Обыкновенные дроби | теория по математике 🎲 числа и вычисления

Чтобы решить данное задание, необходимо понимать, что выполнять действия умножение и деление степеней мы можем в том случае, если они имеют одинаковые основания. Поэтому разложим на множители основание 36 нашего числителя так, чтобы вместо 36 были числа 4 и 3, которые есть в знаменателе.

$\frac{{(3\bullet 3\bullet 4)}^n}{{4^{n-2}\bullet 3}^{2n-1}}$

Теперь представим каждый множитель в виде степени:

$\frac{{3^n\bullet 3^n\bullet 4}^n}{{4^{n-2}\bullet 3}^{2n-1}}$

Разложим знаменатель дроби на множители по свойству степеней

$\frac{{3^n\bullet 3^n\bullet 4}^n}{{{4^n{\bullet 4}^{-2}{\bullet 3}^{2n}{\bullet 3}^{-1}}^{}}^{}}$

Теперь можно сократить числитель и знаменатель на $3^n$ и в $4^n$ степени

Получим дробь, которую преобразуем по свойству степеней:

$\frac{1}{{{4^{-2}{\bullet 3}^{-1}}^{}}^{}}$= $\frac{4^2\bullet 3^1}{1}=16\bullet 3=48$

Найдите значение выражения:

Упрощение заданного выражения нужно начать с преобразований в скобках. Здесь следует привести дроби к общему знаменателю:

теперь переходим от деления дробей к их умножению:

затем 1) сокращаем дроби на 5ab; 2) в числителе первой дроби раскладываем выражение, используя формулу сокращенного умножения для разности квадратов:

сокращаем выражение на (a–5b):

Представим числовые значения для a и b в виде неправильных дробей (для удобства вычислений):

Подставим полученные значения в выражение и найдем конечный результат:

Найдите значение выражения при x = 12:

Выполним тождественные преобразования выражения, чтобы упростить его. 1-й шаг – переход от деления дробей к их умножению:

далее в знаменателе второй дроби сворачиваем выражение по формуле сокращенного умножения (используем ф-лу для квадрата суммы):

теперь сокращаем выражение (в числителе первой дроби и в знаменателе второй) и приходим к окончательно упрощенному виду:

Подставляем числовое значение для х в полученное выражение и находим результат:

Найдите значение выражения

где a = 9, b = 36

В первую очередь в заданиях такого типа необходимо упростить выражение, а затем подставить числа. Приведем выражение к общему знаменателю — это b, для этого умножим первое слагаемое на b, после этого получим в числителе:

9b² + 5a — 9b²

Приведем подобные слагаемые — это 9b² и  — 9b², в числителе остается 5a. Запишем конечную дробь:

5a/b

Вычислим её значение, подставив числа из условия:

5•9/36 = 1,25

Найдите значение выражения:

при x = √45 , y = 0,5

Итак, в данном задании при вычитании дробей нам необходимо привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель — это 15 x y, для этого необходимо первую дробь домножить на 5 y — и числитель и знаменатель, естественно:

Далее, после того как дроби приведены к общему знаменателю, можно производить вычисления. Вычислим числитель:

5 y — (3 x + 5 y) = 5 y — 3 x — 5 y = — 3 x

Тогда дробь примет вид:

Выполнив простые сокращения числителя и знаменателя на 3 и на x, получим: — 1/5 y

Подставим значение y = 0,5:  — 1 / (5 • 0,5) = — 1 / 2,5 =  — 0,4

Найдите значение выражения:

при a = 13, b = 6,8

В данном случае, в отличие от первого, мы будем упрощать выражение вынося за скобки, а не раскрывая их.

Сразу можно заметить, что b присутствует у первой дроби в числителе, а у второй — в знаменателе, поэтому можем их сократить. Семь и четырнадцать тоже сокращаются на семь:

Далее выносим из числителя второй дроби a:

 Сокращаем (a-b):

 И получаем:

a/2

Подставляем значение a = 13:

13 / 2 = 6,5

Какое из данных ниже чисел является значением выражения?

Заметим, что в знаменателе присутствует разность (4 — √14), от которой нам необходимо избавиться. Как же это сделать?

Для этого вспоминаем формулу сокращенного умножения, а именно разность квадратов! Чтобы правильно её применить в этом задании необходимо помнить правила обращения с дробями. В данном случае вспоминаем, что дробь не изменяется, если числитель и знаменатель домножить на одно и то же число или выражение. Для разности квадратов нам не хватает выражения (4 + √14), значит, домножим на него числитель и знаменатель.

После этого в числителе получим 4 + √14, а в знаменателе разность квадратов: 4² — (√14)². После этого знаменатель легко вычисляется:

16 — 14 = 2

Суммарно наши действия выглядят так:

Аналогично предыдущим заданиям вычисляем знаменатель: для этого приводим дроби к общему знаменателю — это 84. Для этого первую дробь умножаем на 4, а вторую на 3, получим:

1/21 + 1/28 = 4/84 + 3/84

Затем складываем:

4/84 + 3/84 = 7/84

Итак, мы получили в знаменателе 7/84, теперь делим числитель на знаменатель — это все равно что умножить 1 на обратную 7/84 дробь:

1 / ( 7 / 84 ) = 1 •84/7 = 84/7

Далее остается поделить 84 на 7:

84 / 7 = 12

Можно решать задачу напрямую — вычисляя значения последовательно, это не должно составить труда, однако решение будет долгим и с большими вычислениями. Здесь можно заметить, что   1/3 присутствует как в уменьшаемом — 6 • (1/3)², так и в вычитаемом — 17  • 1/3, поэтому её можно легко вынести за скобку.

1/3 • (6 • (1/3)  — 17 )

Проведя вычисления в скобках, получим:

1/3 • ( 6 • (1/3)  — 17 ) = 1/3 • (6 /3  — 17 ) = 1/3 • ( 2  — 17 ) = 1/3 • ( -15 )

Теперь умножим полученное значение -15 на 1/3:

1/3 • ( -15 ) = -5