Движение связанных тел | теория по физике 🧲 динамика

Два груза массами соответственно М₁ = 1 кг и М₂ = 2 кг, лежащие на гладкой горизонтальной поверхности, связаны невесомой и нерастяжимой нитью. На грузы действуют силы F₁ и F₂, как показано на рисунке. Сила натяжения нити Т = 15 Н. Каков модуль силы F1, если F2 = 21 Н?

а) 6 Н

б) 12 Н

в) 18 Н

г) 21 Н

Алгоритм решения

Решение

Запишем исходные данные:

Сделаем чертеж. Систему координат выберем такую, чтобы ось ОУ была параллельная ускорению свободного падения.

Согласно третьему закону Ньютона, два тела действуют друг на друга с равными по модулю, но противоположными по направлению силами. Поэтому модули сил натяжения нити Т₁ и T₂ равны:

T₁ = T₂ = T

Учтем это при записи второго закона Ньютона для каждого из тел:

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси ОХ и ОУ. Сначала для первого тела:

T – F₁ = m₁a

N₁ = m₁g

Теперь для второго тела:

F₂ – T = m₂a

N₂ = m₂g

Выразим из проекции на ось ОХ для 1 тела модуль первой силы:

F₁ = T – m₁a

Из проекции на ось ОХ для второго тела выразим ускорение:

Подставим ускорение в формулу для нахождения силы, действующей на первое тело:

.

.

На вертикальной оси укреплена гладкая горизонтальная штанга, по которой могут перемещаться два груза массами m₁ = 200 г и m₂ = 300 г, связанные нерастяжимой невесомой нитью длиной l = 20 см. Нить закрепили на оси так, что грузы располагаются по разные стороны от оси и натяжение нити с обеих сторон от оси при вращении штанги одинаково (см. рисунок). Определите модуль силы натяжения Т нити, соединяющей грузы, при вращении штанги с частотой 600 об/мин.

Алгоритм решения

Решение

Запишем исходные данные, сразу переведя их в СИ:

Сделаем чертеж, обозначив все силы. Учтем, что сила натяжения нити равна с обеих сторон. Выберем систему координат, в которой ось ОУ параллельна оси вращения.

Запишем второй закон Ньютона для первого и второго груза соответственно:

Запишем проекции на ось ОХ для каждого из тел:

T = m₁a_ц.с.1

T = m₂a_ц.с.2

Центростремительное ускорение также определяется формулой:

a_ц.с. = ω²R

Угловая скорость определяется формулой:

ω = 2πν

Следовательно, центростремительное ускорение равно:

a_ц.с. = 4π²ν²R

Применим эту формулу для обоих грузов:

a_ц.с.1 = 4π²ν²R₁

a_ц.с.2 = 4π²ν²R₂

Сумма радиусов окружностей, по которым вращаются грузы, есть длина нити:

R₁ + R₂ = l

Выразим радиус окружности, по которой вращается второй груз:

R₂ = l – R₁

Так как грузы связаны между собой, и ни один из них не перевешивает другой:

m₁gR₁ = m₂gR₂

Ускорение свободного падения взаимоуничтожается. Получаем:

Подставим радиус второй окружности и выразим радиус первой окружности:

Следовательно, центростремительное ускорение первого груза равно:

Теперь возьмем проекцию на ось ОХ для первого тела и вставим в формулу найденное центростремительное ускорение для первого тела:

Подставим известные данные и вычислим силу натяжения нити:

а) 2,25 Н

б) 2,7 Н

в) 3 Н

г) 3,6 Н

Алгоритм решения

Решение

Запишем исходные данные:

Выполним чертеж и укажем все силы, которые действуют на брусок и груз на нити. Выберем систему координат так, чтобы направление оси ОХ совпадало с направлением движения бруска.

Так как тела связаны, силы натяжения нити на обоих концах равны. Будем обозначать их без индекса. Запишем второй закон Ньютона в векторной форме для первого и второго тела соответственно:

Теперь запишем проекции на ось ОХ и ось ОУ соответственно для бруска:

Запишем проекцию на ось ОУ для груза на нити:

Выразим из этого выражения ускорение и получим:

Из проекции на ось ОХ сил, действующих на брусок, тоже выразим ускорение:

Приравняем правые части уравнений и получим:

Произведем вычисления:

.

Алгоритм решения

Решение

Запишем исходные данные:

Выполним чертеж:

Запишем второй закон Ньютона для 1 и 2 тела соответственно:

Запишем второй закон Ньютона для 1 и 2 тела в проекции на ось ОХ:

F – T₁ = m₁a

T₂ = m₂a

Отсюда масса второго тела равна:

Согласно третьему закону Ньютона, тела действуют друг на друга с равными по модулю, но противоположными по направлению силами. Следовательно, силы натяжения нити равны на обоих концах:

T₁ = T₂ = T

Поэтому:

T = F – m₁a

Из первого выражения выразим ускорение и подставим его во второе:

Подставим в формулу и получим:

.