Самоиндукция | теория по физике 🧲 магнетизм

Алгоритм решения:

1. Записать исходные данные.
2. Записать формулу, характеризующую максимальную энергию магнитного поля катушки.
3. Определить отношение максимальных энергий магнитного поля катушки 2 к 1.

Решение:

Запишем исходные данные:

• Разность потенциалов конденсатора: U₁ = U2 = U₀.
• Индуктивность катушки 1: L₁ = L.
• Индуктивность катушки 2: L₂ = 5L.

Максимальная энергия магнитного поля катушки, включенной в цепь с конденсатором, равна половине произведения индуктивности катушки и квадрата максимальной силы тока:

Она также равна максимальной энергии электрического поля конденсатора:

Максимальная энергия магнитного поля катушки в случае 1 равна:

Максимальная энергия магнитного поля катушки в случае 2 равна:

В обоих случаях эта энергия ограничивается энергией электрического поля конденсатора:

Следовательно:

Отсюда следует, что отношение:

Катушка, обладающая индуктивностью L, соединена с источником питания с ЭДС ε и двумя одинаковыми резисторами R. Электрическая схема соединения показана на рис. 1. В начальный момент ключ в цепи разомкнут.

В момент времени t=0 ключ замыкают, что приводит к изменениям силы тока, регистрируемым амперметром, как показано на рис. 2. Основываясь на известных физических законах, объясните, почему при замыкании ключа сила тока плавно увеличивается до некоторого нового значения – I₁. Определите значение силы тока I₁. Внутренним сопротивлением источника тока пренебречь.

Алгоритм решения

Решение

На рисунке 1 изображена схема, в которой катушка индуктивности подключена последовательно к двум параллельно соединенным резистором и источнику тока. Амперметр тоже соединен с катушкой последовательно, следовательно, он определяет силу тока, проходящую через нее.

Для описания процесса можно подходит закон Ома для полной цепи и формула ЭДС самоиндукции, которая будет возникать при изменении силы тока в цепи:

$I{R}_{общ}=\epsilon +{\epsilon }_{is}$

${\epsilon }_{is}=-L\frac{\Delta I}{\Delta t}$

До замыкания ключа общее сопротивление цепи равно сопротивлению одного резистора — R. Так как ток в этом случае постоянный, ЭДС самоиндукции отсутствует. Тогда закон Ома принимает вид:

$I_0=\frac{\epsilon }{R}$

Когда ключ замыкается, сопротивление в цепи уменьшается вдвое, так как подключается второй резистор:

$\frac{1}{R_{общ}}=\frac{1}{R}+\frac{1}{R}=\frac{2}{R}$

$R_{общ}=0,5R$

Изменение сопротивления в цепи вызывает изменение силы тока. В результате возникает ЭДС самоиндукции. Она препятствует изменению силы тока через катушку в соответствии с правилом Ленца. Поэтому сила тока через катушку при замыкании ключа не претерпевает скачка.

Постепенно ЭДС самоиндукции уменьшается до нуля, а сила тока через катушку плавно возрастает до значения:

$I_1=\frac{\epsilon }{0,5R}=2I_0$

На рисунке 2 начальная сила тока равна 3 А. Следовательно:

$I_1=3·2=6\left(А\right)$

В электрической цепи, показанной на рисунке, ЭДС и внутреннее сопротивление источника тока соответственно равны 12 В и 1 Ом, ёмкость конденсатора 2 мФ, индуктивность катушки 36 мГн и сопротивление лампы 5 Ом. В начальный момент времени ключ К замкнут. Какая энергия выделится в лампе после размыкания ключа? Сопротивлением катушки и проводов пренебречь. Ответ записать в мДж.

