Конденсатор, катушка и резонанс в цепи переменного тока | теория по физике 🧲 колебания и волны

Опишем колебания, которые происходят в цепи переменного тока при включении в нее конденсатора и катушки индуктивности. А также рассмотрим условия, при выполнении которых в цепи переменного тока наступает резонанс. Получим формулы для вычисления амплитуд напряжений, введем понятия емкостного и индуктивного сопротивления и выясним, какую роль играют эти величины.

Конденсатор в цепи переменного тока

Постоянный ток не может существовать в цепи, содержащий конденсатор. Движению электронов препятствует диэлектрик, расположенный между обкладками. Но переменный ток в такой цепи существовать может, что доказывает опыт с лампой (см. рисунок ниже).

Пусть фактически такая цепь разомкнута, но если по ней течет переменный ток, конденсатор то заряжается, то разряжается. Ток, текущий при перезарядке конденсатора нагревает нить лампы, и она начинает светиться.

Найдем, как меняется сила тока в цепи, содержащей только конденсатор, если сопротивление проводов и обкладок конденсатора можно пренебречь (см. рис. выше). Напряжение на конденсаторе будет равно:

$u={\phi }_1-{\phi }_2=\frac{q}{C}$

Учтем, что напряжение на конденсаторе равно напряжению на концах цепи:

$\frac{q}{C}=U_{max}\cos .\omega t$

Следовательно, заряд конденсатора меняется по гармоническому закону:

$q={CU}_{max}\cos .\omega t$

Тогда сила тока, представляющая собой производную заряда по времени, будет равна:

$i=q´={-CU}_{max}\sin .\omega t={CU}_{max}\cos .(\omega t+\frac{\pi }{2})$

Следовательно, колебания силы тока опережают колебания напряжения на конденсаторе на $\frac{\pi }{2}$ (см. график ниже). Это означает, что в момент, когда конденсатор начинает заряжаться, сила тока максимальна, а напряжение равно нулю. После того, как напряжение достигнет максимума, сила тока становится равной нулю и т.д.

Амплитуда силы тока равна:

$I_{max}=U_{max}C\omega$

Примем, что:

$\frac{1}{C\omega }=X_C$

Также будем использовать действующие значения силы тока и напряжения. Тогда получим, что:

Обратите внимание, что на протяжении четверти периода, когда конденсатор заряжается до максимального напряжения, энергия поступает в цепь и запасается в конденсаторе в форме энергии электрического поля. В следующую четверть периода (при разрядке конденсатора), эта энергия возвращается в сеть.

Пример №1. Максимальный заряд на обкладках конденсатора колебательного контура $q_{max}={10}^{-6}$ Кл. Амплитудное значение силы тока в контуре $I_{max}={10}^{-3}$ А. Определите период колебания (потерями на нагревание проводника пренебречь).

Согласно закону сохранения энергии максимальное значение энергии электрического поля конденсатора равно максимальному значения магнитного поля катушки:

$\frac{q_{max}^2}{2C}=\frac{L{I}_{max}^2}{2}$

Отсюда:

$LC=\frac{q_{max}^2}{I_{max}^2}$

$\sqrt{LC}=\frac{q_{max}}{I_{max}}$

$T=2\pi \sqrt{LC}=2\pi \frac{q_{max}}{I_{max}}=2·3,14\frac{{10}^{-6}}{{10}^{-3}}\approx 6,3·{10}^{-3}\left(с\right)$

Катушка индуктивности в цепи переменного тока

Соберем две электрических цепи, состоящих из лампы накаливания, катушки индуктивности и источника питания: в первом случае постоянного, во втором — переменного (см. рисунки «а» и «б» ниже).

Опыт покажет, что в цепи постоянного тока лампа светится ярче по сравнению с той, что включена в цепь переменного тока. Это говорит о том, что сила тока в цепи постоянного тока выше действующего значения силы тока в цепи переменного тока.

Результат опыта легко объясняется явлением самоиндукции. При подключении катушки к постоянному источнику тока сила тока нарастает постепенно. Возрастающее при нарастании силы тока вихревое электрическое поле тормозит движение электронов. Лишь спустя какое-то время сила тока достигает наибольшего значения, соответствующему данному постоянному напряжению.

Если напряжение быстро меняется, то сила тока не успевает достигнуть максимального значения. Поэтому максимальное значение силы тока в цепи переменного тока с катушкой индуктивности ограничивается индуктивность. Чем больше индуктивность и чем больше частота приложенного напряжения, тем меньше амплитуда силы переменного тока.

Определим силу тока в цепи, содержащей катушку, активным сопротивлением которой можно пренебречь (см. рисунок ниже). Для этого найдем связь между напряжением на катушке и ЭДС самоиндукции в ней.

Если сопротивление катушки равно нулю, то и напряженность электрического поля внутри проводника в любой момент времени должна равняться нулю. Иначе, согласно закону Ома, сила тока была бы бесконечно большой. Равенство нулю напряженности поля оказывается возможным потому, что напряженность вихревого электрического поля ${\overrightarrow{E}}_i$, порождаемого переменным магнитным полем, в каждой точке равна по модулю и противоположна по направлению напряженности кулоновского поля ${\overrightarrow{E}}_{к}$, создаваемого в проводнике зарядами, расположенными на зажимах источника и в проводах цепи.

Из равенства ${\overrightarrow{E}}_i=-{\overrightarrow{E}}_{к}$ следует, что удельная работа вихревого поля (т.е. ЭДС самоиндукции $e_i$) равна по модулю и противоположна по знаку удельной работе кулоновского поля.

Учитывая, что удельная работа кулоновского поля равна напряжения на концах катушки, можно записать:

$e_i=-u$

Напомним, что сила переменного тока изменяется по гармоническому закону:

$i=I_{max}\sin .\omega t$

Тогда ЭДС самоиндукции равна:

$e_i=-Li´=-L\omega I_{max}\cos .\omega t$

Так как ${u=-e}_i$, то напряжение на концах катушки оказывается равным:

$u=L\omega I_{max}\cos .\omega t=L\omega I_{max}\sin .(\omega t+\frac{\pi }{2})=U_{max}(\omega t+\frac{\pi }{2})$

Амплитуда напряжения равна:

$U_{max}=L\omega I_{max}$

Следовательно, колебания напряжения на катушке опережают колебания силы тока на $\frac{\pi }{2}$, или колебания силы тока отстают от колебаний напряжения на $\frac{\pi }{2}$, что одно и то же.

В момент, когда напряжение на катушке достигает максимума, сила тока равна нулю (см. график ниже).

Но в момент, когда напряжение становится равным нулю, сила тока максимальна по модулю. Амплитуда силы тока в катушке равна:

$I_{max}=\frac{U_{max}}{L\omega }$

Введем обозначение:

$L\omega =X_L$

Также будем использовать вместо амплитуд действующие значения силы тока и напряжения. Тогда получим:

Пример №2. Катушка с индуктивным сопротивлением$X_L=500$ Ом присоединена к источнику переменного напряжения, частота которого ν = 1000 Гц. Действующее значение напряжения U = 100 В. Определите амплитуду силы тока $I_{max}$ в цепи и индуктивность катушки L. Активным сопротивлением пренебречь.

Индуктивное сопротивление катушки выражается формулой:

$X_L=L\omega =2\pi \nu L$

Отсюда:

Так как амплитуда напряжения связана с его действующим значением соотношением $U_{max}=U\sqrt{2}$, то для амплитуды силы тока получаем:

Резонанс в электрической цепи

Механические и электромагнитные колебания имеют разную природу, но процессы, происходящие при этом, идентичны. Поэтому можно предположить, что резонанс в электрической цепи так же реален, как резонанс в колебательной системе, на которую действует периодическая сила.

Напомним, что в механической системе резонанс тем более заметен, чем меньше в колебательной системе трение между ее элементами. Роль трения в электрической цепи играет активное сопротивление R. Ведь именно наличие этого сопротивления в цепи приводит к превращению энергии тока во внутреннюю энергию проводника, который при этом нагревается. Следовательно, резонанс в электрической цепи будет отчетливо наблюдаться при малом активном сопротивлении R.

Если активное сопротивление мало, то собственная частота колебаний в колебательном контуре определяется формулой:

${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$

Сила тока при вынужденных колебаниях должна достигать максимальных значений, когда частота переменного напряжения, приложенного к контуру равна собственной частоте колебательного контура:

${\omega =\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$

После включения внешнего переменного напряжения резонансное значение силы тока в цепи устанавливается не моментально, а постепенно. Амплитуда колебаний силы тока возрастает до тех пор, пока энергия, выделяющаяся за период на резисторе, не сравняется с энергией, поступающей в контур за это же время:

$\frac{I_{max}^{2}R}{2}=\frac{U_{max}{I}_{max}}{2}$

Упростив это уравнение, получим:

$I_{max}R=U_{max}$

Следовательно, амплитуда установившихся колебаний силы тока при резонансе определяется уравнением:

$I_{max}=\frac{U_{max}}{R}$

При сопротивлении, стремящемся к нулю, сила тока возрастает до бесконечно больших значений. При большом сопротивлении сила тока возрастает незначительно. Это хорошо видно на графике ниже.

Пример №3. В цепь переменного тока с частотой ν = 500 Гц включена катушка индуктивностью L = 10 мГн. Какой емкости конденсатор надо включить в эту цепь, чтобы наступил резонанс?

Электрическая цепь, описываемая в условии, представляет собой колебательный контур. Резонанс в этой цепи наступит, когда частота переменного тока будет равна собственной частоте колебательного контура (ν = ν₀).

Но:

${\nu }_0=\frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$

Тогда:

$\nu =\frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$

Отсюда:

Задание ЕГЭ-Ф-ДВ2023-14

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Задание ЕГЭ-Ф-ДВ2023-17

На рисунке приведён график зависимости силы тока от времени в катушке индуктивности идеального колебательного контура. Графики А и Б представляют изменения физических величин, характеризующих колебания в контуре. Установите соответствие между графиками и физическими величинами, зависимость которых от времени эти графики могут представлять. К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию из второго столбца и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.

---

Алгоритм решения:

1.Установить, как с изменением силы тока меняется индуктивность катушки.

2.Установить, как с изменением силы тока меняется напряжение на обкладках конденсатора.

3.Установить, как с изменением силы тока меняется энергия электрического поля конденсатора.

4.Установить, как с изменением силы тока меняется энергия магнитного поля катушки.

5.Найти соответствие между установленными зависимостями физических величин и представленными графиками функций.

6.Сформировать ответ из последовательности выбранных цифр.

Решение:

Индуктивность — физическая величина, численно равная ЭДС самоиндукции, возникающей в контуре при изменении силы тока в нем на 1 Ампер за 1 секунду. Чем больше индуктивность и чем больше частота приложенного напряжения, тем меньше амплитуда силы переменного тока. Следовательно, между индуктивностью и силой переменного тока существует обратно пропорциональная связь. Однако на представленных графиках такой зависимости не наблюдаем. Следовательно, на них не отображается зависимость индуктивности катушки от времени.

Напряжение на обкладках конденсатора определяется формулой:

А сила тока изменяется по закону:

Следовательно, колебания напряжения опаздывают от колебаний силы тока на π/2. Поэтому, когда сила тока максимальна, напряжение равно нулю. Именно это мы наблюдаем на графике Б. Следовательно, цифре Б соответствует цифра 2.

Энергия электрического поля конденсатора определяется формулой:

Следовательно, энергия электрического поля от времени зависит так же, как от него зависит квадрат напряжения. Однако оставшийся график (А) не подходит под это описание.

Энергия магнитного поля катушки определяется формулой:

Следовательно, энергия магнитного поля от времени зависит так же, как от него зависит квадрат силы тока. Под это описание подходит график А. Следовательно, графику А соответствует цифра 4.

Правильная последовательность цифр в ответе — 42.

Ответ: 42

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Задание EF22579

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Задание EF22785

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Задание EF18656

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Вся теория