Механическая энергия и ее виды | теория по физике 🧲 законы сохранения

Спортсмен спускается на парашюте с постоянной скоростью. Как изменяются с течением времени в процессе спуска импульс спортсмена и его потенциальная энергия? Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:

1) увеличивается

2) уменьшается

3) не изменяется

Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.

Алгоритм решения:

1. Установить зависимость импульса тела от времени для случая, рассмотренного в задаче. Выбрать соответствующий вариант ответа.
2. Установить зависимость потенциальной энергии тела от времени для случая, рассмотренного в задаче. Выбрать соответствующий вариант ответа.
3. Записать ответ в виде последовательности выбранных цифр, не разделяя их знаками и пробелами.

Решение:

Импульс тела — векторная величина, равная произведению массы тела и его скорости. По условию задачи, с течением времени скорость спортсмена, спускающегося на парашюте, остается неизменной. Так как масса спортсмена также является постоянной величиной, его импульс с течением времени не меняется. Вариант ответа — 3.

Потенциальная энергия тела — скалярная величина, равная произведению массы этого тела, высоты, на которой он находится, и ускорения свободного падения. Масса и ускорение свободного падения — постоянные величины. Следовательно, потенциальная энергия спортсмена пропорциональна высоте, на которой он находится относительно поверхности земли. Так как спортсмен спускается на парашюте, высота с течением времени уменьшается. Следовательно, с течением времени уменьшается и потенциальная энергия спортсмена. Вариант ответа — 2.

Записываем ответ: 32.

Алгоритм решения:

1. Записать исходные данные. При необходимости перевести единицы измерения величин в СИ.
2. Записать формулу потенциальной энергии пружины.
3. Применить записанную формулу к случаям 1 и 2.
4. Преобразовать формулу и выразить искомую величину (модуль изменения потенциальной энергии растянутой пружины).
5. Подставить известные данные и сделать вычисления.

Решение:

Запишем исходные данные:

• Растяжение пружины в опыте 1: x₁ = 2 см.
• Потенциальная энергия пружины при растяжении на 2 см: E_p1 = 2 Дж.
• Изменение растяжения пружины во втором опыте (по сравнению с растяжением в опыте 1): ∆x = 0,5 см.

В системе СИ единица измерения длины — метр. Поэтому переводим сантиметры в метры:

x₁ = 2 см = 2∙10^–2 м

∆x = 0,5 см = 0,5∙10^–2 м

Потенциальная энергия пружины определяется формулой:

Применим эту формулу к случаям 1 и 2:

Модуль изменения потенциальной энергии растянутой пружины будет равен модулю разности потенциальных энергий в опытах 2 и 1 соответственно:

Из этой формулы неизвестными остаются только растяжение пружины в опыте 2 и жесткость пружины. Растяжение пружины в опыте 2 можно вычислить как разность растяжения пружины в опыте 1 и изменения растяжения:

Жесткость пружины можем выразить из формулы потенциальной энергии растянутой пружины для опыта 1:

Подставляем в конечную формулу:

Подставляем известные данные и делаем вычисления:

Алгоритм решения:

Решение:

Запишем исходные данные:

Переводим единицы измерения величин в СИ:

M = 230 г = 0,23 кг

l = 50 см = 0,5 м

Систему отсчёта, связанную с Землёй, будем считать инерциальной. Тела считаем материальными точками.

Для описания взаимодействия пули и шара используем закон сохранения импульса системы тел. Он выполняется в инерциальной системе отсчёта, если сумма внешних сил, приложенных к телам системы, равна нулю. В данном случае проекции внешних сил (силы тяжести и силы натяжения нити) на горизонтальную ось в момент взаимодействия равны нулю. Следовательно, можно использовать закон сохранения импульса в проекциях на эту ось.

Для дальнейшего движения шара с застрявшей в нём пулей будет справедлив закон сохранения механической энергии, поскольку сопротивлением воздуха по условию задачи можно пренебречь, а единственная неконсервативная сила, действующая на шар, – сила натяжения нити – не совершает работы при движении шара по окружности, поскольку она всюду перпендикулярна скорости движения шара.

Условие минимальности v₀ означает, что шар совершает полный оборот в вертикальной плоскости, но при этом натяжение нити в верхней точке (и только в ней) равен 0.

Применим закон сохранения импульса, согласно которому сумма импульсов всех сил в системе не меняется до и после их взаимодействия. Следовательно:

Так как начальная скорость V шара равна нулю:

Скорость v — скорость движения шара и пули, которые после столкновения движутся как единое тело с массой M + m.

Теперь применим закон сохранения энергии. Учитываем, что в момент столкновения система тел имела максимальную скорость, а соответственно — максимальную кинетическую энергию. Также учитываем, что в верхней точке движения кинетическая энергия системы тел была меньше за счет уменьшения скорости, но не была нулевой. Также в верхней точке траектории система тел обладала максимальной потенциальной энергией. Запишем это так:

Максимальная кинетическая энергия системы тел будет равна:

Кинетическая энергия в верхней точке:

v₁ — скорость системы тел в верхней точке.

Потенциальная энергия равна произведению массы системы тел на ускорение свободного падения и на высоту, на которой находится система в верхней точке — h. Эта высота равна удвоенной длине нити:

Тогда закон сохранения энергии принимает вид:

Также применим законы Ньютона к системе тел в верхней точке траектории. С одной стороны, на нее действует сила тяжести $F_{тяж}=\left(M+m\right)g.$ С другой — центробежная сила — $F_{Ц}=\frac{(M+m)v_1^2}{l}$. В знаменателе используем длину нити, так как она в данном случае равна радиусу окружности, по которой происходит движение системы тел.

Модули этих сил равны. Следовательно:

Или:

Отсюда выразим квадрат скорости в верхней точке:

Подставляем это выражение в закон сохранения энергии:

Или:

Подставляем эту скорость в закон сохранения импульса и выразим из него массу пули:

Подставляем известные значения и находим массу пули:

На рисунке представлен схематичный вид графика изменения кинетической энергии тела с течением времени. Какой из представленных вариантов описания движения соответствует данному графику?

Ответ:

а) Тело брошено под углом к горизонту с поверхности Земли и упало в кузов проезжающего мимо грузовика.

б) Тело брошено под углом к горизонту с поверхности Земли и упало на Землю.

в) Тело брошено под углом к горизонту с поверхности Земли и упало на балкон.

г) Тело брошено вертикально вверх с балкона и упало на Землю.

Алгоритм решения

Решение

Согласно графику, кинетическая энергия тела сначала уменьшалась, а затем увеличилась. Затем она резко уменьшилась до некоторого значения и осталась постоянной.

Кинетическая энергия тела определяется формулой:

Кинетическая энергия зависит прямо пропорциональной от квадрата скорости. Следовательно, когда уменьшается кинетическая энергия, скорость тоже уменьшается. Когда она возрастает — скорость тоже возрастает. Когда она постоянная — скорость тоже постоянна и не равна нулю.

Если тело брошено под углом к горизонту, скорость сначала будет уменьшаться, так как ускорение свободного падения направлено вниз. Если тело бросить вертикально вверх, скорость тоже сначала будет уменьшаться. Но в этом случае при достижении верхней точки траектории на момент скорость тела будет равна нулю. Следовательно, график зависимости кинетической энергии от времени в этот момент тоже должен быть равен нулю. Но это не так. Поэтому последний вариант ответа не подходит.

Если бы тело упало на неподвижный объект, его скорость относительно Земли стала бы равной нулю. Но так как его кинетическая энергия не равна нулю и является постоянной, тело начало двигаться с постоянной скоростью. Это возможно только в случае, если тело упало на объект, движущийся с постоянной скоростью. Поэтому из всех вариантов ответа подходит только первый, когда тело падает в проезжающий мимо грузовик.