Алгоритм решения

Решение

Запишем исходные данные:

2 мФ = 2∙10^–3 Ф

36 мГн = 36∙10^–3 Гн

Пока ключ замкнут, через катушку L течёт ток определяемый внутренним сопротивлением источника и сопротивлением лампочки. Его можно вычислить, используя закон Ома для полной цепи:

$I=\frac{\epsilon }{R+r}$

При этом конденсатор будет заряжен до напряжения U, которое определяется законом Ома для участка цепи:

$U=IR$

Подставив в это выражение закон Ома для полной цепи, получим:

$U=\frac{\epsilon R}{R+r}$

Энергия электрического поля в конденсаторе определяется формулой:

$W_{кон}=\frac{C{U}^2}{2}=\frac{C}{2}{\left(\frac{\epsilon R}{R+r}\right)}^2$

Энергия электромагнитного поля в катушке определяется формулой:

$W_{кат}=\frac{L{I}^2}{2}=\frac{L}{2}{\left(\frac{\epsilon }{R+r}\right)}^2$

После размыкания ключа начинаются затухающие электромагнитные колебания, и вся энергия, запасённая в конденсаторе и катушке, выделится на лампе:

$E=W_{кон}+W_{кат}=\frac{C}{2}{\left(\frac{\epsilon R}{R+r}\right)}^2+\frac{L}{2}{\left(\frac{\epsilon }{R+r}\right)}^2$

Катушка индуктивности подключена к источнику тока с пренебрежимо малым внутренним сопротивлением через резистор Ом (см. рисунок). В момент ключ К замыкают. Значения силы тока в цепи, измеренные в последовательные моменты времени с точностью 0,01 А, представлены в таблице.

Выберите два верных утверждения о процессах, происходящих в цепи.

Ответ:

1. Напряжение на резисторе в момент времени t= 1,0 c равно 1,9 В.
2. Энергия катушки максимальна в момент времени t= 0 c.
3. ЭДС источника тока равна 18 В.
4. Напряжение на катушке максимально в момент времени t= 6,0 c.
5. Модуль ЭДС самоиндукции катушки в момент времени t = 2,0 с равен 2,4В.

Алгоритм решения

Решение

Согласно утверждению 1, напряжение на резисторе в момент времени t = 1,0 c равно 1,9 В. Так как сила тока еще не установилась, а сопротивление источника тока пренебрежимо мало, вычислить напряжение на резисторе можно с помощью закона Ома для полной цепи:

$I=\frac{\epsilon -{\epsilon }_{is}}{R}$

$U=\epsilon -{\epsilon }_{is}=IR=0,19·60=11,4\left(В\right)$

Следовательно, утверждение 1 — неверно.

Согласно утверждению 2, энергия катушки максимальна в момент времени t = 0 c. Энергия катушки определяется формулой:

$W_{кат}=\frac{L{I}^2}{2}$

Так как сила тока в начальный момент времени равна нулю, то энергия катушки в это время тоже нулевая.

Следовательно, утверждение 2 — неверно.

Согласно утверждению 3, ЭДС источника тока равна 18 В. Вычислить ЭДС источника тока можно, используя закон Ома для полной цепи в момент, когда сила тока в цепи достигнет максимального значения. В этом случае ЭДС самоиндукции будет равна 0. Тогда:

$I=\frac{\epsilon }{R}$

$\epsilon =IR=0,3·60=18\left(В\right).$

Это действительно так. Следовательно, утверждение 3 — верно.

Согласно утверждению 4, напряжение на катушке максимально в момент времени t = 6,0 c. Напряжение на катушке равно разности напряжения ЭДС источника тока и напряжения на резисторе (так как они соединены последовательно):

$U=\epsilon -IR$

Так как значение силы тока в момент времени t = 6,0 с максимально, то напряжение на катушке. Следовательно, утверждение 4 — неверно.

Согласно утверждению 5, модуль ЭДС самоиндукции катушки в момент времени t = 2,0 с равен 2,4В. Проверяя истинность утверждения 3, мы выяснили, что ЭДС источника тока равна 18 В. Следовательно, ЭДС самоиндукции равна:

${\epsilon }_{is}=\epsilon -IR$

Для вычислений используем значения из таблицы для момента времени t = 2,0 с:

${\epsilon }_{is}=18-0,26·60=2,4\left(В\right)$

Следовательно, утверждение 5 — верно.