили всё в соответствии с формулой: возвели в квадрат 4 и число с. Промежуточные записи (выделены жирным шрифтом) можно не делать, а выполнять их устно.
Пример №8. Упростим выражение: (5с+а)(5с–а)=25с2–а2 в данном выражении мы видим, что первый множитель сумма, а второй – разность. Для выполнения задания по данной формуле это не имеет значения, так как мы знаем, что от перестановки множителей произведение не изменяется.
Применение формул сокращенного умножения для разложения многочленов на множители
Рассмотрим тождество, которое называют разностью квадратов двух выражений:
a2–b2=(a–b)(a+b)
Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы. Эту формулу применяют для разложения на множители многочлена, содержащего разность квадратов. Рассмотрим на примерах.
Пример №9. Разложить на множители многочлен 100–с2. Из условия видно, что число 100 – это квадрат числа 10, следовательно, 100–с2=102–с2, значит можно разложить на множители по формуле: 100–с2=102–с2=(10–с)(10+с). Выделенное жирным шрифтом выражение можно не записывать, а выполнять устно.
Пример №10. Разложить на множители: х2у2–81=(ху–9)(ху+9). В данном выражении выполнено всё в соответствии с формулой, промежуточные записи не использованы.
Пример №11. Представим в виде произведения: х4–36=(х2–6)(х2+6). В данном выражении мы видим, что степень переменной может быть не только вторая, но и любая четная, чтобы ее можно было представить в виде квадрата переменной.
Пример №12. Представим в виде произведения х10с6–25=(х5с3–5)(х5с3+5). Здесь показаны разные четные степени переменных.
Для разложения на множители суммы и разности кубов существуют определенные правила и формулы.
Пример №13. Разложим на множители многочлен 8+с3. В данном случае мы видим число 8, которое нужно представить в виде куба числа, это будет 23. Значит, 8+с3=23+с3. Далее распишем по формуле суммы кубов: 8+с3=23+с3=(2+с)(4–2с+с2).
Пример №14. Запишем в виде произведения разность х3–а12. В этом выражении есть степень, отличная от третьей, поэтому представим а12 в виде куба числа (а4)3. Получим: х3–а12=х3–(а4)3. Разложим на множители по формуле разности кубов: х3–а12=х3–(а4)3=(х–а4)(х2+ха4+а8).
Разложение многочлена формулой квадрата суммы и разности
Формулы квадрата суммы и квадрата разности также используют для разложения многочлена на множители. Для этого формулы записываются в обратном порядке, то есть меняются левая и правая части местами:
a2+2ab+b2=(a+b)2
a2–2ab+b2=(a–b)2
Пример №15. Преобразовать трехчлен 4х2+12х+9 в квадрат двучлена. Для этого определим, где здесь числа, которые можно представить в виде квадрата, это будут 4х2 и 9, так как 4х2=(2х)2, а 9=32. Соответственно проверим, является ли 12х удвоенным произведением чисел 2х и 3: 22х3=12х. Выполняем запись: 4х2+12х+9=(2х)2+2•2х•3+32=(2х+3)2. Обычно промежуточное действие (выделено жирным) не записывается, квадраты чисел определяются устно.
Пример №16. Разложить на множители многочлен –16с+с2+ Определяем, где здесь квадраты чисел – это с2 и 64=82. Слагаемое –16с не может быть квадратом числа, так как оно отрицательное и степень числа с первая, поэтому –16с это удвоенное произведение чисел с и 8. Выполняем разложение на множители: –16с+с2+64=(с–8)2. Обратим внимание на тот момент, что числа с и 8 можно записывать наоборот в ответе, так как квадраты противоположных чисел равны, то есть –16с+с2+64=(8–с)2
P.S. Все формулы на одной картинке:
