Закон сохранения механической энергии | теория по физике 🧲 законы сохранения

Алгоритм решения:

Решение:

Запишем исходные данные:

Переводим единицы измерения величин в СИ:

M = 230 г = 0,23 кг

l = 50 см = 0,5 м

Систему отсчёта, связанную с Землёй, будем считать инерциальной. Тела считаем материальными точками.

Для описания взаимодействия пули и шара используем закон сохранения импульса системы тел. Он выполняется в инерциальной системе отсчёта, если сумма внешних сил, приложенных к телам системы, равна нулю. В данном случае проекции внешних сил (силы тяжести и силы натяжения нити) на горизонтальную ось в момент взаимодействия равны нулю. Следовательно, можно использовать закон сохранения импульса в проекциях на эту ось.

Для дальнейшего движения шара с застрявшей в нём пулей будет справедлив закон сохранения механической энергии, поскольку сопротивлением воздуха по условию задачи можно пренебречь, а единственная неконсервативная сила, действующая на шар, – сила натяжения нити – не совершает работы при движении шара по окружности, поскольку она всюду перпендикулярна скорости движения шара.

Условие минимальности v₀ означает, что шар совершает полный оборот в вертикальной плоскости, но при этом натяжение нити в верхней точке (и только в ней) равен 0.

Применим закон сохранения импульса, согласно которому сумма импульсов всех сил в системе не меняется до и после их взаимодействия. Следовательно:

Так как начальная скорость V шара равна нулю:

Скорость v — скорость движения шара и пули, которые после столкновения движутся как единое тело с массой M + m.

Теперь применим закон сохранения энергии. Учитываем, что в момент столкновения система тел имела максимальную скорость, а соответственно — максимальную кинетическую энергию. Также учитываем, что в верхней точке движения кинетическая энергия системы тел была меньше за счет уменьшения скорости, но не была нулевой. Также в верхней точке траектории система тел обладала максимальной потенциальной энергией. Запишем это так:

Максимальная кинетическая энергия системы тел будет равна:

Кинетическая энергия в верхней точке:

v₁ — скорость системы тел в верхней точке.

Потенциальная энергия равна произведению массы системы тел на ускорение свободного падения и на высоту, на которой находится система в верхней точке — h. Эта высота равна удвоенной длине нити:

Тогда закон сохранения энергии принимает вид:

Также применим законы Ньютона к системе тел в верхней точке траектории. С одной стороны, на нее действует сила тяжести $F_{тяж}=\left(M+m\right)g.$ С другой — центробежная сила — $F_{Ц}=\frac{(M+m)v_1^2}{l}$. В знаменателе используем длину нити, так как она в данном случае равна радиусу окружности, по которой происходит движение системы тел.

Модули этих сил равны. Следовательно:

Или:

Отсюда выразим квадрат скорости в верхней точке:

Подставляем это выражение в закон сохранения энергии:

Или:

Подставляем эту скорость в закон сохранения импульса и выразим из него массу пули:

Подставляем известные значения и находим массу пули:

Алгоритм решения

1. Записать исходные данные и перевести единицы измерения величин в СИ.
2. Записать закон сохранения механической энергии.
3. Записать закон сохранения применительно к задаче.
4. Выполнить общее решение.
5. Подставить известные данные и вычислить искомую величину.

Решение

Запишем исходные данные:

• Масса шарика: m = 100 г.
• Высота, с которой начал падать шарик: h = 100 м.
• Энергия, потерянная за счет сопротивления воздуха: Q = 20 Дж.

100 г = 0,1 кг

Закон сохранения механической энергии для замкнутой системы:

E_k0 + E_p0 = E_k + E_p = const

Согласно условию задачи, система не является замкнутой, так как на шарик действует сила сопротивления воздуха. Поэтому закон сохранения энергии примет вид:

E_k0 + E_p0 = E_k + E_p + Q

Шарик начал падать из состояния покоя, поэтому начальная кинетическая энергия равна нулю. В момент приземления кинетическая энергия максимальная, а потенциальная равна нулю. Поэтому:

E_p0 = E_k + Q

Потенциальная энергия определяется формулой:

E_p0 = mgh

Следовательно:

mgh = E_k + Q

Отсюда кинетическая энергия шарика в момент перед падением на землю равна:

E_k = mgh – Q = 0,1∙10∙100 – 20 = 80 (Дж)

Алгоритм решения

1. Записать закон сохранения энергии.
2. Установить зависимость полной механической энергии от высоты.
3. Найти тип графику, соответствующий выявленной зависимости.

