Уравнение состояния идеального газа | теория по физике 🧲 молекулярная физика, МКТ, газовые законы

Алгоритм решения:

1. Записать основное уравнение МКТ.
2. Применить основное уравнение МКТ к обоим газам.
3. Определить отношение средней кинетической энергии теплового движения молекул аргона к средней кинетической энергии теплового движения молекул неона.

Решение:

Основное уравнение МКТ:

Давление идеального газа пропорционально произведению концентрации молекул на среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекулы.

Выразим из формулы среднюю кинетическую энергию теплового движения молекул:

Найдем среднюю кинетическую энергию теплового движения молекул для аргона (1) и неона (2) соответственно:

Так как по условию задачи поршень находится в равновесии, можем сделать вывод, что давления p₁ и p₂ равны. По условию задачи также равны концентрации газов n₁ и n₂. Следовательно:

Тогда отношение этих энергий равно:

Алгоритм решения:

1. Записать исходные данные.
2. Записать основное уравнение идеального газа.
3. Применяя основное уравнение идеального газа и исходные данные, установить, как изменились следующие величины: парциальное давление первого газа, давление смеси газов.
4. Записать последовательность цифр из выбранных вариантов ответов.

Решение:

Запишем исходные данные:

• Количество газа 1: ν₁ = 1 моль.
• Количество газа 2: ν₂ = 1 моль.
• Количество удаленно смеси газов: ∆ν = (ν₁ + ν₂)/2.
• Количество добавленного газа 1: ν_1д = 1 моль.

Основное уравнение идеального газа:

Выразим давление:

Объем и температура оставались неизменными. Следовательно, давление может изменяться только при изменении количества вещества. Изначально оба газа находились в количестве 1 моль. Следовательно, парциальное давление газов было равно:

Затем половину содержимого выпустили. Следовательно, количество вещества изменилось. Первого газа стало 0,5 моль, второго — тоже 0,5 моль. Но затем добавили еще 1 моль первого газа. Следовательно, количество вещества первого газа стало равным 1,5 моля.

Вот как изменились парциальные давления газов:

Следовательно, парциальное давление 1 газа увеличилось. Этому соответствует вариант ответа 1.

Как же менялось давление смеси газов? Давление в каждом из случаев равно сумме парциальных давлений. Случай 1:

Случай 2:

Следовательно, давление смеси газов не изменилось. Этому соответствует вариант ответа 3.

Записываем последовательность цифр: 13.

Алгоритм решения:

Решение:

Запишем исходные данные:

Из исходных данных видно, что системе СИ не соответствуют длина столбика ртути и атмосферное давление. Их необходимо перевести в метры (м) и Паскали (Па) соответственно. Однако мы можем этого не делать, если условимся, что при вычислениях будем использовать соразмерные величины. То есть, при расчете длин будем пользоваться миллиметрами (мм), а при расчете давлений — миллиметры ртутного столба (мм. рт. ст.). В рамках решения конкретной задачи это будет нам удобнее.

Сделаем поясняющие рисунки для случаев 1 и 2:

За l₁ и l₂ мы взяли длину столбика влажного воздуха в 1 и 2 случаях соответственно. За p₀ берем атмосферное давление. А l — длина столбика ртути, которая остается для обоих случаев неизменной.

Относительная влажность воздуха определяется формулой:

p — это давление водяных паров, а p_н — давление насыщенных водяных паров при той же температуре. С помощью этой формулы запишем относительные влажности воздуха в трубке для случаев 1 и 2 соответственно:

Выразим относительную влажность воздуха 2:

Теперь определим общее давление влажного воздуха в случаях 1 и 2. Когда трубка расположена горизонтально, ртуть, которая находится с открытого конца трубки, никак не давит на влажный воздух. Поэтому давление, оказываемое влажным воздухом, приходит в равновесие только с атмосферным давлением. Следовательно, давление влажного воздуха в 1 случае равно атмосферному давлению:

Когда трубка принимает вертикальное положение, и столбик ртути оказывается ниже столбика с влажным воздухом, влажный воздух приходит в равновесие с атмосферным воздухом вместе с этим столбиком ртути:

Причем ртуть находится в жидком состоянии, следовательно, ее давление может найти как давление в жидкостях:

Вместо высоты мы можем применить высоту столбика ртути (l):

Следовательно:

Или:

Также учитываем, что давление влажного воздуха и столбика ртути равно атмосферному давлению, которое может быть определено как произведение плотности ртути на ускорение свободного падения и высоту ртутного столба при таком давлении (обозначим за H):

Так как в условии сказано, что атмосферное давление равно 760 мм рт. ст., то высота ртутного столба в данном случае может быть принята за 760 мм.

В случаях 1 и 2 температура остается неизменной. Следовательно, речь идет об изотермическом процессе, для которого применим закон Бойля — Мариотта:

Объем влажного воздуха можем считать как произведение площади сечения трубки на высоту столбика с влажным воздухом. Тогда закон Бойля — Мариотта принимает вид:

Площадь сечения остается неизменной величиной, поэтому ее обозначаем без индекса. Следовательно, объем влажного воздуха при изменении положения трубки меняется так же, как меняется длина столбика с этим воздухом:

Давления влажного воздуха в случаях 1 и 2 мы выразили выше (они обозначены как (function(){function i(e){seraph_pds.View.InitFormulas();}if(seraph_pds && seraph_pds.View)i();else document.addEventListener(‘DOMContentLoaded’,i);})()$p_{вл1}$ и $p_{вл2}$ соответственно). Подставим их в выражение выше и преобразуем его:

Основное уравнение идеального газа (а мы будем считать влажный воздух в трубке идеальным):

Или:

Применим его для влажного воздуха и получим:

$\nu$ — количество моль водяного пара в трубке, ${\nu }_{св}$ — количество моль сухого воздуха в трубке.

Так как речь идет об изотермическом процессе:

Поэтому отношение давлений водяных паров в 1 и 2 случае равно отношению давлений влажного воздуха в 1 и 2 случае:

Отсюда имеем:

Теперь подставим это в следующее выражение:

Отсюда:

На графике представлена зависимость объёма постоянного количества молей одноатомного идеального газа от средней кинетической энергии теплового движения молекул газа. Опишите, как изменяются температура и давление газа в процессах 1−2 и 2−3. Укажите, какие закономерности Вы использовали для объяснения.

Алгоритм решения

Решение

График построен в координатах (V;E_k). Процесс 1–2 представляет собой прямую линию, исходящую из начала координат. Это значит, что при увеличении объема растет средняя кинетическая энергия молекул. Но из основного уравнения МКТ идеального газа следует, что мерой кинетической энергии молекул является температура:

$T=\frac{2{\stackrel{-}{E}}_k}{3}$

Следовательно, когда кинетическая энергия молекул растет, температура тоже растет.

Запишем уравнение Менделеева — Клапейрона:

$pV=\nu RT$

Так как количество вещества одинаковое для обоих состояния 1 и 2, запишем:

$\nu R=\frac{p_1{V}_1}{T_1}=\frac{p_2{V}_2}{T_2}$

Мы уже выяснили, что объем и температура увеличиваются пропорционально. Следовательно, давление в состояниях 1 и 2 равны. Поэтому процесс 1–2 является изобарным, давление во время него не меняется.

Процесс 2–3 имеет график в виде прямой линии, перпендикулярной кинетической энергии. Так как температуры прямо пропорциональна кинетической энергии, она остается постоянной вместе с этой энергией. Следовательно, процесс 2–3 является изотермическим, температура во время него не меняется. Мы видим, что объем при этом процессе уменьшается. Но так как объем и давление — обратно пропорциональные величины, то давление на участке 2–3 увеличивается.

Ответ:

На высоте 200 км давление воздуха составляет примерно 10^–9 от нормального атмосферного давления, а температура воздуха Т – примерно 1200 К. Оцените плотность воздуха на этой высоте.

Ответ:

а) 8,31⋅ 10^–11 кг/м³

б) 1,38⋅ 10^–9 кг/м³

в) 3⋅ 10^–10 кг/м³

г)29⋅ 10^–8 кг/м³

Алгоритм решения

Решение

Запишем исходные данные:

Запишем уравнение Менделеева — Клапейрона:

$pV=\frac{m}{M}RT$

Плотность определяется формулой:

$\rho =\frac{m}{V}$

Следовательно, масса равна произведению плотности на объем. Перепишем уравнение состояния идеального газа, учитывая, что объем сократится слева и справа:

$p=\frac{\rho }{M}RT$

Молярная масса воздуха — табличная величина, равная 28,97 г/моль. Переведем в СИ и получим 28,97∙10^–3 кг/моль.

Выразим и вычислим плотность:

.

Одноатомный идеальный газ в количестве ν моль помещают в открытый сверху сосуд под лёгкий подвижный поршень и начинают нагревать. Начальный объём газа V₀, давление p₀. Масса газа в сосуде остаётся неизменной. Трением между поршнем и стенками сосуда пренебречь. R– универсальная газовая постоянная.

Установите соответствие между физическими величинами, характеризующими газ, и формулами, выражающими их зависимость от абсолютной температуры T газа в условиях данной задачи.

К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию из второго столбца и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.

Алгоритм решения

Решение

Уравнение состояния идеального газа имеет вид:

$pV=\frac{m}{M}RT$

Учтем, что отношение массы к молярной массе есть количество вещества.Отсюда объем равен:

$V=\frac{\nu RT}{p}$

Следовательно, первой цифрой ответа будет «1».

Внутренняя энергия идеального газа равна сумме кинетических энергий всех молекул этого газа:

$E=N{\stackrel{-}{E}}_k$

Запишем основное уравнение МКТ:

$p=nkT$

Отсюда температура газа равна:

$T=\frac{p}{nk}$

Но температура прямо пропорциональна средней кинетической энергии молекул газа:

$T=\frac{2{\stackrel{-}{E}}_k}{3k}$

Следовательно:

$\frac{p}{nk}=\frac{2{\stackrel{-}{E}}_k}{3k}$

${\stackrel{-}{E}}_k=\frac{3p}{2n}$

$E=N{\stackrel{-}{E}}_k=\frac{N3p}{2n}$

Но концентрация определяется отношением количества молекул к объему. Следовательно:

$E=\frac{N3pV}{2N}=\frac{3pV}{2}$

А произведение давления на объем можно выразить через уравнение Менделеева — Клапейрона. Следовательно:

$E=\frac{3}{2}\nu RT$

Вторая цифра ответа будет «3».

На рисунке показан график зависимости давления газа в запаянном сосуде от его температуры. Объём сосуда равен 0,25 м³. Какое приблизительно количество газообразного вещества содержится в этом сосуде? Ответ округлите до целых.

Алгоритм решения

Решение

Запишем исходные данные. Объем сосуда равен: V = 0,25 м³. На графике выберем точку, соответствующую температуре T = 300 К. Ей соответствует давление p = 2∙10⁴ Па.

Запишем уравнение состояния идеального газа:

$pV=\nu RT$

Отсюда количества вещества равно:

$\nu =\frac{pV}{RT}=\frac{2·{10}^4·0,25}{8,31·300}\approx 2\left(моль\right)$

.

Зависимость объёма идеального газа от температуры показана на VТ-диаграмме (см. рисунок). В какой из точек давление газа максимально? Масса газа постоянна.

Ответ:

A

B

C

D

Алгоритм решения

Решение

Запишем уравнение состояния идеального газа:

$pV=\nu RT$

Отсюда видно, что давление прямо пропорционально температуре. Это значит, что с ростом температуры давление увеличивается.

Также видно, что давление обратно пропорционально объему. Следовательно, давление увеличивается с уменьшением объема.

Отсюда следует, что давление будет максимальным в той точке, в которой температура максимальна, а объем минимален. Такой точкой является точка D.

В камере, заполненной азотом, при температуре  К находится открытый цилиндрический сосуд (см. рис. 1). Высота сосуда  см. Сосуд плотно закрывают цилиндрической пробкой и охлаждают до температуры  К. В результате расстояние от дна сосуда до низа пробки становится равным h (см. рис. 2). Затем сосуд нагревают до первоначальной температуры T₀. Расстояние от дна сосуда до низа пробки при этой температуре становится равным  см (см. рис. 3). Чему равно h? Величину силы трения между пробкой и стенками сосуда считать одинаковой при движении пробки вниз и вверх. Массой пробки пренебречь.

Алгоритм решения

Решение

Запишем исходные данные:

50 см = 0,5 м

46 см = 0,46 м

Запишем уравнение Менделеева — Клапейрона:

$pV=\nu RT$

Так как количество азота не меняется, можем принять, что:

$\frac{pV}{T}=const$

Применим уравнение Менделеева — Клапейрона для всех трех состояний азота. Учтем, что

$\frac{p_0{V}_0}{T_0}=\frac{p_1{V}_1}{T_1}=\frac{p_2{V}_2}{T_2}$

Пусть S — площадь поперечного сечения сосуда. Тогда объемы столба азота для каждого из состояний будут равны:

$V_0=SL$

$V_1=Sh$

$V_2=SH$

Известно, что в состоянии 3 температура азота поднимается до первоначальной. Поэтому уравнение Менделеева — Клапейрона примет вид:

$\frac{p_{0}SL}{T_0}=\frac{p_{1}Sh}{T_1}=\frac{p_{2}SH}{T_0}$

$\frac{p_{0}L}{T_0}=\frac{p_{1}h}{T_1}=\frac{p_{2}H}{T_0}$

Неизвестными остались только давления. Их можно определить, записав условие равновесия пробки.

В состоянии 1 сила давления азота на пробку определяется формулой:

$p_{0}S=p_{атм}S$

В состоянии 2 на пробку действует сила давления со стороны азота и атмосферного давления, я а также сила трения, направленная вверх. Следовательно:

$p_{1}S=p_{атм}S-F_{тр}=p_{0}S-F_{тр}$

В состоянии 3 на пробку действуют те же силы, но сила трения теперь действует не вверх, а вниз. Поэтому:

$p_{2}S=p_{атм}S+F_{тр}=p_{0}S+F_{тр}$

Выразим из этих уравнений силу трения:

$F_{тр}=p_{0}S-p_{1}S$

$F_{тр}=p_{2}S-p_{0}S$

.

Приравняем правые части и получим:

$p_{0}S-p_{1}S=p_{2}S-p_{0}S$

Отсюда:

$p_0-p_1=p_2-p_0$

${2p}_0=p_2+p_1$

$p_0=\frac{p_2+p_1}{2}$

Подставим это значение в уравнение Менделеева — Клапейрона и получим:

$\frac{\frac{p_2+p_1}{2}L}{T_0}=\frac{p_{1}h}{T_1}=\frac{p_{2}H}{T_0}$

Отсюда:

$\frac{p_2+p_1}{2}L=p_{2}H$

$p_{2}L+p_{1}L={2p}_{2}H$

$p_{1}L={2p}_{2}H-p_{2}L=p_2(2H-L)$

$p_1=\frac{p_2(2H-L)}{L}$

Отсюда:

$\frac{\frac{p_2(2H-L)}{L}h}{T_1}=\frac{p_{2}H}{T_0}$

Давление слева и справа взаимоуничтожается. Остается:

$\frac{T_0(2H-L)}{L}h=H{T}_1$

Отсюда выразим h:

В сосуде неизменного объёма при комнатной температуре находилась смесь неона и аргона, по 1 моль каждого. Половину содержимого сосуда выпустили, а затем добавили в сосуд 1 моль аргона. Как изменились в результате парциальное давление неона и давление смеси газов, если температура газов в сосуде поддерживалась неизменной?

Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:

1. увеличилась
2. уменьшилась
3. не изменилась

Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.

Алгоритм решения

Решение

Исходные данные:

Сначала парциальное давление неона и аргона равно. Это объясняется тем, что давление газов при неизменном количестве вещества зависит только от объема и температуры. Эти величины постоянны.

Когда из сосуда выпустили половину газовой смеси, в нем оказалось по половине моля каждого из газов. Затем в сосуд впустили 1 моль аргона. Следовательно, в сосуде стало содержаться 0,5 моль неона и 1,5 моль аргона. Запишем уравнение Менделеева — Клапейрона:

$pV=\nu RT$

Из уравнения видно, что давление и количество вещества — прямо пропорциональные величины. Следовательно, если количество неона уменьшилось, то его парциальное давление тоже уменьшилось.

Общая сумма количества вещества равна сумме количеств вещества 1 (неона) и 2 (аргона): 0,5 + 1,5 = 2 (моль). Изначально в сосуде тоже содержалось 2 моль газа. Так как количество вещества, температура и объем сохранились, давление тоже осталось неизменным.