К бруску массой 0,4 кг, лежащему на горизонтальной поверхности стола, прикреплена пружина. Свободный конец пружины тянут медленно в вертикальном направлении (см. рисунок). Определите величину потенциальной энергии, запасённой в пружине к моменту отрыва бруска от поверхности стола, если пружина при этом растягивается на 2 см. Массой пружины пренебречь.

Ответ:

а) 40 мДж

б) 20 мДж

в) 80 мДж

г) 200 мДж

Алгоритм решения

Решение

Запишем исходные данные:

Переведем сантиметры в метры:

2 см = 0,02 м

Выполним рисунок. Для описания ситуации нам понадобится только одна ось: Oy.

Потенциальная энергия деформированной пружины определяется формулой:

Так как брусок поднимают за прикрепленную к нему пружину медленно, можно считать, что это движение равномерное (и прямолинейное). Поэтому, согласно второму закону Ньютона:

F_т = F_упр

Чтобы оторвать брусок от поверхности стола, модуль силы тяги должен быть равен модулю силы тяжести. Поэтому:

F_т = F_тяж =F_упр

Или:

mg = k∆l

Теперь можем выразить жесткость пружины:

Подставим жесткость пружины в формулу потенциальной энергии и сделаем вычисления:

Тело массой 200 г движется вдоль оси Ох, при этом его координата изменяется во времени в соответствии с формулой х(t) = 10 + 5t– 3t²(все величины выражены в СИ).

Установите соответствие между физическими величинами и формулами, выражающими их зависимости от времени в условиях данной задачи.

К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию из второго столбца и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.

Алгоритм решения

Решение

Из условия задачи известна только масса тела: m = 200 г = 0,2 кг.

Так как тело движется вдоль оси Ox, уравнение движения тела при прямолинейном равноускоренном движении имеет вид:

$x\left(t\right)=x_0+v_{0}t+\frac{a{t}^2}{2}$

Теперь мы можем выделить кинематические характеристики движения тела:

Перемещение тела определяется формулой:

$s=v_{0}t+\frac{a{t}^2}{2}$

Начальная координата не учитывается, так как это расстояние было уже пройдено до начала отсчета времени. Поэтому перемещение равно:

$x\left(t\right)=v_{0}t+\frac{a{t}^2}{2}=5t-3t^2$

Кинетическая энергия тела определяется формулой:

$E_k=\frac{m{v}^2}{2}$

Скорость при прямолинейном равноускоренном движении равна:

$v=v_0+at=5-6t$

Поэтому кинетическая энергия тела равна:

$E_k=\frac{m{(5-6t)}^2}{2}=\frac{0,2}{2}{(5-6t)}^2=0,1{(5-6t)}^2$

Следовательно, правильная последовательность цифр в ответе будет: 34.

.

.

Высота полёта искусственного спутника над Землёй увеличилась с 400 до 500 км. Как изменились в результате этого скорость спутника и его потенциальная энергия?

Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:

Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.

Алгоритм решения

Решение

На спутник действует сила притяжения Земли, которая сообщает ему центростремительное ускорение:

$F=m{a}_{ц}=G\frac{mM}{({R+h)}^2}$

Отсюда центростремительное ускорение равно:

$a_{ц}=G\frac{M}{{(R+h)}^2}$

Но центростремительное ускорение также равно:

$a_{ц}=\frac{v^2}{(R+h)}$

Приравняем правые части выражений и получим:

$G\frac{M}{{(R+h)}^2}=\frac{v^2}{(R+h)}$

$v^2=\frac{MG(R+h)}{{(R+h)}^2}=\frac{MG}{(R+h)}$

Квадрат скорости спутника обратно пропорционален радиусу вращения. Следовательно, при увеличении высоты увеличивается радиус вращения, а скорость уменьшается.

Потенциальная энергия спутника определяется формулой:

E_p = mgh

Видно, что потенциальная энергия зависит от высоты прямо пропорционально. Следовательно, при увеличении высоты потенциальная энергия спутника тоже увеличивается.

Верная последовательность цифр в ответе: 21.