Решение

Запишем закон сохранения механической энергии:

E = const

Полная механическая энергия тела равна:

E = E_k + E_p

Исходя из закона, сумма потенциальной и кинетической энергии в начальный момент движения тела равно сумме потенциальной и кинетической энергии в конечный момент времени:

E_k0 + E_p0 = E_k + E_p

Так как полная механическая энергия не меняется с течением времени, ее графиком должна быть прямая, параллельная оси времени. Поэтому верный ответ — а.

Тело, брошенное вертикально вверх от поверхности Земли, достигло максимальной высоты 20 м. С какой начальной скоростью тело было брошено вверх? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Ответ:

а) 4,5 м/с

б) 10 м/с

в) 20 м/с

г) 40 м/с

Алгоритм решения

Решение

Из условия задачи известна только высота h = 20 м.

Закон сохранения механической энергии для замкнутой системы:

E_k0 + E_p0 = E_k + E_p = const

Тело изначально находилось на поверхности Земли, поэтому его начальная потенциальная энергия равна нулю. Но кинетическая энергия в момент броска была максимальной. В верхней точке траектории скорость тела нулевая, поэтому кинетическая тоже равна нулю. Но потенциальная энергия в этот момент времени максимальна.

Поэтому:

E_k0 = E_p

Кинетическая и потенциальная энергии определяются формулами:

Приравняем их:

Если многократно сжимать пружину, то она нагревается. Это можно объяснить тем, что

Ответ:

а) потенциальная энергия пружины переходит в кинетическую

б) кинетическая энергия пружины переходит в потенциальную

в) часть работы внешних сил переходит во внутреннюю энергию пружины

г) пружина нагревается в процессе ударов молекул воздуха о частицы вещества пружины

Алгоритм решения

1. Сформулировать закон сохранения механической энергии.
2. Установить причины нагревания пружины.

Решение

Закон сохранения механической энергии формулируется так: «Полная механическая энергия замкнутой системы постоянна».

Замкнутая система — эта система, составные элементы которой действуют только друг с другом, и внешние силы на систему не действуют. Но если пружину сжимать и разжимать много раз, то пружина не будет являться замкнутой системой. Поэтому закон сохранения энергии в ней не сохраняется. Но ни потенциальная, ни кинетическая энергии, ни их превращение друг в друга не вызывает нагревания. К этому может привести только воздействие внешней силы, часть которой переходит во внутреннюю.

Верный ответ — в.

Небольшие шарики, массы которых m = 30 г и M = 60 г, соединены лёгким стержнем и помещены в гладкую сферическую выемку.

В начальный момент шарики удерживаются в положении, изображённом на рисунке. Когда их отпустили без толчка, шарики стали скользить по поверхности выемки. Максимальная высота подъёма шарика массой М относительно нижней точки выемки оказалась равной 12 см. Каков радиус выемки R?

Алгоритм решения

Решение

Запишем исходные величины:

Переведем единицы измерения величин в СИ:

30 г = 0,03 кг

60 г = 0,06 кг

12 см = 0,12 м

Выполним чертеж:

Нулевой уровень — нижняя точка выемки.

Запишем закон сохранения энергии:

E_k0 + E_p0 = E_k + E_p = const

В начальном положении кинетическая энергия обоих шариков равна 0. Потенциальная энергия шарика М тоже равна нулю, так как он находится на нулевом уровне. Потенциальная энергия шарика m равна:

E_p0m = mgR

Кинетическая энергия шариков после установления равновесия тоже будет равна нулю. Но b[ потенциальная энергия будет отличной от нуля:

E_pm = mgh

E_pM = MgH

Поэтому закон сохранения энергии применительно к задаче примет вид:

mgR = mgh + MgH

Преобразуем выражение и получим:

$mgR-mgh=MgH$

$R-h=\frac{MgH}{mg}=\frac{MH}{m}$

При движении гантели по поверхности выемки высоты подъема большого и малого шаров связаны. Рассмотрим прямоугольные треугольники OmA и OMB. Для них справедливы следующие равенства:

MB = mA = R – h

OA = OB = R – H

OM = Om = R

Это дает нам право воспользоваться теоремой Пифагора:

${(R-h)}^2=R^2-{OA}^2=R^2-{(R-H)}^2$

Следовательно:

${(R-h)}^2=R^2-\left(R^2-2RH+H^2\right)=2RH-H^2$

Подставим в это выражение правую часть ранее полученного выражения:

$R-h=\frac{MH}{m}$

${\left(\frac{MH}{m}\right)}^2=2RH-H^2$

Теперь можем выразить и вычислить радиус:

$2RH={\left(\frac{MH}{m}\right)}^2+H^2$

$R=\frac{{\left(\frac{MH}{m}\right)}^2+H^2}{2H}$

$R={\left(\frac{M}{m}\right)}^2\frac{H}{2}+\frac{H}{2}={\left(\frac{0,06}{0,03}\right)}^2\frac{0,12}{2}+\frac{0,12}{2}=0,3\left(м\right)$

.

.

Шайба массой m, скользящая по гладкой горизонтальной поверхности, налетает на лежащую неподвижно на той же поверхности шайбу массой 3m такого же размера. После частично неупругого удара первая шайба остановилась. Какова была кинетическая энергия первой шайбы до удара, если при ударе выделилось количество теплоты Q?

Ответ:

а) 3Q/2

б) 2Q

в) 9Q/2

г) 8Q

Алгоритм решения

Решение

Запишем исходные данные:

До удара двигалась только первая шайба, вторая покоилась, поэтому импульс второй шайбы равен нулю. После удара первая шайба остановилась, поэтому ее импульс стал равен нулю. Но начала двигаться вторая шайба. Поэтому закон сохранения импульса при ударе примет вид:

$mv=3mV$

Отсюда скорость второй шайбы равна v/3.

Запишем закон сохранения энергии с учетом того, что при ударе выделилось тепло:

$E_{k1}=E_{k2}+Q$

Кинетическую энергию второй шайбы можно выразить как доля от кинетической энергии первой шайбы, а также как произведение половинной массы на половинный квадрат:

$E_{k2}=E_{k1}x=\frac{3m{V}^2}{2}=\frac{3m{v}^2}{2·9}$

x — доля кинетической энергии второй шайбы от кинетической энергии первой шайбы.

Кинетическая энергия первой шайбы равна:

$E_{k1}=\frac{m{v}^2}{2}$

Теперь можем выразить x:

$\frac{3m{v}^2}{2·9}=\frac{m{v}^2}{2}x$

$x=\frac{1}{3}$

Следовательно, на кинетическую энергию второй шайбы ушла 1/3 часть кинетической энергии первой шайбы, а в виде тепла выделилось 2/3 этой энергии. Отсюда:

$Q=\frac{2}{3}{E}_{k1}$

$E_{k1}=\frac{3}{2}Q$

Летящая горизонтально со скоростью 20 м/с пластилиновая пуля массой 9 г попадает в груз неподвижно висящий на нити длиной 40 см, в результате чего груз с прилипшей к нему пулей начинает совершать колебания. Максимальный угол отклонения нити от вертикали при этом равен α = 60°. Какова масса груза?

Ответ:

а) 27 г

б) 64 г

в) 81 г

г) 100 г

Алгоритм решения

Решение

Запишем исходные данные:

Переведем единицы измерения величин в СИ:

Сделаем чертеж:

Нулевой уровень — точка А.

После неупругого столкновения пули с грузом они начинают двигаться вместе. Поэтому закон сохранения импульса для точки А выглядит так:

$mv=(m+M)V$

После столкновения система тел начинается двигаться по окружности. Точка В соответствует верхней точке траектории. В этот момент скорость системы на мгновение принимает нулевое значение, а потенциальная энергия — максимальное.

Закон сохранения энергии для точки В:

$\frac{(m+M)V^2}{2}=(m+M)gh$

$\frac{V^2}{2}=gh$

Высоту h можно определить как произведение длины нити на косинус угла максимального отклонения. Поэтому:

$V=\sqrt{2gl\cos .\alpha }$

Подставим это выражение в закон сохранения импульса для точки А и получим:

Выразим массу груза: