Вспомним, что в зависимости от знака неравенства, их называют строгие знаки (< и >) или нестрогие знаки (≤ и ≥).
Решением неравенства с одной переменной является значение переменной, при котором данное неравенство обращается в верное числовое неравенство.
Решить неравенство – это значит найти все его решения или доказать, что решений нет.
При решении неравенства с одной переменной пользуются следующими свойствами.
Рассмотрим решение линейных неравенств с одной переменной на примерах.
Пример №1. Решить неравенство:
6х–13<x–3
Перенесем слагаемые из одной части в другую, изменяя знаки у слагаемых, которые будем переносить, на противоположные:
6х–x < –3+13
Теперь приведем подобные слагаемые в каждой части неравенства: 5х<10. Дальше разделим обе части неравенства на число 5 (коэффициент при х), получим: х<2. Множество решений данного неравенства состоит из всех чисел, которые меньше минус двух. Ответ можно записать в виде неравенства х<2, либо в виде числового промежутка (–∞;-2). Вспомним, что около знака «бесконечность» всегда ставится круглая скобка, а так как неравенство строгое (знак «меньше»), то и у числа два также ставится «круглая» скобка). Это множество чисел можно показать на числовом луче (точка, которая показывает число 2, будет «выколотая», так как неравенство строгое):
Пример №2. Решить неравенство:
12–2х≤х–6
Выполним перенос слагаемых:
–х–2х–6–12
Приведем подобные слагаемые: –3х–18. Разделим обе части неравенства на минус три и изменим знак неравенства на противоположный: х≥6. Значит, множество решений данного неравенства – это все числа, которые больше или равны 6. Ответ можно записать, как в виде нестрогого (знак «больше или равно») неравенства х≥6, так и в виде числового промежутка [6;+), (видим около числа 6 «квадратную» скобку), показав его на числовом луче, где точка, обозначающая число 6, закрашена, ее называют «приколотой» точкой, так как неравенство нестрогое.
Пример №3. Решить неравенство:
3х–15<3x–56
Выполняя перенос слагаемых и приведение подобных, получим неравенство:
0х<–41
Данное неравенство при любом значении х будет иметь вид 0<–41, что является неверным. Значит, оно не имеет решений, следовательно, и данное по условию неравенство не имеет решений.
Пример №4. Решить неравенство:
5х+24>5x+14
Выполним все необходимые действия, получим:
0х>–10
Данное неравенство при любом значении х будет иметь вид 0>–10, а это верное неравенство, значит х – любое число. Следовательно, ответ в данном неравенстве – «х – любое число».